4.4 构造函数常见方法（精讲）（教师版）

4.4构造函数常见方法（精讲）常见的构造模型一．只含→加变乘，减变除1.对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)2.对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)3.对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f(x)－kx或F(x)＝f(x)－kx＋b；4.对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)5.对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数(g(x)≠0)．二．含1.对于f′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数g(x)＝exf(x)2.对于f′(x)＋nf(x)>0(或<0)，构造函数g(x)＝enx·f(x)3.对于f′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数4.对于f′(x)－nf(x)>0(或<0)，构造函数三．含xf′(x)±f(x)1.对于xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，则构造函数g(x)＝xf(x)．2.对于xf′(x)＋nf(x)>0(或<0)，则构造函数g(x)＝xnf(x)；3.对于xf′(x)－f(x)>0(或<0)，则构造函数．4.对于xf′(x)－nf(x)>0(或<0)，则构造函数．四．f(x)±f′(x)tanx1.对于f′(x)tanx＋f(x)>0(或<0)，构造函数h(x)＝f(x)sinx；2.对于f′(x)tanx－f(x)>0(或<0)，构造函数；3.对于f′(x)－f(x)tanx>0(或<0)，构造函数h(x)＝f(x)cosx；4.对于f′(x)＋f(x)tanx>0(或<0)，构造函数5.对于f′(x)sinx＋f(x)cosx>0(或<0)，构造函数h(x)＝f(x)sinx；6.对于f′(x)sinx－f(x)cosx>0(或<0)，构造函数；7.对于f′(x)cosx－f(x)sinx>0(或<0)，构造函数h(x)＝f(x)cosx；8.对于f′(x)cosx＋f(x)sinx>0(或<0)，构造函数考法一常见构造函数模型【例1-1】（2023春·四川凉山）已知函数满足，且的导函数，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，因为，所以，即函数在上单调递减，则，即，即，所以，即的解集为.故选：D【例1-2】（2023·青海海东·统考模拟预测）已知是奇函数的导函数，且当时，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，，则由，得；当时，，则由，得．令，则，故g（x）在上单调递增，在上单调递减．又f（x）是奇函数，所以是偶函数，故，即，，即．与和的大小关系不确定．故选：A．【一隅三反】1．（2023春·江苏盐城）已知函数的定义域为R，为的导函数，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据题意，构造函数，则，所以函数在R上单调递增，又，即，所以，即，解得.故选：D.2．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知是函数的导函数，对于任意的都有，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】法一：构造特殊函数.令，则满足题目条件，把代入得解得，故选：.法二：构造辅助函数.令，则，所以在上单调递增，又因为，所以，所以，故选：D.3．（2023秋·陕西西安）已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递减，因为，则，由可得，即，所以，，解得，因此，不等式的解集为.故选：A.4．（2023·安徽黄山·统考三模）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，则，因为在上恒成立，所以在上恒成立，故在上单调递减，所以，，故A不正确；所以，即，即，故B不正确；，即，即，故C正确；，即，即，故D不正确；故选：C.考法二结构同构【例2-1】（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）设，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，令函数，可得，当，可得，单调递增；当，可得，单调递减，所以当，函数取得极大值，即为最大值，函数的图形，如图所示，对于函数，当且时，.设且，则，可得，所以，所以,所以.故选：A.【例2-2】（2023春·安徽）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，，，对两边取对数，可得，，，令，其中，可得，令，可得，所以为单调递增函数，当时，可得，所以,所以，在单调递增，所以，即，所以.故选：A.【一隅三反】1．（2022·新疆乌鲁木齐）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，令，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；又，，，又，所以.故选：A.2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，则，所以在上单调递增.又，所以，又，，，所以c＞b＞a.故选:A.3．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）设，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以令，由，知当时，，单调递减；当时，，单调递增.因为所以，即.故选：D.4．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，，故设，则，求导得，，令，则，所以函数在单调递减，所以，所以在上恒成立，所以函数在上单调递减，因为，所以，所以，故选：B.考法三结构异构【例3-1】（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令函数，则恒成立，故函数在上单调递增，所以当时，，则，于是，即；当时，，则，所以，而，于是，即；综上：.故选：C【例3-2】（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，，所以，，所以单调递增，则，所以，则；，，当时，，所以在上单调递增，所以，所以，故，故.故选：C.【一隅三反】1．（2023·陕西商洛·统考三模）若，，，则（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．故，可得，当且仅当时，等号成立，从而．因为，所以，故．故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】方法一：构造法设，因为当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以．方法二：比较法解：，，①，令，，则，故在上单调递减，可得，即，所以；②，令，，则令，所以所以在上单调递增，可得