4.4 数学归纳法（七大题型）（原卷版）

4．4数学归纳法课程标准学习目标1、能通过具体实例的分析，抽象出数学归纳法的两个步骤，得到数学归纳法原理，发展数学抽象素养．2、能用逻辑语言表达数学归纳法，能描述两个步骤之间的关系，明晣第一步归纳奠基是基础，第二步是要证明一个具有递推关系的命题，明确两个步骤缺一不可．3、能用数学归纳法证明特殊数列的通项公式等问题，能规范表述用数学归纳法证明数学命题的基本过程，提升逻辑推理素养．1、了解数学归纳法的原理．2、能用数学归纳法证明一些简单的命题．知识点01数学归纳法的原理1、数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法知识点诠释：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立．2、数学归纳法的原理：数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法．它的证明共分两步：①证明了第一步，就获得了递推的基础．但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性．在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；②证明了第二步，就获得了递推的依据．但没有第一步就失去了递推的基础．只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论．其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）．3、数学归纳法的功能和适用范围（1）数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程．（2）数学归纳法一般被用于证明某些与正整数（取无限多个值）有关的数学命题．但是，并不能简单地说所有与正整数有关的数学命题都可使用数学归纳法证明．【即学即练1】（2023·陕西西安·高二期中）用数学归纳法证明“”时，第二步应假设（

）A．当时，成立B．当时，成立C．当时，成立D．当时，成立知识点02运用数学归纳法的步骤与技巧1、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：（1）证明：当取第一个值结论正确；（2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确2、用数学归纳法证题的注意事项（1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）．（2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）．（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）．（4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．3、用数学归纳法证题的关键：运用数学归纳法由到的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由到的推证方法．在运用归纳假设时，应分析由到的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从时分离出时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡．【即学即练2】（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明，“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成（

）A．假设时正确，再推证正确B．假设时正确，再推证正确C．假设时正确，再推证正确D．假设时正确，再推证正确知识点03用数学归纳法证题的类型：1、用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式；对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．2、用数学归纳法证明与正整数有关的整除性问题；用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧．3、用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题；数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等．4、用数学归纳法证明与正整数有关的不等式．用数学归纳法证明一些与有关的不等式时，推导“”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．5、用数学归纳法证明与数列有关的命题．由有限个特殊事例进行归纳、猜想，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要．【即学即练3】（2023·高二课时练习）如图，类似于中国结的一种刺绣图案，这些图案由小正方形构成，其数目越多，图案越美丽，若按照前4个图中小正方形的摆放规律，设第个图案所包含的小正方形个数记为．（1）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出与的关系，并通过你所得到的关系式，求出的表达式；（2）计算：，，的值，猜想的结果，并用数学归纳法证明．题型一：对数学归纳法的理解例1．（2023·高二课前预习）用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（

）A． B．C． D．例2．（2023·北京丰台·高二统考期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（

）A． B．C． D．例3．（2023·陕西商洛·高二镇安中学校考期中）用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（

）A．增加了 B．增加了C．增加了 D．增加了变式1．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得项是（

）A．1 B．C． D．变式2．（2023·高二课前预习）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（）A．时不等式成立 B．时不等式成立C．时不等式成立 D．时不等式成立【方法技巧与总结】即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立．题型二：数学归纳法中的增项问题例4．（2023·上海浦东新·高二上海市进才中学校考阶段练习）用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是（）A． B．C． D．例5．（2023·河南驻马店·高二统考期中）用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（

）A． B．C． D．例6．（2023·上海·高二期末）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（）A． B． C． D．变式3．（2023·北京房山·高二统考期末）用数学归纳法证明，从到，左边需要增加的因式是（

）A． B． C． D．变式4．（2023·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）用数学归纳法证明（，为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边需添加的项为（

）A． B．C． D．变式5．（2023·北京丰台·高二统考期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（

）A． B．C． D．变式6．（2023·辽宁大连·高二校联考期中）用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】在利用归纳假设论证时等式也成立时，应注意分析和时两个等式的差别．题型三：证明恒等式例7．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：．例8．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明以下恒等式：(1)；(2).例9．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：(1)；(2)．变式7．（2023·全国·高二课堂例题）用数学归纳法证明：当时，．变式8．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明（为正整数）．变式9．（2023·高二课时练习）是否存在常数、、，使等式对任何正整数都成立？【方法技巧与总结】用数学归纳法证明等式的策略应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：（1）时，等式的结构．（2）到时，两个式子的结构：时的代数式比时的代数式增加（或减少）的项．这时一定要弄清三点：①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项．②代数式相邻两项之间的变化规律．③代数式中最后一项（最后一个数）与的关系．题型四：证明不等式例10．（2023·高二课时练习）观察下列不等式：，，，，……．(1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题；(2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题．例11．（2023·广西玉林·高二校联考期中）（1）请用分析法证明：；（2）用数学归纳法证明不等式：．例12．（2023·全国·高二专题练习）数学归纳法证明：．变式10．（2023·高二校考课时练习）已知n为正整数，试比较与的大小.变式11．（2023·江苏淮安·高二统考期中）已知，.（1）当时，分别比较与的大小（直接给出结论）；（2）由（1）猜想与的大小关系，并证明你的结论.【方法技巧与总结】用数学归纳法证明不等式的四个关键（1）验证第一个的值时，要注意不一定为1，若（k为正整数），则．（2）证明不等式的第二步中，从到的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．（3）用数学归纳法证明与有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对取前个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．（4）用数学归纳法证明不等式的关键是由时成立，得时成立，主要方法有比较法、放缩法等．题型五：归纳—猜想—证明例13．（2023·浙江嘉兴·高二校联考期中）设数列满足，，(1)求，的值，并猜想数列的通项公式；(2)利用数学归纳法证明上述猜想．例14．（2023·高二课时练习）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有．(1)求，，，，；(2)猜想的通项公式，并加以证明．例15．（2023·高二课时练习）已知数列满足，，试用数学归纳法证明．变式12．（2023·高二课时练习）已知数列满足尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．变式13．（2023·河南洛阳·高二校考阶段练习）设数列满足，．(1)计算，猜想的通项公式并加以证明；(2)求数列，求的前项和．变式14．（2023·北京房山·高二统考期末）已知数列的通项公式为，记该数列的前n项和为．(1)计算，，，的值；(2)根据计算结果，猜想的表达式，并进行证明．变式15．（2023·高二课时练习）函数对任意实数x，y都有．(1)求的值；(2)若，求，，的值，猜想时的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．【方法技巧与总结】（1）利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”．（2）“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式．题型六：用数学归纳法证明整除性问题例16．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：能被整除（）例17．（2023·全国·高二随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数．例18．（2023·高二课时练习）求证：对任何正整数n，数都能被8整除变式16．（2023·高二校考课时练习）用数学归纳法证明：可以被7整除.变式17．（2023·高二课时练习）证明：当时，能被64整除．变式18．（2023·全国·高二专题练习）先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？变式19．（2023·全国·高二随堂练习）求证：对任意正整数，都能被整除．【方法技巧与总结】用数学归纳法证明整除问题时，关键是把时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除．题型七：用数学归纳法证明几何问题例19．（2023·全国·高二随堂练习）证明：凸n边形的内角和等于．例20．（2023·全国·高二课堂例题）在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点.问：这n条直线将平面分成多少个部分？例21．（2023·高二课时练习）平面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这个圆把平面分成了个区域．变式20．（2023·全国·高二随堂练习）平面内有条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们交点的个数.变式21．（2023·高二课时练习）平面内有n(n∈N*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2部分.【方法技巧与总结】用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从个变成（）个时，所证的几何量将增加多少．一般地，证明二步时，常用的方法是加1法，即在原来的基础上，再增加1个，当然我们也可以从（）个中分出1个来，剩下的个利用假设．几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明．一、单选题1．（2023·海南·高二统考期末）在正项数列中，，，则（

）A．为递减数列 B．为递增数列C．先递减后递增 D．先递增后递减2．（2023·高二课时练习）我们学习了数学归纳法的相关知识，知道数学归纳法可以用来证明与正整数n相关的命题.下列三个证明方法中，可以证明某个命题对一切正整数n都成立的是（

）①成立，且对任意正整数k，“当时，均成立”可以推出“成立”②，均成立，且对任意正整数k，“成立”可以推出“成立”③成立，且对任意正整数，“成立”可以推出“成立且成立”A．②③ B．①③ C．①② D．①②③3．（2023·高二校考课时练习）已知经过同一点的个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由到时，应证明增加的空间个数为（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高二专题练习）k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N*)（

）A．f(k)+k-1 B．f(k)+k+1 C．f(k)+k D．f(k)+k-25．（2023·高二校考课时练习）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明能被8整除时，当时，可变形为（

）A． B．C． D．7．（2023·河北唐山·高二统考期中）用数学归纳法证明不等式：（，），在证明这一步时，需要证明的不等式是A．B．C．D．8．（2023·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）用数学归纳法证明等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边（）A．增加了项B．增加了项C．增加了项D．以上均不对二、多选题9．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（）A．使不等式成立的第一个自然数B．使不等式成立的第一个自然数C．推导时，不等式的左边增加的式子是D．推导时，不等式的左边增加的式子是10．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（

）A．1 B．2 C．3 D．411．（2023·高二课时练习）如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是（