4.4.2 对数函数(2)-对数函数的图象和性质-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019必修第一册）

第四章指数函数与对数函数课时4.4.2对数函数(2)—对数函数的图象和性质对数函数的图象和性质.基础过关练题组一对数函数的图象1.为了得到函数f(x)=log2x的图象,只需将函数g(x)=log2x8的图象()A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位2.函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一平面直角坐标系中的图象大致是()3.函数f(x)=loga(x-1)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过点()A.(1,1) B.(1,2)C.(2,1) D.(2,2)4.函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是()题组二对数函数的性质及其应用5.函数y=log2|x-2|在区间(2,+∞)上的单调性为()A.先增后减 B.先减后增C.单调递增 D.单调递减6.函数f(x)=log0.6A.[1,2) B.(1,2]C.(1,2) D.(-∞,2)7.下列各式中错误的是()A.30.8>30.7 B.log0.50.4>log0.50.6C.log20.3<0.30.2 D.0.75-0.3<0.75-0.18.已知函数f(x)=log3(1-ax),若f(x)在(-∞,2]上为减函数,则实数a的取值范围为()A.(0,+∞) B.0,C.(1,2) D.(-∞,0)9.函数f(x)=log12(x2-2x-3)的单调递增区间是10.若log0.5(m-1)>log0.5(3-m),则m的取值范围是.

11.函数f(x)=loga(x+x2+2a

12.已知函数f(x)=lg(x+1),解不等式0<f(1-2x)-f(x)<1.13.设函数f(x)=loga1−a(1)证明:f(x)是(a,+∞)上的减函数;(2)若f(x)>1,求x的取值范围.14.已知函数f(x)=logamx+1(1)求m的值;(2)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并加以证明.

题组三对数函数的最大(小)值与值域问题15.函数f(x)=log0.2(2x+1)的值域为()A.(0,+∞) B.(-∞,0)C.[0,+∞) D.(-∞,0]16.已知函数y=log2(x2-2kx+k)的值域为R,则k的取值范围是()A.0<k<1 B.0≤k<1C.k≤0或k≥1 D.k=0或k≥117.已知a>0,a≠1且loga3>loga2,若函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1.(1)求a的值;(2)解不等式log13(x-1)>lo(3)求函数g(x)=|logax-1|的单调区间.

18.已知函数f(x)=log2x.(1)若f(a)>f(2),求a的取值范围;(2)求y=log2(2x-1)在[2,14]上的最值.

题组四对数函数与指数函数互为反函数19.函数y=1ax与y=logbA.ab=1 B.a+b=1C.a=b D.a-b=120.已知y=14x的反函数为y=f(x),若f(x0)=-12,则xA.-2 B.-1 C.2 D.121.设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,且a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图象过点(2,8),则a+b等于()A.3 B.4 C.5 D.622.设0<a<1,在同一直角坐标系中,函数y=a-x与y=loga(-x)的大致图象是()能力提升练题组一对数函数的图象1.函数y=ax与y=log1a2.为了得到函数y=log4x-34的图象,只需把函数y=12logA.向左平移3个单位,再向上平移1个单位B.向右平移3个单位,再向上平移1个单位C.向右平移3个单位,再向下平移1个单位D.向左平移3个单位,再向下平移1个单位3.函数y=xln|x4.已知函数f(x)=|lgx|+2,若实数a,b满足b>a>0,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是.

题组二对数函数单调性的应用5.已知a=1213,b=log213,c=loA.a>b>c B.a>c>bC.c>a>b D.c>b>a6.已知函数f(x)=loga(-x2-2x+3)(a>0,a≠1),若f(0)<0,则此函数的单调递减区间是()A.(-∞,-1] B.[-1,+∞)C.[-1,1) D.(-3,-1]7.若函数y=log12(x2-ax+a)在(-∞,2)上是增函数,则实数a的取值范围是8.已知函数f(x)=1x+lg4−(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断f(x)在定义域内的单调性,并用定义法证明;(3)解关于x的不等式f129.已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).(1)当a=12(2)当a>1时,求关于x的不等式f(x)<f(1)的解集;(3)当a=2时,若不等式f(x)-log2(1+2x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立,求实数m的取值范围.题组三对数函数的最大(小)值与值域问题10.若函数f(x)=log2kx2+(2k−1)x+11.若函数f(x)=(2-a)x12.已知函数f(x)=13x,函数g(x)=log(1)若g(mx2+2x+m)的定义域为R,求实数m的取值范围;(2)当x∈[-1,1]时,求函数y=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值h(a);(3)是否存在实数m,n,使得函数y=2x+log3f(x2)的定义域为[m,n],值域为[4m,4n]?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.

题组四对数函数的综合运用13.若指数函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,且g(x)的图象过点(5,3),则f(6)=()A.5 B.10 C.25 D.12514.已知函数f(x)=ln(x+x2+1A.1 B.0 C.-1 D.-215.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,若实数m满足f(log2m)+f(log12A.(-∞,2] B.-∞,C.12,2 16.(多选)若定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件:(i)对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;(ii)f(1)=1;(iii)若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).就称f(x)为“A函数”,下列定义在[0,1]上的函数中,是“A函数”的有(易错)A.f(x)=log12(x+1) B.f(x)=logC.f(x)=x D.f(x)=2x-117.已知a∈R,函数f(x)=log21x(1)当a=5时,解不等式f(x)>0;(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰好只有一个元素,求a的取值范围;(3)设a>0,若对任意t∈12

答案全解全析基础过关练1.Ag(x)=log2x8=log2x-log28=log2x-3,所以只需将函数g(x)=log2x8的图象向上平移3个单位,即可得到函数f(x)=log2.Cf(x)=1+log2x的图象是由y=log2x的图象向上平移一个单位得到的,过定点(1,1),g(x)=2-x+1=12x-13.C令x-1=1,即x=2,得f(2)=loga1+1=1,因此f(x)的图象恒过点(2,1).故选C.4.B解法一:由题可知,当x>0时,f(x)=lg(x-1),其图象可由函数y=lgx的图象向右平移1个单位得到;当x<0时,f(x)=lg(-x-1)=lg[-(x+1)],其图象可由函数y=lgx的图象先关于y轴做翻折变换,再向左平移1个单位得到,结合选项可知B正确.故选B.解法二:由f(-x)=lg(|-x|-1)=lg(|x|-1)=f(x)得,f(x)是偶函数,由此C,D错误.又当x>0时,f(x)=lg(x-1)是(1,+∞)上的增函数,故选B.5.C当x>2时,函数y=log2|x-2|=log2(x-2).又函数y=log2u是增函数,u=x-2在区间(2,+∞)上也是增函数,故y=log2|x-2|在区间(2,+∞)上是一个增函数,故选C.6.A要使函数f(x)有意义,必有log0.6(2-x)≥0,∴0<2-x≤1,∴1≤x<2.故选A.7.D由函数y=3x单调递增得30.8>30.7,A正确;由函数y=log0.5x单调递减得log0.50.4>log0.50.6,B正确;由函数y=log2x单调递增得log20.3<log21=0,而0.30.2>0,所以log20.3<0.30.2,C正确;由函数y=0.75x单调递减得0.75-0.3>0.75-0.1,D错误.故选D.8.B设y=log3u,u=1-ax.由f(x)在(-∞,2]上为减函数,且y=log3u是增函数知,u=1-ax是减函数,∴-a<0,即a>0.由1-ax>0得ax<1,又a>0,∴x<1a即f(x)的定义域为-∞,1∴(-∞,2]⊆-∞,1a⇒2<结合a>0,得a<12因此a的取值范围是0,19.答案(-∞,-1)解析由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3.因此函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞)=D.设u=x2-2x-3,则y=log12u,y=lo又u=(x-1)2-4在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,∴f(x)的单调递增区间为(-∞,1]∩D=(-∞,-1).10.答案(1,2)解析∵y=log0.5x是减函数,∴log0.5(m-1)>log0.5(3-m)⇔m-1>0∴1<m<2,即m的取值范围是(1,2).11.答案2解析∵函数f(x)的定义域为R,且为奇函数,∴f(0)=0,即loga2a∴2a2=1,又a>0,∴a=经验证,f(x)为奇函数.12.解析不等式0<f(1-2x)-f(x)<1,即0<lg(2-2x)-lg(x+1)=lg2−2x由2−2x由0<lg2−2xx+1因为x+1>0,所以x+1<2-2x<10x+10,解得-23<x<1由-1<x<1,-2313.解析(1)证明:任取x1,x2∈(a,+∞),不妨令0<a<x1<x2,g(x)=1-ax,则g(x1)-g(x2)=1−ax1-1−ax2又∵0<a<1,∴f(x1)>f(x2),∴f(x)是(a,+∞)上的减函数.(2)∵loga1−ax>1,∴0<1-∴1-a<ax∵0<a<1,∴1-a>0,从而a<x<a1−∴x的取值范围是a,14.解析(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)+f(x)=0在其定义域内恒成立,即loga-mx+1-x-1+loga∴1-m2x2=1-x2对任意x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)恒成立.∴m2=1,m=±1.当m=-1时,f(x)=loga-x(2)当a>1时,f(x)在(1,+∞)上单调递减;当0<a<1时,f(x)在(1,+∞)上单调递增.证明:由(1)知m=1,则f(x)=logax+1设u=x+1x-1=1+2x-1则u1-u2=1+2x1-1-1+2x2由x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0,得u1-u2>0,即u1>u2.因此当a>1时,logau1>logau2,即f(x1)>f(x2),f(x)在(1,+∞)上单调递减;同理可得,当0<a<1时,f(x)在(1,+∞)上单调递增.15.B因为2x+1>1,且y=log0.2u是减函数,所以log0.2(2x+1)<log0.21=0,故该函数的值域为(-∞,0),故选B.16.C令t=x2-2kx+k,由y=log2(x2-2kx+k)的值域为R,得函数t=x2-2kx+k的图象一定恒与x轴有交点,所以Δ=4k2-4k≥0,即k≤0或k≥1.17.解析(1)∵loga3>loga2,∴a>1,∴y=logax在[a,2a]上为增函数,∴loga(2a)-logaa=loga2=1,∴a=2.(2)依题意可知x-1<2-∴不等式的解集为1,3(3)g(x)=|log2x-1|,∴当x=2时,g(x)=0,则g(x)=1−lo∴函数g(x)在(0,2]上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,∴g(x)的单调递减区间为(0,2],单调递增区间为(2,+∞).18.解析函数f(x)=log2x的图象如图所示.(1)∵f(x)=log2x为增函数,f(a)>f(2),∴log2a>log22.∴a>2,即a的取值范围是(2,+∞).(2)∵2≤x≤14,∴3≤2x-1≤27.∴log23≤log2(2x-1)≤log227.∴函数f(x)=log2(2x-1)在[2,14]上的最小值为log23,最大值为log227.19.A由函数y=1ax与y=logbx互为反函数得20.C∵y=14x的反函数是f(x)=lo∴f(x0)=log14x0=-∴x0=14-121.Bf(x)=loga(x+b)的反函数的图象过点(2,8),因此函数f(x)的图象过点(8,2).又f(x)过点(2,1),则2=loga(8+b),1=loga又a>0,所以b所以a+b=4.22.B因为0<a<1,所以y=a-x为增函数,其图象过点(0,1);y=loga(-x)为增函数,其图象过点(-1,0).综上可知,B选项符合题意.故选B.能力提升练1.C选项D中没有对数函数的图象,错误;由y=ax与y=log12.Cy=log4x-34=12因此将函数y=12log2x的图象向右平移3个单位,可以得到函数y=12log2(x-3)的图象;再将所得图象向下平移1个单位,可以得到函数y=log43.B当x>0时,y=xln|当x<0时,y=xln|4.答案(3,+∞)解析由f(x)的图象可知,0<a<1<b,又f(a)=f(b),因此|lga|=|lgb|,于是lga=-lgb,则b=1a,所以a+2b=a+2设g(a)=a+2a因为g(a)在(0,1)上为减函数,所以g(a)>g(1)=3,即a+2a5.C由a=1213,知0<a<1;b=log213<log212=-1,则b<0;c=log所以c>1>a>0>b,即c>a>b,故选C.解题模板不同类型的数比较大小,常用0,1等特殊值界定,以达到比较大小的目的.6.D由f(0)<0得loga3<0,因此0<a<1.由-x2-2x+3>0得x2+2x-3<0,解得-3<x<1.因此函数f(x)的定义域为(-3,1).设u=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,∴当x∈(-3,-1]时,u=-x2-2x+3单调递增,而0<a<1,即y=logau单调递减,∴f(x)的单调递减区间为(-3,-1],故选D.7.答案[22,22+2]解析令u=x2-ax+a,则y=log12u显然为减函数,则要使函数在区间(-∞,2)上是增函数,则u=x2-ax+a在区间(-∞,则a2≥2,(2)2-8.解析(1)要使函数f(x)有意义,必有4−x(2)f(x)在(0,4)上单调递减.证明:任取0<x1<x2<4.则f(x1)-f(x2)=1x1+lg4−x1x1-1x∵0<x1<x2<4,∴x24x2-x1x2>4x1-x1x2>0,∴4x∴lg4x2-x1∴f(x)在(0,4)上单调递减.(3)∵f(1)=1+lg3,∴原不等式等价于f12由(2)知,f(x)在(0,4)上单调递减,∴0<12由12由12x(3-x)<1得x2∴原不等式的解集为(0,1)∪(2,3).9.解析(1)当a=12时,f(x)=log12故函数f(x)的定义域为(-∞,0).(2)由题意知,f(x)=loga(ax-1)(a>1),其定义域为(0,+∞),易知f(x)为(0,+∞)上的增函数,由f(x)<f(1)得x>(3)设g(x)=f(x)-log2(1+2x)=log22x设t=2x-12故2x+1∈[3,9],则t=1-22x+1∈13,79,故g(x)又∵f(x)-log2(1+2x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立,∴m<g(x)min=log213即m∈-∞,log10.答案0,1解析设u=kx2+(2k-1)x+14的值域为A,y=log2当k=0时,u=-x+14当k≠0时,依题意得k>0,B⊆A,因此(2k-1)2-4×k×14≥0,解得k≤1此时k的取值范围是0,1综上所述,实数k的取值范围为0,111.答案[-1,2)解析当x≥1时,lnx≥0,从而1+lnx≥1.设x<1时,y=(2-a)x+2a的值域为B,则(-∞,1)⊆B.因此2−a故a的取值范围是[-1,2).12.解析(1)由题意知mx2+2x+m>0对任意实数x恒成立,∵m=0时显然不满足,∴m>∴实数m的取值范围为(1,+∞).(2)当x∈[-1,1]时,f(x)∈13令f(x)=tt∈则y=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,∴h(a)=28−6(3)存在.∵y=2x+log3f(x2)=2x+log313x2=2x-x2∴4n≤1,∴n≤14∴函数在[m,n]上单调递增,∴2又∵m<n,∴m=-2,n=0.13.C设f(x)=ax(a>0,且a≠1),则g(x)=logax,依题意得loga5=3,即a3=5,因此a=35∴f(6)=(35)6=(513)614.B设g(x)=ln(x+x2+1),则g(-x)=ln(-x+(-x)2所以g(x)为奇函数.因此f(-a)=g(-a)+1=2,所以g(-a)=1,从而g(a)=-1,所以f(a)=g(a)+1=-1+1=0,故选B.15.C依题意得f(log2m)+f(log12m)≤2f(1)⇔f(log2m)+f(-log2m)≤2f(1)⇔f(log2m)≤f(1)⇔f(|log2m|)≤f(1)⇔|log2m|≤1⇔-1≤log2m≤1⇔log212≤log2m≤log216.CD选项A中,f(1)=log12(1+1)=-1,f(x)=log12(x+1)不是“A函数”.选项B中,若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则f(x1)+f(x2)=log2(x1+1)+log2(x2+1)=log2(x1x2+x1+x2+1)