4.4对数函数-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义

新教材必修第一册4.4：对数函数课标解读：对数函数的概念.（了解）对数函数的图像.（掌握）指数函数的性质.（掌握）指数函数与对数函数的关系（互为反函数）.（了解）几类不同增长的函数模型.（理解）学习指导：1.类比指数函数的图像与性质，分析对数函数问题的方式来学习本节内容必能事半功倍.2.在分析解决对数函数问题时应坚持“定义域优先”原则——先研究对数函数的定义域.3.结合具体问题，利用计算工具，比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语实现含义.知识导图知识点1：对数函数的概念1.对数函数的概念一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是.2.判断一个函数是对数函数的依据（1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数.例1-1：（多选题）下列函数中为对数函数的（）.A.B.C.D.答案：CD指数点2：对数函数的图象和性质函数的图象和性质如下表：底数图象性质定义域（0，+）值域R单调性增函数减函数例2-2：函数的大致图象是（）答案：A例2-3：若函数的图象恒过点A，则A的坐标为.答案：（1,4）例2-4：已知函数在（0，2）上的值域是（1，），则的大致图象是（）.答案：B知识点3：反函数1.反函数的定义一般地，对于函数，设它的值域为C.我们根据这个函数中的的关系，用把表示出来，得到.如果对于在C中的任何一个值，通过，在A中都有唯一的值和他对应，那么就表示是自变量的函数.这样的函数叫做的反函数，记作.2.反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图像关于直线对称.（2）若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象关于直线对称.（3）若函数图象上有一点，则必在其反函数的图象上；反之，若点在反函数的图象上，则必在其原函数的图象上.（4）互为反函数的两个函数的单调性相同.例3-5：设函数与的图像关于直线对称，则（）.4B.C.1D.答案：C例3-6：函数的反函数为（）A.B.C.D.答案：B例3-7：设常数，函数.若的反函数的图象经过点（3,1），则.答案：7知识点4：几类函数的增长差异1.几种不同增长的函数模型（1）一次函数模型一次函数模型的增长特点是直线上升，其增长速度不变.（2）指数函数模型指数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.（3）对数函数模型对数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.（4）幂函数模型当时，幂函数是增函数，且当时，越大其函数值的增长速度就越快.2.几类函数的增长差异一般地，在区间上，尽管函数，，都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着的增大，的增长速度越来越快，最终会超过并远远大于的增长速度（即使的值远远大于的值也是如此），而的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个，使得当时，有例4-8：某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与产量的关系，则可选用（）A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型答案：D例4-10：函数的图象如图所示：（1）试根据函数增长的差异指出曲线分别对应的函数；（2）比较两函数增长的差异（以两图象交点为分界点，对，的大小进行比较）答案：（1）（2）当；当当；当.重难拓展底数对对数函数图像的影响在同一平面直角坐标系中作出几个常见对数函数的图像：底数与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当时，对数函数的图像“上升”；当时，对数函数的图象“下降”.函数的图像关于轴对称.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，在第一象限内，取相同的函数值，不同的图象对应的对数函数的底数自左向右逐渐变大.（1）上下比较：在直线的右侧，当时，越大，图象越靠近轴；当时，越小，图象越靠近轴；（2）左右比较：比较图象与直线的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.例5-11：如图所示的曲线分别是对数函数的图像，则的大小关系为（用“＞”号连接）.答案：例5-12：若，试比较的大小.答案：解题指导题型1：对数型复合函数的定义域例13：求下列函数的定义域：（1）（2））（4）.答案：（1）（2）（3）（4）变式训练:函数的定义域是（）A.（0,2）B.（0,2]C.D.答案：D题型2：对数函数图象的应用1.利用对数函数作有关函数图像例14：作出函数的图象.答案：2.图象的识别问题例15：函数的图象大致是（）答案：A例16：函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）.答案：D变式训练：如果函数是减函数，那么函数的图象大致是（）.答案：C3.图象的应用——数形结合例17：方程的实根的个数为（）0B.1C.2D.3答案：C变式训练：当时，不等式恒成立，则的取值范围是（）A.（0,1）B.（1,2）C.D.（0，）答案：C题型3：对数函数单调性的应用1.研究对数型复合函数的单调性及最值例18：求下列函数的单调区间：（1）（2）答案：（1）单调递增区间是，单调递减区间是.（2）单调递增区间是，单调递减区间是例19：函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（）A.B.C.D.答案：C变式训练1：已知函数，则函数的值域是（）A.B.C.D.答案：B变式训练2：已知函数，若，当时，总有，则区间有可能是（）A.B.C.D.答案：B2.对数式的大小比较例20.比较下列各组中的两个值的大小：（1）（2）（3）（4）答案：（1）＞（2）＜（3）＞（4）＞例21：设为正数，且，则（）.A.B.C.D.答案：D变式训练1：已知，则（）A.B.C.D.答案：C变式训练2：（多选题）已知正实数满足等式，则下列五个关系式中可能成立的是（）A.B.C.D.E.答案：BDE3.解对数不等式：例22：解下列不等式：（1）（2）（1）答案：（1）.（2）（3）当时，解集为；当时，原不等式的解集为变式训练：已知函数在区间[-2，-1]上总有，求实数的取值范围.答案：题型4：对数型复合函数的奇偶性例23：已知函数.（1）若为奇函数，求的值；（2）在（1）的条件下，若在（）上的值域为（-1，+），求的值.答案：（1）（2）.易错提醒易错1：忽略真数大于0致误例24：若函数在[0,1]上单调递减，则的取值范围是（）.A.（0,1）B.（1,2）C.（0,2）D.（1，+）答案：B易错2：忽略对底数的讨论致误例25：函数在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则的值为.答案：2或易错3：未注意指数函数值域的特殊性致错例26：关于的方程有正实数根，则实数的取值范围为.答案：高考链接考向1：对数函数的定义域与值域例28：函数的定义域为.答案：例29：下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（）A.B.C.D.答案：D考向2：对数函数的单调性及其应用例30：函数的单调递增区间是（）A.B.C.D.答案：D例31：若，则（）A.B.C.D.答案：B考向3：对数函数图像及其应用例32：（1）下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（）A.B.C.D.答案：B（2）如图，函数的图象为折线ACB，则不等式的解集是（）A.B.C.D.答案：C考向4：对数函数的综合问题例33：设函数，则是（）A.奇函数，且在（0,1）上单调递增B.奇函数，且在（0,1）上单调递减C.偶函数，且在（0,1）上单调递增D.偶函数，且在（0,1）上单调递减答案：A基础巩固：1.函数的定义域为（）A.（-1,2）B.C.D.[-1,2]2.指数函数的反函数的图象过点（4,2），则（）A.3B.2C.9D.43.下列函数中，在区间（-1,1）上单调递减是（）A.B.C.D.4.设，，，则的大小关系正确是（）A.B.C.D.5.已知函数，直线与这三个函数的交点的横坐标分别为，则的大小关系是（）A.B.C.D.6.已知函数.（1）求的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）求不等式的解集.7.已知函数，求使关系式成立的实数的取值范围.能力提升：8.已知函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（）.A.B.C.D.9.在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（）10.设函数的图象与的图像关于直线对称，且，则（）.A.-1B.1C.2D.211.设，，则（）A.B.C.D.12.已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则的大小关系为（）A.