5.1 导数的概念及其意义-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

5.1导数的概念及其意义【考点梳理】大重点一：变化率问题和导数的概念考点一：瞬时速度的定义(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).考点二函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．考点三函数在某点处的导数如果当Δx→0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq\f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)大重点二：导数的几何意义考点四导数的几何意义1．割线斜率与切线斜率设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．考点五导函数的定义从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).规律总结：区别联系f′(x0)f′(x0)是具体的值，是数值在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f′(x)f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数【题型归纳】题型一：函数的平均变化率1．（2022秋·安徽滁州·高二校联考期中）已知函数，则y在上的平均变化率为（

）A．0.82 B．8.2 C．0.41 D．4.12．（2021秋·四川凉山·高二统考期中）已知函数，则从2到的平均变化率为（

）A．2 B． C． D．3．（2021·全国·高二专题练习）函数，在[0，2]上的平均变化率分别记为，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．，的大小无法确定题型二：瞬时变化率理解4．（2022秋·江西抚州·高二南城县第二中学校考阶段练习）某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是（距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.25秒时的瞬时速度为（

）A．6.75米/秒 B．6.55米/秒 C．5.75米/秒 D．5.55米/秒5．（2022秋·北京海淀·高二校考期中）已知某物体运动的位移关于时间的函数为，则当时的瞬时速度是（

）A．5m/s B．4m/s C．3m/s D．2m/s6．（2022秋·北京大兴·高二统考期中）一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（

）A． B． C． D．题型三：导数（导函数）的理解7．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）设函数在处的导数为2，则（

）A．2 B．1 C． D．68．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二统考期末）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（

）A． B．C． D．9．（2022秋·河南郑州·高二河南省实验中学校考期中）已知函数的导函数为，且，则（

）A． B． C． D．题型四：导数定义中的极限的简单计算10．（2022秋·广西玉林·高二统考期末）设是定义在R上的可导函数，若（a为常数），则（

）A． B．2a C． D．a11．（2022秋·全国·高二期末）设是定义在R上的可导函数，若（为常数），则（

）A． B． C． D．12．（2022秋·山东济宁·高二邹城市第二中学校考阶段练习）若，则（

）A．－4 B．4C．－1 D．1题型五：利用导数几何意义求切线方程13．（2022秋·四川成都·高二校考期中）函数在处的切线的斜率为（

）A．2 B．-2 C．0 D．114．（2022春·陕西延安·高二校考阶段练习）设函数在点处的切线方程为，则（

）A．4 B．2 C．1 D．15．（2022秋·湖南湘西·高二校联考期中）若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为（

）A． B．C．或 D．或题型六：已知切线（斜率）求参数16．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期末）已知函数在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则实数的值为（

）A．1 B． C． D．317．（2022秋·山东德州·高二统考期中）已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（

）A．3 B．2 C．-2 D．-318．（2022秋·江西赣州·高二校联考期中）若函数的图象在点处的切线方程为，则（

）A． B． C． D．题型七：导数的几何意义综合问题19．（2021秋·重庆合川·高二统考阶段练习）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线距离的最小值为（

）A．1 B． C． D．320．（2021秋·广东东莞·高二东莞市光明中学校考阶段练习）已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（

）A． B． C．或 D．以上都不对21．（2022·全国·高二专题练习）已知函数为偶函数，当时，，则曲线上的点到直线的最小距离为（

）A． B． C． D．【双基达标】单选题22．（2022秋·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）设在处可导，则（

）A． B． C． D．23．（2022·全国·高二假期作业）函数的图象在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．24．（2022·全国·高二假期作业）曲线在点处的切线方程为，则a，b的值分别为（

）A．-1，1 B．-1，-1 C．1，1 D．1，-125．（2022·全国·高二专题练习）已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（）A．经过4s后物体向前走了10mB．物体在前4秒内的平均速度为10m/sC．物体在第4秒内向前走了10mD．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s26．（2022春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）直线是曲线y＝lnx（x>0）的一条切线，则实数b等于（

）A．－1＋ln2 B．1 C．ln2 D．1＋ln227．（2022春·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）函数的定义域为，为奇函数，且的图像关于对称．若曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为（

）A． B．C． D．28．（2022秋·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（

）A． B． C． D．【高分突破】一、单选题29．（2022秋·安徽滁州·高二统考期末）已知函数，为的导函数，则的值为（

）A． B． C． D．30．（2022秋·陕西宝鸡·高二统考期末）若曲线在点处的切线方程为，则（

）A．3 B． C．2 D．31．（2022秋·陕西宝鸡·高二统考期末）一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（

）A．2 B．1 C． D．二、多选题32．（2022秋·河北石家庄·高二统考期末）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可能是（

）A．1.2 B．4 C．5.6 D．33．（2022秋·广东江门·高二新会陈经纶中学校考期中）已知曲线.则曲线过点P（1，3）的切线方程为.（

）A． B． C． D．34．（2022·高二课时练习）下列有关导数的说法，正确的是（

）.A．就是曲线在点处的切线的斜率B．与的意义是一样的C．设是位移函数，则表示物体在时刻的瞬时速度D．设是速度函数，则表示物体在时刻的瞬时加速度35．（2022·高二课时练习）若当，满足，则下列结论正确的是（

）A．B．C．曲线上点处的切线斜率为D．曲线上点处的切线斜率为36．（2022秋·吉林长春·高二长春市第五中学校考期中）一个质点做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则（

）A．该质点在前2秒内的平均速度为24m/sB．该质点在第1秒的瞬时速度为12m/sC．该质点在第2秒的瞬时加速度为D．该质点的瞬时加速度取得最小值时的时刻为第1秒三、填空题37．（2022秋·上海闵行·高二校考期末）已知，则______．38．（2022秋·重庆万州·高二校考阶段练习）已知函数在点处的切线方程为，则_______.39．（2022秋·四川资阳·高二校考期中）如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______．40．（2022秋·上海崇明·高二统考期末）已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数的值等于___________．41．（2022春·四川南充·高二阆中中学校考阶段练习）若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是_________参考答案：1．B【分析】根据平均变化率进行计算．【详解】，，所以．故选：B．2．B【分析】利用平均变化率的意义即可得出．【详解】函数从2到的平均变化率为：.故选：B．3．A【分析】根据平均变化率的定义计算比较即可.【详解】，，故.故选：A.4．D【分析】依据瞬时速度定义利用极限去求他在0.25秒时的瞬时速度即可【详解】则他在0.25秒时的瞬时速度为5.55米/秒故选：D5．A【分析】直接求导，即可得到答案.【详解】因为，所以当时的瞬时速度是.故选：A6．B【分析】利用导数的定义可求得时小球的瞬时速度.【详解】由题意可知时小球的瞬时速度为.故选：B.7．A【分析】根据导数的定义即得.【详解】因为函数在处的导数为2，所以.故选：A.8．A【分析】由图象的变化趋势，结合导函数的定义有，即可得答案.【详解】由图知：，即.故选：A9．D【分析】根据导数的定义式直接求解.【详解】因为，所以，故选：D.10．A【分析】根据导数的定义及极限的性质计算可得；【详解】解：.故选：A.11．C【分析】根据导数的定义即可求解.【详解】.故选：C.12．C【分析】利用导数的定义直接求解【详解】因为，所以．故选：C13．A【分析】求出函数的导数后可得切线的斜率.【详解】，故，故曲线在处的切线的斜率为2，故选：A.14．C【分析】根据曲线某点处的导数等于切线的斜率，得，再根据可求解.【详解】函数在点处的切线方程为，则.故选:C.15．D【分析】因为P点在曲线上，所以需要分两种情况讨论，P点为切点和P点不为切点，分别根据导数的几何意义求解切线方程即可.【详解】①易知P点在曲线上，当P点为切点时，.②当P点不是切点时，设切点为，由定义可求得切线的斜率为.∵A在曲线上，∴，∴，∴，∴，解得或(舍去)，∴，k=3，此时切线方程为y+1=3(x+1)，即.故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或.故选：D【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．16．C【分析】根据导数的几何意义求得曲线在处的切线为，结合题意，列出方程，即可求解.【详解】由题意，函数，则，可得，，即切点坐标为，所以在处的切线为，当时，；当时，，因为在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，可得，解得或，又因为，所以.故选：C.17．A【分析】求得f(x)的导数,可得切线的斜率,再列方程可得所求值.【详解】的导数为，可得f(x)在x=1处的切线的斜率为4+a.因为直线的斜率为，所以4+a=7，解得：a=3.故选：A18．A【分析】求出，利用导数的几何意义可得出的值，再利用点为曲线与直线的公共点可求得实数的值.【详解】因为，则，则，即切线方程为，所以，，解得.故选：A.19．B【分析】利用导数几何意义求出曲线上与平行的切线方程，两线距离即为曲线上点与直线的最小距离，利用平行线距离公式求值即可.【详解】由题设且，令，可得（舍）或，所以，则曲线上切线斜率为1的切点为，故对应切线为，其与的距离，即为P到直线距离的最小值，所以最小值为.故选：B20．C【分析】根据的导函数为，又由其过P点的切线与直线平行性可知，求得切点P的横坐标，代回曲线方程求得的值，可得答案.【详解】解：由题意可知：函数的导函数为过P点的切线与直线平行，解得当时，，此时切线方程为，即；当时，，此时切线方程为，即.所以点P的坐标是（2，14）或（-2，-14）故选:C21．B【分析】首先求的解析式，根据条件求的点，再求点到直线的距离的最小值.【详解】当时，设点，，解得：，，此时点到直线的距离，设，，因为函数是偶函数，所以，设点，，解得：，，此时点到直线的距离，因为，所以曲线上的点到直线的最小距离为.故选：B22．A【分析】变形，结合导数的定义，计算出结果.【详解】因为在处可导,所以，由导数的定义可得：.故选：A23．C【分析】首先求出函数在处的切线斜率，再利用点斜式写出方程即可.【详解】，则，而，故函数在处的切线方程为，则.故选：C24．C【分析】根据切点和斜率求得切线方程.【详解】依题意，切点为，斜率为，，所以，解得.故选：C25．D【分析】根据导数的物理意义可知，函数的导数即是t时刻的瞬时速度．求解即可．【详解】∵物体做直线运动的方程为，根据导数的物理意义可知，函数的导数是t时刻的瞬时速度，∴表示的意义是物体在第4s时的瞬时速度为10m/s．故选：D．26．A【分析】根据导数的几何意义进行求解即可.【详解】设直线与曲线y＝lnx相切于点，由y＝lnx可得，于是有：，故选：A27．A【分析】根据题意得函数的图像关于点对称，关于对称，进而得函数是周期为的周期函数，再结合题意，根据周期性与对称性求解即可.【详解】解：因为为奇函数，即，所以，函数的图像关于点对称，即，因为的图像关于对称，所以的图像关于对称，即，所以，，所以，即函数是周期为的周期函数，所以曲线在处的切线斜率等于曲线在处的切线斜率，因为曲线在处的切线斜率为，图像关于对称，所以，曲线在处的切线斜率为，因为，，所以，所以，所以曲线在处的切线方程为，即.故选：A28．D【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到，利用导数的概念解出即可.【详解】依题意可知切点，函数的图象在点处的切线方程是，，即又即故选：D.29．A【分析】直接利用导数的定义，即可解出．【详解】由题意可得，，所以故选：．30．C【分析】由求得值，然后利用是切点可求得值．【详解】，由已知，，即，，所以，．故选：C.31．A【分析】利用平均速度的计算公式求解即可【详解】，，因为物体在这段时间内的平均速度为，所以，解得，故选：A32．ABD【分析】分别设切点分别为，，由导数的几何意义分别写出切线方程，由题意切线方程相同，从而可得出，设由导数求出其值域即可.【详解】由，则，由，则设切线与曲线相切于点，则斜率为，所以切线方程为，即

①设切线与曲线相切于点，则斜率为：，则切线方程为，即，②根据题意方程①，②表示同一条直线，则所以，令（），则，所以在上单调递增，在上单调递减，，由题意.故答案为：ABD33．AB【分析】设切点为，写出切线方程，切线过点（1，3），求得即可.【详解】解：设切点为，则，所以，所以切线方程为，因为切线过点（1，3），所以，即，即，解得或，所以切线方程为或，故选：AB34．ACD【分析】根据