5.1 任意角和弧度制透课堂-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列（人教A版2019必修第一册）

2021-2021学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第一册)第五章三角函数5.1任意角和弧度制【知识导学】考点一：任意角1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3．角的分类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角考点二角的加法与减法设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．考点三象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．考点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．考点五：度量角的两种单位制1．角度制：(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．(2)1度的角：周角的eq\f(1,360).2．弧度制：(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．考点六：弧度数的计算考点七：角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度数×eq\f(π,180)＝弧度数弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数考点八：弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2.【考题透析】透析题组一：任意角的概念1．（2021·安徽·蚌埠二中高一期中）下列说法中，正确的是（）A．锐角是第一象限的角 B．终边相同的角必相等C．小于的角一定为锐角 D．第二象限的角必大于第一象限的角2．（2021·河南·郑州四中高一月考）已知集合第二象限角，钝角，小于180°的角，则A，B，C关系正确的是（）A． B． C． D．3．（2021·全国·高一课前预习）下列说法：①终边相同的角必相等；②锐角必是第一象限角；③小于的角是锐角；④第二象限的角必大于第一象限的角；⑤若角的终边经过点，则角是第三或第四象限角，其中错误的是（）A．③④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤4．（2021·全国·高一课时练习）与1°角终边相同的角的集合是（）A． B．C． D．透析题组二：终边相同的角5．（2021·全国·高一课时练习）以下命题正确的是（）A．第二象限比第一象限角大B．，，则C．若（），则为第一或第二象限角D．终边在x轴上的角可表示为（）6．（2019·福建·莆田第十五中学高一期中）下列命题正确的是（）A．小于的角一定是锐角B．终边相同的角一定相等C．终边落在直线上的角可以表示为，D．若，则角的正切值等于角的正切值透析题组三：象限角7．（2021·全国·高一课时练习）若α是第一象限的角，则是（）A．第一象限角 B．第四象限角C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角8．（2021·江西·横峰中学高一月考（理））已知角第二象限角，且，则角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角9．（2021·海南·白沙黎族自治县白沙中学高一期中）“角是第一象限的角”是“角是第一象限的角”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件透析题组四：度量角的两种单位制（角度制和弧度制）10．（2021·全国·高一课前预习）下列叙述中，正确的是（）A．1弧度是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角的和D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位11．（2020·全国·高一课时练习）下列说法中错误的是（）A．弧度制下，角与实数之间建立了一一对应关系B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C．根据弧度的定义，一定等于弧度D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关12．（2021·全国·高一课时练习）下列说法中，错误的是（）A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．的角是周角的，的角是周角的C．的角比的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关透析题组五：角度与弧度的互化13．（2021·全国·高一课时练习）在直径为的圆中，圆心角所对的弧长为（）A． B． C． D．14．（2021·辽宁·葫芦岛市第八高级中学高一月考）把化为的形式是（）A． B． C． D．15．（2020·山东·济南市长清第一中学高一月考）下列转化结果错误的是（）A．60化成弧度是 B．150化成弧度是C．化成度是600 D．化成度是15透析题型六：与扇形的弧长、面积有关的计算16．（2021·四川·绵阳中学实验学校高一期中）已知扇形的半径为，面积为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（）A． B． C． D．17．（2021·广东·仲元中学高一期中）已知一个母线长为的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．18．（2021·安徽宿州·高一期中）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弧长等于米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是（）平方米.A． B． C． D．【考点同练】一、单选题19．（2021·四川省泸县第一中学高一月考（理））若是第二象限角，则是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角20．（2021·福建·三明一中高三期中）“角小于”是“角是第一象限角”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件21．（2021·全国·高一课时练习）与800°角终边相同的角可以表示为（），．A． B．C． D．22．（2020·广东揭东·高一期末）工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某同学想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为，外圆半径为20cm，内圆半径为10cm.则制作这样一面扇面需要的布料为（）cmA． B． C． D．23．（2020·山西·怀仁市第一中学校云东校区高一期中（文））在半径为15cm的圆上，一扇形所对的圆心角为，则此扇形的面积为（）A．5 B．C． D．24．（2021·全国·高一课时练习）下列说法中，错误的是（）A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．的角是周角的的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关25．（2021·全国·高三专题练习）若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12cm，则弧长l等于（）A．πcm B．πcmC．4cm D．8cm26．（2021·上海市建青实验学校高一期中）在平面直角坐标系中，下列结论正确的是（）A．小于的角一定是锐角 B．第二象限的角一定是钝角C．始边相同且相等的角的终边一定重合 D．始边相同且终边重合的角一定相等二、多选题27．（2021·全国·高一课时练习）[多选题]下列说法正确的有（）A．终边相同的角一定相等B．钝角一定是第二象限角C．第一象限角可能是负角D．小于90°的角都是锐角28．（2021·全国·高一课时练习）[多选题]下列转化结果正确的有（）A．60°化成弧度是 B．化成度是C．化成弧度是 D．化成度是75°29．（2022·江苏·高三专题练习）下列与角的终边不相同的角是（）A． B．2kπ－(k∈Z)C．2kπ＋(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)30．（2022·江苏·高三专题练习）已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数可能是（）A． B． C．2 D．或31．（2021·全国·高一专题练习）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为，圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，圆心角为，当与的比值为（黄金分割比）时，折扇看上去较为美观，那么（）A． B． C． D．三、填空题32．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为______．

33．（2020·上海金山·高一期末）半径为2厘米，圆心角等于的扇形面积等于________平方厘米．34．（2021·全国·高一课时练习）已知角，则与α终边相同的最大负角是______．35．（2022·江苏·高三专题练习）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为_____________平方米.（其中，）四、解答题36．（2021·全国·高一课时练习）用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图7-1-7所示）．37．（2021·全国·高一课时练习）已知，，，．（1）将，用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；（2）将，用角度制表示出来，并在内找出与它们终边相同的所有角．38．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知圆O的半径r为10，弦AB的长为10．

（1）求弦AB所对的圆心角的大小；（2）求圆心角所对应的弧长l及阴影部分的面积S．【答案精讲】1．A【分析】根据锐角的定义，可判定A正确；利用反例可分别判定B、C、D错误，即可求解.【详解】对于A中，根据锐角的定义，可得锐角满足是第一象限角，所以A正确；对于B中，例如：与的终边相同，但，所以B不正确；对于C中，例如：满足，但不是锐角，所以C不正确；对于D中，例如：为第一象限角，为第二象限角，此时，所以D不正确.故选：A.2．C【分析】由集合A，B，C，求出B与C的并集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可．【详解】由题意得，故A错误；A与C互不包含，故B错误；由钝角小于180°的角，所以，故C正确.由以上分析可知D错误．故选：C．3．C【分析】①取特殊角：与进行判断；②根据锐角的范围直接判断；③取负角进行否定；④取特殊角进行否定；⑤取特殊角进行否定．【详解】①终边相同的角必相等错误，如与终边相同，但不相等；②锐角的范围为，必是第一象限角，正确；③小于的角是锐角错误，如负角；④第二象限的角必大于第一象限的角错误，如是第二象限角，是第一象限角；⑤若角的终边经过点，则角是终边在轴负半轴上的角，故⑤错误．其中错误的是①③④⑤．故选C．【点睛】（1）要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了.（2）角的概念的辨析题中，通常可以取特殊角来否定结论.4．C【分析】角的表示方法不一致，排除A，D；选项B表示错误；根据终边相同的角的公式得选C．【详解】解：角的表示方法要保持一致，排除A，D；选项B表示错误；而180°角与角对应，于是1°角与角对应，根据终边相同的角的公式得选C．故选：C5．B【分析】A：运用特例法进行判断即可；B：根据子集的定义进行判断即可；C：根据象限角的定义进行判断即可；D：根据终边在x轴上的角的特点进行判断即可,【详解】A不正确，如．在B中，当，时，，，∴，∴B正确．又C中，α为第一或第二象限角或在y轴的非负半轴上，∴C不正确．显然D不正确，比如写不成（）的形式．故选：B6．D【分析】根据小于的角可以是负角，可判定A错误；由与的终边相同，可判定B错误；根据角的终边相同角的表示，可判定C错误；根据诱导公式，可判定D正确.【详解】根据角的推广可得，小于的角可以是负角，但锐角的范围是，所以A错误；例如：角与的终边相同，但，所以B错误；由直线，可得直线的倾斜角为，根据角的终边相同角的表示，可得终边落在直线上的角可以表示为或，所以C错误；由，可得，可得，所以D正确.故选：D.7．D【分析】根据题意求出的范围即可判断.【详解】由题意知，，，则，所以，．当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角．所以是第二或第四象限角.故选：D.8．C【分析】由是第二象限角，知在第一象限或在第三象限，再由，知，由此能判断出所在象限．【详解】因为角第二象限角,所以，所以，当是偶数时，设，则，此时为第一象限角；当是奇数时，设，则，此时为第三象限角.；综上所述：为第一象限角或第三象限角，因为，所以，所以为第三象限角．故选：C．9．D【分析】根据象限角的范围，分别求是第一象限的角时的范围、是第一象限的角时的范围，即可判断充分、必要关系.【详解】当角是第一象限的角，则且，∴不一定是第一象限的角.当角是第一象限的角，则且，∴不一定是第一象限角.∴“角是第一象限的角”是“角是第一象限的角”的既不充分也不必要条件.故选：D10．D【分析】根据弧度的定义即可判断.【详解】根据弧度的定义，在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角.故选：D．11．D【分析】根据弧度的定义判断各选项．【详解】依据弧度的意义可知A正确；1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，B正确；根据弧度的定义，一定等于弧度，C正确；根据角度制与弧度制的定义可知，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以D错误．故选：D．12．D【分析】根据角度和弧度的定义可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，A选项正确；对于B选项，的角是周角的，的角是周角的，B选项正确；对于C选项，，C选项正确；对于D选项，用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关，D选项错误.故选：D.【点睛】本题考查角度制与弧度制相关概念的判断，属于基础题.13．B【分析】先将角度转化为弧度，再由弧长公式即可求解【详解】因为圆的直径为，所以圆的半径因为，所以圆心角所对的弧长为,故选：B.14．A【分析】先将角度化为弧度，运算即可得解.【详解】由题意，.故选：A.15．B【分析】由弧度和角度的互化可判断．【详解】根据弧度定义，弧度，弧度＝，

所以弧度，弧度，，，错误的是B．故选：B．16．D【分析】由扇形面积公式直接构造方程求得结果.【详解】设扇形的圆心角为，则，解得：，即圆心角弧度数为.故选：D.17．D【分析】根据扇形的圆心角、弧长和半径的关系以及扇形的面积求解.【详解】解：将圆心角化为弧度为：，设圆锥底面圆的半径为由圆心角、弧长和半径的公式得：，即由扇形面积公式得：所以圆锥的侧面积为.故选：D.18．D【分析】由已知求得矢和弦长，再由公式计算．【详解】设半径为，则，，所以弦长为，矢为，所以弧田面积为．故选：D．19．A【分析】由已知中是第二象限的角，可求的范围，即可判断得解．【详解】解：因为：角是第二象限角，所以：，则：，故是第一象限角．故选：A．20．D【分析】利用特殊值法结合充分、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若角小于，取，此时，角不是第一象限角，即“角小于”“角是第一象限角”；若角是第一象限角，取，此时，，即“角小于”“角是第一象限角”.因此，“角小于”是“角是第一象限角”的既不充分也不必要条件.故选：D.21．C【分析】根据终边相同的角的定义可求出.【详解】与800°角终边相同的角可以表示为（），即（）．故选：C.22．B【分析】分别求出两个扇形的面积，相减即可得解.【详解】解：扇形的圆心角为大扇形的面积为，小扇形的面积为，所以制作这样一面扇面需要的布料为.故选：B.23．D【分析】用扇形面积公式求解【详解】由已知得扇形的半径，扇形所对的圆心角为，则此扇形的面积为.故选：D.24．D【分析】利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断即可.【详解】根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位，的角是周角的，1rad的角是周角的，故A、B正确；1rad的角是，故C正确；无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，故D错误.故选：D25．B【分析】由圆心角是α＝120°，弦长AB＝12cm解直角三角形求圆的半径，再由弦长公式求弦长.【详解】设扇形的半径为rcm，如图．由sin60°＝，得r＝4cm，∴l＝|α|·r＝×4＝cm，故选：B.26．C【分析】根据象限角的定义、终边相同的角的定义以及相关概念，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于选项A：小于的角不一定是锐角，如负角和零角均小于，但不是锐角，故A错误；对于选项B：钝角是第二象限角，但是反过来不正确，比如是第二象限角但不是钝角，故B错误；对于选项C：始边相同且相等的角的终边一定重合，故C正确；对于选项D：始边相同且终边重合的角不一定相等，可以相差的整数倍，故D错误.故选：C.27．BC【分析】对于A：取特殊角30°和390°.即可否定结论；对于B：由第二象限角的范围直接判断；对于C：取特殊角－330°即可判断；对于D：取特殊角－45°角进行否定结论.【详解】对于A：终边相同的角不一定相等，比如30°和390°.故A不正确；对于B：因为钝角的大小在，所以钝角一定是第二象限角，故B正确；对于C：如－330°角是第一象限角，所以C正确；对于D：，－45°角它不是锐角，所以D不正确.故选：BC．28．AB【分析】直接根据角度与弧度的互化即可得到.【详解】，A对；，B对；，C错；，D错．故选AB．29．ABD【分析】根据终边相同的角的定义即可判断.【详解】与角的终边相同的角为，其余三个角的终边与角的终边不同．故选：ABD.30．AC【分析】根据弧长公式和面积公式即可求解.【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，∴解得或，则或1.故选：AC．31．BCD【分析】利用扇形的面积公式以及角度制与弧度制的互化即可求解.【详解】设扇形的半径为，由，故D正确；由，所以，解得，故C正确；由，则，所以，所以，故B正确.故选：BCD32．【分析】求出终边在直线OM上、直线ON上的角的集合进行求