河南省周口市恒大中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版）

2024-2025学年（上）高二数学开学考试卷数学试题试卷考试时间：120分钟满分：150第I卷（选择题）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.复数（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘法、除法的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】根据复数的运算法则，可得.故选：B.2.设向量，满足，，则的最小值为（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，再根据已知求出，即得的最小值.【详解】由题得，因为，所以，因为，所以当时，，所以的最小值为1.故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的模和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.设复数（是虚数单位），则复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数除法、复数乘法运算求得正确答案.【详解】.故选：A4.已知向量，，，则m的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】向量垂直的定义及向量的数量积坐标公式计算即可．【详解】因为，，，故故选：B5.若直线平面，直线平面，，则（）A.或与异面 B. C.与异面 D.与相交【答案】B【解析】【分析】过作平面交平面于，过作平面交平面于，通过线面平行的性质定理、判定定理、平行公理可以判断出的位置关系.【详解】如图，过作平面交平面于，过作平面交平面于，因，所以.因为，所以.所以，又，所以，又，所以，所以.故选：B【点睛】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理，考查了平行公理，考查了推理论证能力.6.2020年11月5日—11月10日，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口博览会，其中的“科技生活展区”设置了各类与人民生活息息相关的科技专区.现从“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术”五个专区中选择两个专区参观，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先分别对五个专区作标记，列举出总的基本事件，以及满足“选择的两个专区中包括人工智能及软件技术专区”所对应的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.【详解】分别记“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术”五个专区为、、、、；从这五个专区中选择两个专区参观，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共个基本事件；选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区（即专区），所对应的基本事件有：，，，，共个基本事件；因此，选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是.故选：C7.已知，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘、除法运算可得，进而，结合复数的乘法计算即可求解.【详解】由题意知，，所以，所以.故选：B8.的内角所对的边分别为，且，则的值为（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理可得，再结合同角商数关系，平方关系，最后求得.【详解】由得，又，所以，从而，所以.故选：B二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.如图，在正方体中，P为棱上动点，平面，Q为垂足，则（）．A.B.平面截正方体所得的截面可能为三角形C.当P位于中点时三棱锥的外接球半径最大D.线段的长度随线段的长度增大而增大【答案】ABD【解析】【分析】对于A，求证即可判断；对于B，由等边即可判断；对于C，由外接球半径和（的外接圆半径为r）即可判断；对于D，由和随AP的增大而变小可判断.【详解】选项A，连接，CQ，则，，又因为，，所以，故，选项A正确；选项B，当P位于点A时，截面为三角形，选项B正确；选项C，平面DCP，记的外接圆半径为r，则外接球半径，由正弦定理得，当P位于AB中点时，，则，，选项C错误；选项D，为定值，过P作于点M，过M作，则，如图，可知随AP的增大而变小，所以由为定值可知，随AP的增大而增大，故选项D正确．故选：ABD.10.如图(a)，边长为2的正方形AP₁P₂P₃中，B，C分别是P₁P₂，P₂P₃的中点，AP₂交BC于D，现沿AB，AC及BC把这个正方形折成一个四面体，如图(b)，使P₁，P₂，P₃三点重合，重合后的点记为P，则有（）A.平面PAD⊥平面PBCB.四面体P-ABC的体积为C.点P到平面ABC的距离为D.四面体P-ABC的外接球的体积为【答案】ABD【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理判断A；利用锥体的体积公式结合等积变换可判断BC；利用三棱锥的外接球即是以2，  1【详解】对于A，由已知可得AP⊥PB，  AP则⊥平面，又平面，故平面平面，故A正确；对于B，因为PA，  PB，  对于C，设到平面ABC的距离为，∵S△ABCVP-ABC=13×32×h=h2=1对于D，因PA，  PB，  故球的半径为4+1+12=62，则球的体积为故选：ABD．11.在中，内角，，所对的边分别为，，，三条中线相交于点.已知，，的平分线与相交于点，则（）A.边上的中线长为B.内切圆的面积为C.与面积之比为3:2D.到的距离为【答案】BC【解析】【分析】如图，取边上的中点，则边上的中线为，两边同时平方结合向量数量积即可判断A；设内切圆的为，由，求出即可判断B；由角平分线定理，，可判断C；到的距离为，求出代入可判断D.【详解】如下图，取边上的中点，则边上的中线为，则，，又因为，则，则.故A不正确；因为，设内切圆的为，，则，则，内切圆的面积为：，故B正确.对于C，由角平分线定理知：，所以C正确；对于D，因为，在三角形和三角形中，，则，解得：，所以，所以，所以，所以到距离为：，故D不正确.故选：BC.第II卷（非选择题）二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，从下列四个条件中选择两个作为已知条件，能够得到的是___________.（填入条件的序号即可）①；②；③；④.【答案】①③（或②④）【解析】【分析】由直线与平面，平面与平面的位置关系对选项一一分析即可得出答案.【详解】选①②，若，，则可能，不正确；选①③，若，，则，正确；选①④，若，，则可能，不正确；选②③，若，，则可能，不正确；选②④，若，，则，正确；选③④，若，，则可能，不正确；故答案为：①③（或②④）13.如图，在四边形中，设，，，则可用表示为_____．【答案】【解析】【分析】利用向量的加法与减法法则，在图形中寻找回路即可得到答案.【详解】.故答案为：【点睛】本题考查平面向量的加法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.14.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB//CD，且AB//平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.【答案】【解析】【分析】利用线面平行的性质定理可得，由梯形的中位线即可求解.【详解】四边形ABCD是梯形，AB//CD，且AB//平面α，平面平面，则，又点M是AD的中点，所以是梯形的中位线，所以.故答案为：四、解答题（共5小题，共计77分.）15.化简下列各式：（1）；（2）；（3）；【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）（2）（3）按照向量的加法、减法法则计算即得.【小问1详解】；【小问2详解】；【小问3详解】.16.如图，有一块三棱锥形木块ABCD，其中面ABC内有一点P．（1）若要在面ABC内过点P画一条线段EF，其中点E在线段AB上，点F在线段AC上，且满足EF与AD垂直，该如何求作？请在图中画出线段EF并说明画法，不必证明．（2）经测量，AB＝AC＝6cm，AD＝5cm，∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAD＝，若P恰为三角形ABC的重心，EF为（1）中所求线段，求三棱锥ADEF的体积．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）在AD上任取一点Q；过点Q在平面ABD内作AD的垂线，交AB于G；过点Q在平面ACD内作AD的垂线，交AC于H；连接GH，若GH过点P，则GH就是所求线段EF；若GH不过点P，则过点P作GH的平行线，与AB、AC相交即得线段EF.（2）取BC中点M，连MA、MD，由余弦定理求得，根据线面垂直的判定证得面MAD，由已知得三棱锥A-DEF的体积为三棱锥A-BCD体积的，根据棱锥的体积公式可求得答案.【小问1详解】解：如图，在AD上任取一点Q；过点Q在平面ABD内作AD的垂线，交AB于G；过点Q在平面ACD内作AD的垂线，交AC于H；连接GH，若GH过点P，则GH就是所求线段EF；若GH不过点P，则过点P作GH的平行线，与AB、AC相交即得线段EF.小问2详解】解：取BC中点M，连MA、MD，因为P为三角形ABC的重心，故P在AM上，且AP=2PM.由题意知，AB＝AC＝6cm，AD＝5cm，∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAD＝，所以，所以，，故面MAD，于是，故三棱锥A-DEF的体积为三棱锥A-BCD体积的，由题意得，在中，，所以，所以所以.17.如图，公园有一块边长为2的等边的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．（1）设（），，求用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请说明理由．【答案】（1）；（2）DE为AB中线或AC中线，理由见解析．【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理有，依题意，即，，由此求得；（2）如果DE是水管，利用基本不等式可求得最小值为，此时，即，且时，DE最短．如果DE是参观线路，注意到在时值相等，根据对钩函数的性质可知最大值为.【详解】（1）在中，，即，①又，即，所以，②②代入①得：（），所以（）．（2）如果DE是水管，，当且仅当，即时“=”成立，故，即，且时，最短；如果是参观线路，记，由对勾函数的性质可知：函数在上递减，在上递增，故，所以.即DE为中线或中线时，DE最长．18.已知平面向量，，.（1）若，求；（2）若与的夹角为锐角，求的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据垂直关系可构造方程求得，由向量模长的坐标运算可求得结果；（2）根据向量共线的坐标表示可求得的值，根据夹角为锐角可构造不等式组求得结果.【小问1详解】，，解得：或，当时，，；当时，，；综上所述：或10【小问2详解】若共线，则，解得：或，当时，，，此时同向；当时，，，此时反向；若与的夹角为锐角，则，解得：且，的取值范围为.19.某校组织《反间谍法》知识竞赛，将所有学生的成绩（单位：分）按照，，…，分成七组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求这次竞赛成绩平均数的估计值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）从竞赛成绩不低于85分的学生中用分层随机抽样的方法抽取12人，再从第六组和第七组被抽到的学生中任选2人做主题演讲，求至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用频率之和为1，列式求