函数值域的求法（7大压轴考法）解析版

函数值域的求法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 3题型一、直接法 3题型二、配方法 4题型三、换元法 5题型四、分离常数法 6题型五、基本不等式法 8题型六、单调性法 11题型七、判别式法 13压轴能力测评（6题） 16一、定义域优先函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则。二、常见函数的值域(1)一次函数的值域为R.(2)二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，(3)反比例函数的值域为.(4)指数函数的值域为.(5)对数函数的值域为R.(6)正，余弦函数的值域为，正切函数的值域为R.(7)对勾函数：对勾函数：值域：三、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“”或“”的函数均可用配方法求值域；3、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有（1）或的结构，可用“”换元；（2）（均为常数，），可用“”换元；（3）型的函数，可用“”或“”换元；4、分离常数法：形如的函数，应用分离常数法求值域，即，然后求值域；5、基本不等式法：形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：=1\*GB3①；=2\*GB3②（或）为定值；=3\*GB3③取等号的条件为，三个条件缺一不可；6、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）（1）形如的函数可用函数单调性求值域；（2）形如的函数，当时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；当时，在和上为单调函数，可直接利用单调性求解。7、判别式法：形如或的函数求值域，可将函数转化为关于的方程，利用二次项系数不为0，判别式或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域。【题型一直接法】一、单选题1．（23-24高一上·广东广州·期中）下列函数定义域和值域不同的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求解各函数的定义域和值域，即可判断各选项.【详解】对于A，的定义域和值域都是，A错；对于B，的定义域为，值域为，B对；对于C，的定义域和值域都是，C错；对于D，的定义域和值域都是，D错.故选：B.二、填空题2．（23-24高一·江苏·假期作业）函数，的值域为，函数，的值域为．【答案】【分析】根据函数的解析式及定义域直接求解.【详解】∵，，，∴函数的值域为．∵，∴，∴函数的值域为.故答案为：，.3．（23-24高一上·云南丽江·阶段练习）函数在的值域为.【答案】【分析】根据不等式性质运算求解即可.【详解】因为，则，可得，所以在的值域为.故答案为：.【题型二配方法】一、单选题1．（22-23高一上·湖北咸宁·自主招生）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（

）A．4米 B．3米 C．2米 D．1米【答案】A【分析】根据题意，求出的最大值，即为结果.【详解】，故水喷出的最大高度是米.故选：A.二、填空题2．（23-24高一上·湖南长沙·期中）函数的值域为.【答案】【分析】先求出分母的范围，然后根据倒数关系即可得的值域.【详解】因为二次函数的值域为，所以的定义域是，值域为.故答案为：.三、解答题3．（24-25高一上·上海·假期作业）求值域：(1)，(2)，【答案】(1)[1,+∞)(2)【分析】（1）通过配方，由二次函数的值域即可求解；（2）根据题意，由二次函数的性质，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）因为，所以函数的值域为.（2）因为，其中对称轴为，且，则时，函数有最小值为，当时，函数有最大值为，所以函数值域为.【题型三换元法】一、填空题1．（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的值域为【答案】【分析】设，求出新函数的定义域即可求出值域.【详解】设，，所以，由图象易知值域为.故答案为：.2．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）函数的值域为．【答案】【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可得解.【详解】设，则，，所以，因为，在上单调递减，所以，所以函数的值域为．故答案为：.3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则实数的值为．【答案】13【分析】令，则，结合二次函数的性质即可求解.【详解】由题意可得可得，令，则，，∴当时取得最大值，但由于，故当即时，，解得．故答案为：13．【题型四分离常数法】一、填空题1．（24-25高一上·全国·单元测试）函数的值域是．【答案】【分析】分离常数，求得值域.【详解】，因为，所以，所以值域为.故答案为：.2．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为【答案】【分析】利用反比例函数的定义域和值域都是，来求分式函数的值域.【详解】因为，又因为，所以，所以函数的值域为．故答案为：.3．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）函数在上的值域是．【答案】【分析】将函数变形为，再由的取值范围及不等式的性质计算可得.【详解】因为，又，所以，所以，所以，所以.故答案为：二、单选题4．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解.【详解】依题意，，显然，则，于是，所以函数的值域是.故选：C5．（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可.【详解】结合题意：，当时，；当时，，当且仅当，即，原式取得最小值；另一方面，因为，所以，即;当时，，当且仅当，即，原式取得最大值;另一方面因为，令，则，所以，所以所以，即;综上所述：函数的值域是.故选：A.【题型五基本不等式法】一、单选题1．（23-24高一上·广东佛山·期中）函数，的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别在和的情况下，结合基本不等式可求得结果.【详解】当时，（当且仅当时取等号）；当时，（当且仅当时取等号）；综上所述：的值域为.故选：C.二、填空题2．（23-24高一上·江苏连云港·期中）若，函数的值域为.【答案】【分析】根据题意利用基本不等式运算求解.【详解】因为，则，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的值域为.故答案为：.3．（23-24高一上·上海·期中）当时，函数的值域为.【答案】【分析】根据题意可得，结合基本不等式运算求解.【详解】因为，则，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的值域为.故答案为：.4．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为．【答案】2【分析】利用换元法，结合对勾函数性质求解即可.【详解】令，则原函数化为函数函数图像如下：

由对勾函数性质得在上单调递增，所以当时，函数取最小值故答案为：2三、解答题5．（23-24高一上·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域.（2）已知，求函数的最小值.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据题意化简得，结合基本不等式，即可得到结果；（2）根据题意，将函数化简变形为，再结合基本不等式，即可得到结果.【详解】（1），当且仅当时等号成立，则函数值域为.（2）因为，，当且仅当时，即时，等号成立，所以函数的最小值为，此时.【题型六单调性法】一、单选题1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数，的值域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先判断函数的单调性，再利用函数的单调性可求出函数的值域.【详解】因为和在上递增，所以在上递增，所以，，所以函数的值域为.故选：C二、填空题2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数在区间上的值域为．【答案】【分析】运用换元法求值域即可.【详解】令，，，则，在上单调递增，则当时，，当时，，即在区间上的值域为.故答案为：.3．（2024高一·全国·专题练习）函数的定义域是，则其值域为【答案】【分析】判断函数的单调性，根据单调性可求得函数最小值以及最大值，即得答案.【详解】由题意知函数均在上单调递增，故在定义域上为增函数，所以，，即的值域为，故答案为：三、解答题4．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数，．(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；(2)求在上的值域【答案】(1)在上单调递减；证明见解析(2)【分析】（1）根据条件，利用单调性的定义即可证明结果；（2）利用单调性求最值，即可得到值域.【详解】（1）在上单调递减，证明如下：任取，则，因为，所以，，，所以，即，故在上单调递减.（2）在上单调递减，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，故值域为.5．（23-24高一上·广西桂林·期末）已知函数.(1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；(2)求在上的值域.【答案】(1)在上单调递增，证明见解析；(2)【分析】（1）利用定义法取值、作差、变形再判断符号即可；（2）根据函数单调性即可得到其值域.【详解】（1）在上单调递增.证明：任取，且，，，且，，即，在上单调递增.（2）由（1）可知在上单调递增，，所以在上的值域为.【题型七判别式法】一、单选题1．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知正实数满足则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，则，代入已知等式，化为关于x的方程，由判别式非负，解得t的最大值.【详解】设，则，因为，所以，即：，所以，解得：，又因为，为正实数，所以，所以的最大值为.故选：C.2．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．0【答案】D【分析】将已知转化为关于的二次方程，根据，可求得最值.【详解】根据题意，若方程有解，则，即，所以，当时，，此时，即，也就是说当且仅当时，.故选：D二、填空题3．（22-23高一下·上海嘉定·开学考试）已知函数的值域为，则常数．【答案】7或【详解】因为，所以，，即，因为函数的值域为，所以是方程的两个根，所以，，解得或，所以7或.故答案为：7或.4．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数，的值域为．【答案】【分析】由题意分析可得关于x的方程有正根，分和两种情况，结合二次函数分析求解.【详解】因为，整理得，可知关于x的方程有正根，若，则，解得，符合题意；若，则，可得或，解得或且，则或或；综上所述：或，即函数，的值域为.故答案为：.三、解答题5．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数，其中.(1)当，求函数的值域；(2)，求区间上的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用判别式法求值域；（2）求得，对分类讨论，根据二次函数的性质求最值.【详解】（1）时，，即，整理得，当时，，当时，由，得，解得，且，综上，，则的值域是.（2）且，当时，即时，函数在区间上单调递增，此时；当时，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时，综上所述：一、单选题1．（25-26高一上·全国·课后作业）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得，当时，将函数化简变形得，令，然后分和两种情况结合基本不等式可求出的取值范围，从而可求出的值域，再由高斯函数的定义求出的值域.【详解】显然，．当时，．令，当时，，当且仅当时等号成立，则；当时，，当且仅当时等号成立，则．综上所述，的值域为，所以根据高斯函数的定义，函数的值域是，故选：C．二、填空题2．（23-24高一上·河北·阶段练习）时，的值域为.【答案】【分析】利用换元法，令，结合二次函数的性质分析求解.【详解】因为，令，则，则，，可知开口向上，对称轴为，且，所以在内的值域为，即在内的值域为.故答案为：.3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，则函数的定义域为，值域为.【答案】【分析】第一空：利用偶次根式被开方数非负即可得解；第二空，对平方，结合二次函数的性质即可得解.【详解】因为，所以，解得，即的定义域为；易知．又，对于，其开口向下，对称轴为，所以时，有最大值，当或时，有最小值0，所以当时，的值域为，则的值域为，故求的值域为．故答案为：；.三、解答题4．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域：(1)，；(2)；(3)，；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可.（2）利用二