福建省言蹊七月联考2024-2025学年高三上学期摸底考试数学试题（解析）

言蹊七月联考暨2025届高考摸底考试（模拟试卷）数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件概率和对立事件的概率公式进行求解即可.【详解】，，且，又，，.故选：B.2.已知集合，集合B由全体合数组成，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用集合交集运算即可得到答案.【详解】因为，所以集合中没有合数，则，故选：D3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据渐近线方程求解离心率.【详解】根据双曲线的一条渐近线为y=2x，则，所以故选：B4.用a、b、c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题，正确的有（）①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.A.①② B.②④ C.①④ D.③④【答案】C【解析】【分析】对于①，根据平行公理判断，对于②③，举例判断，对于④，利用线面垂直的性质判断.【详解】对于①，因为，，所以，所以①正确，对于②，若a、b、c三条直线在同一个平面，则当，时，∥，所以②错误，对于③，如图当，时，与相交，所以③错误，对于④，因为，，所以，所以④正确.故选：C5.已知，，则（）A.2 B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式求出，再结合同角关系以及诱导公式即可求解.【详解】因为，所以，即，因为，所以，故，所以，故选：D6.用“作切线”的方法求函数零点时，若数列满足，则称该数列为言蹊数列.若函数有两个零点1和2，数列为言蹊数列.设，已知，的前n项和为，则（）A.2022 B.2023 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，先求出，进而再求，据此可以发现数列为等比数列，进而求解.【详解】函数有两个零点,则由题意得,,,且,所以数列是以1为首项,以2为公比的等比数列,所以,,故选：D.7.如图，将圆柱的下底面圆置于球O的一个水平截面内，恰好使得与水平截面圆的圆心重合，圆柱的上底面圆的圆周始终与球O的内壁相接（球心O在圆柱内部），已知球O的半径为3，，则圆柱体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先画出平面图，得到圆柱的底面半径，高为，代入圆柱体积公式求解，再令，利用导数求最值.【详解】设R为圆上任意一点，过R作圆柱的轴截面，过O作交圆柱轴截面的边于M，N，设与圆柱的下底面所成的角为，则，所以，即，当点P，Q均在球面上时，角取得最小值，此时，所以，所以，令，所以，所以，另，解得两根所以，所以在时单调递减，所以．故选：B．【点睛】考查运用导数求最值的方法；先画出平面图，得到圆柱的底面半径，高为，代入圆柱体积公式求解，再令，利用导数求最值.8.已知函数，，则存在，使得（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意求出函数在区间上的值域，由此即可判断A，D；设，求导研究的单调性，进一步得到在上的值域,从而判断B；设结合零点存在定理判断在上是否存在零点，从而判断C.【详解】当时，，，所以，即，（一个正数乘以一个小于1的正数，积一定小于这个数）故排除A，D．对于B，设，则．因为当时，，所以，即，所以在上单调递减，．又当时，，，所以，所以，即，故B错误．对于C，令，因为，，且函数的图象是连续不断的，所以函数在内存在零点，即存在，使得，即存在，使得，故C正确.故选：C．【点睛】方法点睛：复合函数求导的一般步骤：（1）分析清楚函数是由哪些函数复合成的，也就是找出，，使得；（2）分别求对的导数和对的导数，再根据复合函数的求导法则，得到，注意最后结果中要把写成的形式．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某中学高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（，2，3，…，n），由最小二乘法近似得到y关于x的回归直线方程为，则下列结论中正确的是（）A.该回归直线必过点B.y与x是负相关的C.若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD.若该中学某高中女生身高为160cm，则其体重必为50.29kg【答案】AC【解析】【分析】根据回归方程的性质分析判断A；根据回归方程的系数判断B；由回归方程分析判断判断CD.【详解】对于A，回归直线恒过样本中心点，则回归直线必过点，A正确；对于B，由，得y与x是正相关的，B错误；对于C，由回归方程为，得该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，C正确；对于D，当时，，该中学某高中女生身高为160cm，则其体重约为50.29kg，D错误.故选：AC10.在锐角中，，角A、B、C对边分别为a，b，c，则（）A.B.C.D.若上有一动点P，则最小值为【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理，余弦定理完成边角互换，再结合基本不等式，即可判断A,B,在锐角中，,再结合和基本不等式即可判断C，利用向量数量积的运算来判断D.【详解】对于A，，则，即，，即,又，,由正弦定理得，，故A错；对于B，由及余弦定理，可得，即，由基本不等式知，，当且仅当，即时等号成立，，故B错；对于C，在锐角中，由，且,由基本不等式可得，，整理得，当且仅当时，等号成立，又由，，故C正确；对于D，过作，则，又在之间运动时，与的夹角为钝角，因此要求的最小值，应在之间运动，即，又当时，取最小值为,故D错误.故选：C.11.对于实数a，b下列错误的是（）A.在直线上是到距离为的充要条件B.若，，，则最大值是C.如果存在一个定义在R上的函数满足，那么必存在一个数m，使得函数对所有有理数t均成立D.若，，则【答案】AD【解析】【分析】根据平行线距离公式判断A,应用常值代换结合基本不等式计算最值判断B,迭代求通项即可判断C,构造函数求导数判断函数单调性即可判断D.【详解】在直线上到直线距离也为，不是必要条件，A选项错误；因为，所以当且仅当时取最大值，B选项正确；因为,令,可得,满足题意；设所以,所以C选项正确；构造函数单调递减，令所以,D选项错误.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数，则______.【答案】【解析】【分析】先化简求出复数，从而可求出其共轭复数.【详解】因为，所以.故答案为：13.已知函数，其处的切线是函数在处的切线，则函数恒过定点______.【答案】,【解析】【分析】根据在一个点处求曲线切线的方法，求出函数在处的切线和函数在处的切线，又两个切线重合，得到的关系，代入即可求出过的定点.【详解】由，，又，即函数，在处的切线的斜率为，切点为，故切线方程为：，即.由，，又，即函数在处的切线的斜率为1，切点为，故切线方程为：，即.又函数，其处的切线是函数在处的切线，因此与重合，即，则，代入得，，即当，解得，当时，，当时，，因此可得函数恒过定点,.故答案：,.14.已知椭圆的右焦点F与抛物线焦点重合，M是椭圆与抛物线的一个公共点，，则椭圆的离心率为______.【答案】【解析】【分析】用椭圆的焦半径公式和抛物线的定义，根据，即可求解c,，进而求离心率.【详解】设椭圆其右焦点为，椭圆上一点，则，此公式为椭圆的焦半径公式.因为椭圆的右焦点F与抛物线y2=2px所以，设是椭圆与抛物线的一个公共点，因为，根据抛物线的定义，，即①又由椭圆的焦半径公式有②由①②解得，所以离心率.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面且，E为中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值；（3）求点C到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）取中点，利用面面垂直的性质证得平面，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.（2）由（1）求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.（3）由（2）中信息，结合点到平面距离公式求解即得.【小问1详解】取中点，连接，由，得，又平面平面，平面平面，平面，则平面，过作，由，得，而平面，则，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：由，，得，中点，则，因此，即，所以.【小问2详解】由（1）知，，设平面的法向量，则，令，得，设平面法向量，则，令，得，设二面角的大小为，则，所以二面角的正弦值.【小问3详解】由（1）（2）知，，平面的法向量，所以点C到平面的距离.16.已知正项数列an中且，其中为数列an的前n项和.（1）求数列an（2）若是和的等比中项，求k值；（3）令，求数列bn前n项和.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由，求得，进而得出；（2）利用等比中项的性质列方程，解一元二次方程即可；（3）利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】在数列an中，又，且，两式相除得，，所以数列是以2为首项，公差为2的等差数列，则，所以，当，，当时，，也满足上式，所以数列an的通项公式为；【小问2详解】由（1）得，，因为是和的等比中项，所以，即，解得或（舍去）；【小问3详解】，所以数列bn前n项和.17.已知函数，.（1）当时，求函数的最小值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）构造，利用导数研究其性质结合基本不等式判定，利用零点存在性定理得出单调性再求最值即可；（2）利用构造法将问题转化为恒成立，先通过换元化为，利用导数研究其单调性、最值与零点得出或恒成立，再分类讨论判定t=ax−lnxx>0的性质计算即可.【小问1详解】由题意知：时，Fx=则，令，令ℎx则在0,+∞上单调递增，即ℎx所以g'x>x+所以在0,+∞上单调递增，又，则，有，x>1，有，则在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，则，所以的最小值为；【小问2详解】易知，则，即恒成立，令t=ax−lnxx>0令，显然，有，x>0，有u't>0所以0,+∞上单调递增，上单调递减，则，u−2=e−2即使得，故要满足题意有或恒成立，易知t=ax−ln若，则单调递减，时，，时，不满足题意，若，则上单调递减，上单调递增，同上仍有时，，不存在恒成立的情形，故有，即；综上所述的取值范围为.18.某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品.已知生产一件产品为一等品、二等品、三等品的概率分别为，且.从该工厂生产的产品中随机抽取n件，设其中一等品的数量为X，二等品的数量为Y.（1）已知X的数学期望，X的方差，求的值.（2）若，且，求的值.（3）已知，，在抽取的n件商品中，一等品和二等品的数量之和为M.M的数学期望是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，说明理由.【答案】（1）（2）（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由，利用二项分布的期望方差公式解方程组可得；（2）由，利用公式代入解方程可得；（3）由，利用期望公式可得，结合函数单调性可知最值情况.【小问1详解】由题意知，则，解得；【小问2详解】由，则，由得，，化简可得，即，解得；【小问3详解】由题意知，，又，，所以，则，当增大时，也增大.所以，当，，故的数学期望没有最大值.‌但在实际情境中，‌的取值是有限的，比如取工厂的总产量时，取最大值.19.对于求解方程的正整数解（，，）的问题，循环构造是一种常用且有效地构造方法．例如已知是方程的一组正整数解，则，将代入等式右边，得，变形得：，于是构造出方程的另一组解，重复上述过程，可以得到其他正整数解．进一步地，若取初始解时满足最小，则依次重复上述过程可以得到方程的所有正整数解．已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）方程的所有正整数解为，且数列单调递增．①求证：始终是4整数倍；②将看作点，试问的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）①证明见解析；②是定值．【解析】【分析】（1）由实轴长和离心率即可求得双曲线的标准方程；（2）结合题目所给的循环构造的方法和二项式定理来解题，①方法一，由题干循环构造方法得到第k组解中的为二项式的展开式中不含的部分，为二项式的展开式中含的部分，再结合二项式定理得到，是4的整数倍.方法二，得到第组解和第组解的关系，再由二项式定理求解.②先用面积公式表示出面积，再代入和的关系式消元，利用①中的结论推导出面积式子里的递推式即可求解.【小问1详解】由题意知解得，则，故双曲线E的标准方程为．【小问2详解】①方法一：由得，其中是方程一组正整数解，则，在循环构造中，对任意正整数，由，是正整数，第k组解中的为二项式的展开式中不含的部分，为二项式的展开式中含的部分，注意到二项式的展开式中不含的部分与二项式的展开式中不含的部分相同，二项式的展开式中含的部分与二项式