广西壮族自治区柳州市2025届新高三摸底考试数学试卷（解析）

【新结构】广西壮族自治区柳州市2025届新高三摸底考试数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解出集合B，按照集合的交运算法则进行运算即可．【详解】因为，集合，所以．故选：C．2.设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（）．A. B.5 C. D.8【答案】A【解析】【分析】由复数的几何意义知，再由复数的四则运算，即可求解．【详解】因为复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，所以，所以．故选：A．3.在等差数列中，若，则（）．A.7 B.12 C.16 D.24【答案】B【解析】【分析】观察数列下标根据等差数列的性质进行求解．【详解】在等差数列中，若，则，所以，所以．故选：B4.双曲线的一个顶点到渐近线的距离为（）．A. B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】求出顶点坐标和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解．【详解】由双曲线的方程知两顶点，，渐近线方程为，由对称性，不妨求到直线的距离，．故选：C．5.已知向量与的夹角为，且，，则（）．A. B. C.4 D.2【答案】D【解析】【分析】根据的坐标求出它的模，利用数量积运算求出所求向量的模．【详解】由得，，又，则．故选：D.6.的展开式中常数项的系数为（）A.70 B.56 C.28 D.8【答案】C【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式，然后确定其常数项即可.【详解】的展开式的通项公式为，令，解得，故的展开式中常数项为．故选：C．7.有4名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为（）．A.40种 B.60种 C.80种 D.120种【答案】B【解析】【分析】根据题意，分2种情况讨论：①四人中有3人被录取，②四人都被录取，再由分类加法计数原理即可求．【详解】根据题意，分2种情况讨论：①四人中有3人被录取，有种不同的录用情况；②四人都被录取，需要先将4人分为3组，再将分好的3组安排给3所学校，有种不同的录用情况；所以共有种不同的录用情况．故选：B．8.已知三棱锥的体积是，A，B，C是球O的球面上的三个点，且，，，则球O的表面积为（）．A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理即可求出的外接圆半径，即可求出三棱锥的高，利用余弦定理即可求出，可计算出三角形ABC的面积，再利用锥体的体积公式，进而求解．【详解】因为，，所以由正弦定理得，的外接圆半径为，在中，由余弦定理可得，所以，又因为，所以，所以，因为，∴，由球中的截面性质及勾股定理，可知球的半径，所以球O的表面积为：．故选：C．二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知随机事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的是（）．A.若，则A，B相互独立 B.若A，B互斥，则A，B不相互独立C.若，则 D.若，则【答案】ABC【解析】【分析】由条件概率及相互独立事件的概率对选项逐一判断即可．【详解】A：因为事件A，B相互独立，，所以A，B相互独立，故A正确；B：因为A，B互斥，则，故A，B不可能相互独立，故B正确；C：∵，∴，故C正确；D：∵，∴，∴，故D错误．故选：ABC．10.已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（）．A.的一个对称中心B.的对称轴方程为C.在上的值域为D.的单调递减区间为【答案】BCD【解析】【分析】由题图可得，根据三角恒等变换可得，再由余弦函数的对称性、单调性、值域逐项判断即可．【详解】由题图可得，，解得．又，可得，解得．因，所以，所以．所以．对于A，当，，所以不是的一个对称中心，故A错误；对于B，令，可得，故的对称轴方程为，故B正确；对于C，时，，所以，故在上的值域为，故C正确；对于D，令，解得，所以的单调递减区间为，故D正确．故选：BCD．11.已知函数的定义域为R，且，若，则（）．A. B.C.为减函数 D.为奇函数【答案】ABD【解析】【分析】利用已知条件，结合赋值法，即可求解．【详解】，时，，，而，∴，，时，，∴，∴，故B正确；令，，，令，，故A正确；，是奇函数，故D正确．令，则，为增函数，故C错误．故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则在点处切线斜率是__________．【答案】2【解析】【分析】由题意，求出的导函数，即可得该切线的斜率．【详解】∵，∴∴时，，则在点处的切线斜率是2．故答案为：2．13.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则__________．【答案】【解析】【分析】由正弦定理及三角形中角之间的关系可得的值，再由角C的范围，可得角C的大小；再由，可得，由此即可求出结果．【详解】因，由正弦定理可得，可得，在三角形中，，且，所以，，所以，所以，因为，所以，所以．故答案为：14.记实数的最小数为，若，则函数的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】由题意在同一个坐标系中，分别作出三个函数的图像，再按要求得到的图象，结合图像易得函数的最大值．【详解】如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数的图象，而的图象即是图中勾勒出的实红线部分，要求的函数的最大值即图中最高点的纵坐标.由联立解得，，故所求函数的最大值为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明,再通过线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出平面与平面的法向量，根据向量法求二面角的公式即可求解.【小问1详解】以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，，，所以，，，，，．因为，所以，又平面，平面，所以平面．【小问2详解】设平面的法向量为，则，取，则，．所以，是平面的一个法向量，又因为平面，所以为平面的一个法向量，则，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为．16.某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8％，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…．（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；（2）求的值．（其中，，）【答案】（1）（2）11775【解析】【分析】（1）由题意，可得；（2）原式可化为，结合（1）可求出r，k，可知，数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，进而利用等比数列的求和公式可得答案．【小问1详解】由题意，得，并且．【小问2详解】将化成．比较①②的系数，可得．解这个方程组，得．所以，所以数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，则．所以（头）．17.如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动次后质点位于位置．（1）求；（2）求；（3）指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由．【答案】（1）（2）0（3）答案见解析【解析】【分析】设质点n次移动中向右移动的次数为Y，则，，（1）利用即可；（2）利用即可；（3）先得到，然后分别讨论二项式系数最大值即可．【小问1详解】设质点n次移动中向右移动的次数为Y，显然每移动一次的概率为，则，所以．【小问2详解】设质点n次移动中向右移动的次数为Y，显然每移动一次的概率为，则，且，而，所以.【小问3详解】设质点n次移动中向右移动的次数为Y，显然每移动一次的概率为，则，所以，若n为偶数，中间的一项取得最大值，即概率最大，此时，所以质点最有可能位于位置0，若n为奇数，中间的两项，取得最大值，即或概率最大，此时或，所以质点最有可能位于位置1或．18.一动圆与圆外切，同时与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程，并说明E是什么曲线；（2）若点P是曲线E上异于左右顶点的一个动点，点O为曲线E的中心，过E的左焦点F且平行于的直线与曲线E交于点M，N，求证：为一个定值．【答案】（1）曲线，曲线E的是焦点在x轴上，对称中心在原点，以、为焦点的椭圆．（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分别求出动圆圆心与两已知圆圆心的距离，从而得到两距离之和是一个定值且大于两已知圆圆心距离，从而结合椭圆定义即可得解.（2）当弦的斜率不存在时，此时弦为椭圆的短半轴，可得，当弦的斜率存在时，设为k，设直线的方程为，代入曲线E，结合韦达定理和向量的数量积可得，可得结论.【小问1详解】设动圆的圆心，动圆半径为r，因为化为标准方程，故圆心，，因为化为标准方程，故圆心，，依题意得，，所以，故点Q是以、为焦点的椭圆，所以，，故，所以曲线，曲线E是焦点在x轴上，对称中心在原点，以、为焦点椭圆.【小问2详解】由（1）得，当弦的斜率不存在时，此时弦为椭圆的短半轴，此时，此时直线为椭圆的通径，满足，从而，当弦的斜率存在时，设为k，设直线的方程为，代入曲线E得，从而，设直线，代入曲线E得，设，，则，，又因为，所以，所以.综上所述，为一个定值.【点睛】方法点睛：圆锥曲线定值问题的解决方法主要包括以下几个步骤：1.设定变量：需要根据题目情况设定直线方程，通常为或的形式；2.利用条件表示其他量：通过题目给出的条件，用设定的变量表示其他需要的量，如弦长、距离等；3.化简求定值：将表示的其他量代入到需要求定的量中，通过计算和化简，最终得到一个与变量无关的定值.19.帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．注：，，，，…；为的导数）．已知在处的阶帕德近似为．（1）求实数a，b的值；（2）比较与的大小；（3）若有3个不同的零点，求实数m的取值范围．【答案】（1），．（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）求出，，，，根据，列方程组即可求解；（2）令，利用导数研究的单调性即可比较大小；（3），除1外还有2个零点，设为，，，由导数由函数零点个数求m的范围．【小问1详解】由，，知，，，，由题意，，所以，所以，．【小问2详解】由（1）知，，令，则，所以在其定义域内为增函数，又，∴时，；时，，所以时，；时，．【小问3详解】由（1）知，，注意到，则除1外还有2个零点，设为，，，令，当时，在上恒成立，则，所以在上单调递减，不满足，舍去，当时，除1