广西“飞天”校际2024−2025学年高三上学期7月考试 数学试题（含解析）

广西“飞天”校际2024−2025学年高三上学期7月考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．复数z满足：，（

）A．2 B． C．1 D．2．能正确表示图中阴影部分的是（

）

A．B． C． D．3．，是两个不共线的单位向量，，，，下列正确的是（

）A． B． C． D．4．红黄蓝三种不同颜色的小球各两个，分别放置在正八面体的6个顶点上，共有几种不同的放置方法（

）A．7 B．8 C．4 D．55．在三子棋游戏（规则同五子棋，三子连成一线即可获胜）中，两个未经训练的人工智能依次随机等可能地投放棋子（用A和B表示，A先下），某时刻战况如图，则A能获胜的概率为（

）ABABBAA． B． C． D．6．四面体中，其余各棱长均为，则该四面体外接球的表面积是（

）A． B． C． D．7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（

）A． B．2 C． D．48．已知函数，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知曲线：，，则（

）A．与有唯一交点 B．与有唯一交点C．与联立恒得两组整数根 D．与相交得到的弦，长恒为10．在集合中取连续k项作为一组数据，下列正确的是（

）A．k为奇数时，平均数 B．k为奇数时，平均数C．k为偶数时，方差不一定 D．k为偶数时，方差一定11．数列满足，，则下列正确的有（

）A．数列是递增数列 B．C．恒成立 D．恒成立三、填空题（本大题共3小题）12．随机变量，则.13．记双曲线的左右焦点分别为，分别过和坐标原点O作直线m，n，且，记到m，n的距离分别为，，则，若n是C的渐近线，则当取最小值时，.14．设定义域为R的函数对任意的实数a，b均有，且，若实数t使得恒成立，t的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．在中，，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求；(2)当，时，求的面积.16．点A，B分别是椭圆的上顶点和左顶点，P是椭圆上一动点（不与右端点重合），P的横坐标非负，的中点是M，当P位于下顶点时的面积为1，椭圆离心率为.(1)求椭圆方程；(2)记的面积为，的面积为，求的最小值.17．已知，，，.(1)求在处的切线方程；(2)若恒成立，求a的取值范围.18．在直三棱柱中底面是正三角形，底面边长为3，侧棱长未知，分别是，的中点，是直三棱柱表面上的一点，且P到底面的距离为.当平面时，当P在平面中时，到的距离为.(1)求直三棱柱的侧棱长；(2)当P到的距离为1时，求二面角的余弦值；(3)P每次移动都移动1个单位，从上出发顺时针移动的概率为，逆时针移动的概率为，一旦走完一圈便不再移动，与平面的夹角为，求第n次移动后的概率.19．数列是正项递增数列，由数列中所有项构成集合A，它的任意一个子集记为，定义集合B是每一个子集中的所有数之和（即分别写出1个数，2个数，……n个数之和）.(1)若，写出，以及集合B；(2)，将集合B中的元素分成n组，要求每组中最大项与最小项之比不超过2，证明一个符合题意的分组；(3)，将集合B中的元素分成n组，要求与（2）相同，证明存在这个分组.

参考答案1．【答案】C【分析】设，利用可得答案.【详解】设，，因为，所以，可得，所以.故选C.2．【答案】A【分析】由集合的交并补运算即可得解.【详解】图中阴影部分表示的是中的元素除去中的元素所剩下的元素，对比选项可知，只有A符合题意.故选A.3．【答案】D【分析】根据数量积的运算公式判断A，B项，再根据向量模的不等式，判断C，D项.【详解】设，，,,,则不是定值，所以A，B项错误；，因为，是两个不共线的单位向量，所以，即.故选D.4．【答案】D【分析】列举法可得答案.【详解】如图，用对角线线段代表正八面体的6个顶点上小球及颜色，所以共五种.故选D.5．【答案】B【分析】由互斥加法公式、独立乘法公式即可求解.【详解】A能获胜的情况有三种：第一种：ABABBAA；第二种：ABABABA；第三种：ABABBAA；所以所求概率为.故选B.6．【答案】C【分析】设、分别是，的中点，易得，，求出，问题转化为：上是否存在一点，使得即可，设，则，利用勾股定理求出，进而求出外接球的半径，根据球的表面积公式即可求解.【详解】如图，设、分别是，的中点，连接、、、，由四面体中，，其余各条棱长均为，所以，，由、分别是，的中点，所以，，所以，，即为、的中垂线，所以球心在上，设球心为，外接球的半径为，所以，问题转化为：上是否存在一点，使得即可，设，则，，，于是，解得，所以，于是四面体外接球的表面积.

故选C.7．【答案】B【分析】应用余弦定理结合已知条件计算即可.【详解】①,②,①×2-②得,所以,所以.故选B.8．【答案】A【分析】先根据函数性质可得当时，，最后应用分组求和即可.【详解】当时，，，，所以，则.故选A.9．【答案】BCD【分析】直接联立各选项中直线与题述直线方程即可逐一判断.【详解】对于A项，取，则将代入，得，该方程无解，所以A错误；对于B项，将代入，得，解得，所以B正确；对于C、D项，将代入，得，即，解得，，所得弦长为，所以C、D正确.故选BCD.10．【答案】AC【分析】利用平均数、方差的计算公式即可判断.【详解】对于A、B项，对于平均数：假设从第m项开始取，那么平场数显然是奇数，所以A正确B错误；对于方差：对于C、D项，利用特值，如3，5，7，9，11，13，15；其平均数为，其方差为，而，所以C正确D错误.故选AC.11．【答案】AB【分析】应用数列的递推公式证明数列单调性，得出递推式判断各个选项即可.【详解】设a，b，，，同理，a，b，t，，而，所以故是递增数列，所以A正确；，又因为，则得出，时取等，于是，所以B正确；，，而，时，不符合题意，C错误；就不成立，D错误.故选AB.12．【答案】0.34135.【分析】由题意将所求概率转换为特殊区间的概率即可求解.【详解】由题意，所以.故答案为：0.34135.13．【答案】2；.【分析】第一空：由点到直线的距离公式直接计算；第二空：结合平方关系、基本不等式即可求解.【详解】第一空：由题意斜率不为0，所以设，而，所以，第二空：若n是C的渐近线，则，，而，等号成立当且仅当，此时.故答案为：2；.14．【答案】.【分析】对变形，得到解析式，代入，根据恒成立列出表达式，求解即可.【详解】，当，时，，k是常数，，即，，当时，，所以，，可解得所以恒成立，在恒成立，只需，解之得不存在.故答案为：.【思路导引】根据已知条件归纳出表达式，验证当是否成立，再由已知条件算出k取值范围，最后根据恒成立得出方程无解.15．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由三角恒等变换化简得到，再结合正弦定理即可求解；（2）由余弦定理求得，由勾股定理逆定理得，结合三角形面积公式即可求解.【详解】（1）原式；（2）由余弦定理有，即，解得，，所以，所以，故所求面积：.16．【答案】(1)；(2)最小值是1.【分析】（1）由题意列出方程组，求得的值即可求解；（2）画出图形，将所求转换为，结合满足的条件等式即可求解.【详解】（1）

由题意得，，，联立解得，，，所以椭圆方程为.（2）

，其中是下顶点，，注意到，设，所以，由复合函数单调性可知，当时，有最小值1，注意到，所以的最小值为1，即的最小值为1.【方法总结】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后根据条件建立关于a,b的方程(组).如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.17．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据完全平方公式，结合二倍角的正弦公式化简函数的解析式，最后根据导数的几何意义进行求解即可；（2）构造新函数，令该函数的导函数等于零，然后求出的表达式为，再构造新函数，对其求导，然后得到，然后对其分母构造新函数，利用导数研究其单调性，结合零点存在原理，最后确定函数的单调性，结合单调性进行求解即可.【详解】（1）,所以,，,即.（2）,令,不难发现恒成立,,令，，令,令,当时，易知,所以单调递增，所以,所以单调递减，注意到，,当时，时单调递增，时单调递减,其中，,所以存在，不符合题意,当时，时单调递增，时单调递减,恰好，符合题意,当时，时单调递增，时单调递减,其中，,所以存在，不符合题意,综上所述，.【思路导引】本题的关键是根据导函数的形式多次求导，其中当导函数是分式型时，通过对分子构造新函数.18．【答案】(1)；(2)或；(3)答案见解析.【分析】（1）延长交于点Q，连接，根据线面平行的性质证明，即可得解；（2）以AC中点O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（3）先得到点的轨迹，再分净向左1，2，3，4，5步，和净向右4，5，6，7，8步两种情况讨论即可.【详解】（1）如图，延长交于点Q，连接，设高为，因为平面，P在平面中，平面平面，平面，所以，根据几何关系得到，即侧棱长为；（2）以AC中点O为原点，建立如图的坐标系，则，，，或，所以，，设平面的法向量为，则有，可取，，或，设平面的法向量为n2=则有，当时，可取，此时，当时，可取，此时，综上所述，二面角的余弦值为或；（3）由题意得下图：由夹角得到与P点轨迹平面相交的圆，圆内和圆上的点符合题意图中，P从A出发，只需考虑净结果，一：净向左1，2，3，4，5步均可，设向左步，得到，所以，当为偶数时，当为奇数时；二：净向右4，5，6，7，8步均可，设向右步，得到，当为偶数时，当为奇数时，综上：当n为偶数时，当为奇数时.【方法总结】求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.19．【答案】(1)或或，，.(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）直接由、集合B的定义即可求解；

（2）通过分析得知，只需证明，构造函数，只需，结合导数即可证明；（3）分析得知只需证明即可证明原命题.【详解】（1）或或，，；（2）不难发现共有个数，不妨让