广东省六校2025届高三八月第一次联考数学试题

2025届高三·八月·六校联考数学科试题命题人：刘嘉审题人：翟浩宇张汇华（满分150分.考试时间120分钟.）.注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A.B.C.D.2.已知随机变量X服从正态分布，若，则（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.43.若函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为（）A.B.C.D.4.已知：，则（）A.B.C.D.5.在菱形ABCD中，若，且在上的投影向量为，则（）A.B.C.D.6.已知函数在处有极小值，则实数（）A.3B.C.1D.7.将半径为R的铁球磨制成一个圆柱体零件，则可能制作的圆柱体零件的侧面积的最大值为（）A.B.C.D.8.设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与C的右支交于M，N两点，记与的内切圆半径分别为.若，则C的离心率为（）A.B.C.3D.4二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知奇函数的定义域为，若，则（）A.B.的图象关于直线对称C.D.的一个周期为410.已知等比数列的公比为，前n项和为.若，且，则（）A.B.C.D.11.设复数z在复平面内对应的点为Z，任意复数z都有三角形式：，其中r为复数z的模，是以x轴的非负半轴为始边，射线OZ为终边的角（也被称为z的辐角）.若，，则.从0，1，中随机选出两个不同的数字分别作为一个复数的实部和虚部，如此重复操作n次，可得到n个复数：记.（）A.不存在n，使得B.若为实数，则的辐角可能为C.的概率为D.为整数的概率为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆与抛物线的准线交于A，B两点，若，则___________.13.若函数与在区间上均单调递增，则实数ω的取值范围为___________.14.已知正方体的棱长为1，若在该正方体的棱上恰有4个点M，满足，则d的取值范围为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，（1）求角B的大小，（2）若AB边上的高为，求.16.（15分）如图，在三棱锥中，平面平面BCD，.P为棱AC的中点，点Q在棱CD上，，且.（1）证明：平面；（2）若，求平面CPQ与平面ABD的夹角的余弦值.17.（15分）已知函数在处的切线方程为.（1）求实数a的值；（2）探究在区间内的零点个数，并说明理由.18.（17分）已知椭圆的右焦点为F，点A，B在C上，且.当时，.（1）求C的方程；（2）已知异于F的动点P，使得.（i）若A，B，P三点共线，证明：点P在定直线上：（ii）若A，B，P三点不共线，且，求面积的最大值.19.（17分）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”.（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知.求m的值；（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：.2025届高三·八月·六校联考数学科答案及评分标准一､单项选择题（每小题5分，共40分）题号12345678答案CAACBDBD二､多项选择题（每小题6分，共18分）题号91011答案ADBCACD三､填空题（每小题5分，共15分）题号121314答案2四､解答题（共5小题，共77分）15.（13分）解：（1）在中，，由正弦定理：由可得，又由题意知，且.（2）在中过点作边的高，交边与，由题意可知，且和都是直角三角形.因为，所以是等腰直角三角形，所以由勾股定理，，解得.在中，由余弦定理得：，因此16.（15分）（1）证明：如图1，取棱靠近的三等分点，连结，则是的中点，.设，则.在中，由余弦定理，，.又平面，即.又由平面平面，平面平面平面（2）由（1）知，.以为原点，的方向为轴正方向建立如图2所示的空间直角坐标系.令.设平面的法向量为，则即令，可得.易知平面的一个法向量为.设平面和平面的夹角为，则，平面和平面夹角的余弦值为.17.（15分）解：（1）由题可知，由处的切线方程为，把点代入得.（2）由（1）可知，令，当时，，则在区间上单调递增.，由零点存在定理可知，存在，使得，即当时，，则在区间上单调递减；当时，，则在区间上单调递增，又，由零点存在定理可知在区间上有且仅有一个零点.当时，；当时，：在区间上单调递增.又，由零点存在定理可知，存在唯一零点，使得，综上可得，在区间有且仅有两个零点.18.（17分）解：（1）当时，由对称性可知轴，，的标准方程为.（2）（i）（方法一）点异于点，设，直线的方程为，联立方程，得，，由可知三点共线，且且，点在线段的延长线或反向延长线上，则，设，则，由，则，代入上式得，，把，代入上式得，命题得证.（方法二）点异于点，设，由可知三点共线，且且，点在线段AB的延长线或反向延长线上，，设，则，，，将①式减去②式，得，即，则，点在定直线上，命题得证.（ii）当时，由（i）可知解得不妨设A在第一象限，则将代入C的方程，得，，则直线的方程为，即，设，由可知，化简得，点在以为圆心，3为半径的圆上，且不在直线上，在直线上，面积的最大值为.19.解：（1）易知（后续直到20都不满足条件）和5为两个质数"理想数"；（2）由题设可知必为奇数，必为偶数，存在正整数，使得，即：，且，，或，或，解得，或，，或，即的值为12或18.（3）显然偶数"理想数"必