湖南省普通高等学校招生全国统一考试考前演练一数学试题

2023年普通高等学校招生全国统一考试考前演练一

数学

满分150分时量120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

/l=（x|x2-4x<ok^={x|-l<x<2}40/?-,、

1.已知集合I，1'，则nl力【避一（）

A.{x|-l<x<4}B,{x|0<x<2}

C.{x|-l<x<0}D,{x|2<x<4}

【答案】B

【解析】

【分析】先计算4={xlOWx44},再进行交集运算即可.

【详解】^={X|X2-4X<0}={X|0<J<4},B={x\-\<x<2},

Jn^={x|0<x<2},

故选：B.

2.已知i是虚数单位，复数Z]=1-2/2=2。+1（。€11）在复平面内对应的点为凡Q,若丽，丽（O

为坐标原点），则实数。=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知得出尸（1,一2）,0（2/1）,根据向量垂直的坐标运算得出答案.

【详解】复数Z1=l—2i,Z2=2q+i,

则尸（1,一2）,0（2。,1）,

则方=（1,-2）,丽=（2外1）,

-OP1OQ,

2a-2=0,解得。=1,

故选：D.

3.洞庭湿地保护区于长江中游的湖南省，面积168000公顷，为了保护该湿地保护区内的渔业资源和生物多

样性，从2003年起全面实施禁渔期制度.该湿地保护区的渔业资源科学研究培殖了一批珍稀类银鱼鱼苗，从

中随机抽取100尾测量鱼苗的体长（单位：亳米），所得的数据如下表：

分组〔单位：毫米）[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

频数1010m3515n

若依上述6组数据绘制的频率分布直方图中，［95,100）分组对应小矩形的高为，则该样本中的90%分位数

的银鱼鱼苗的体长为（保留一位小数）（）

A.87亳米B,88亳米C.亳米D.亳米

【答窠】D

【解析】

【分析】先根据直方图中［95,100）分组对应小矩形的高为0.01,计算频率，从而可得，然后由百分位数概

念直接计算可得.

【详解】由题意可知，［95,100）内的频率为0.05所以

71=100x0.05,^=100-10-10-35-15-5=25,鱼苗体长在［70,90）内的频率为0.80,在

2

［70,95）内的频率为0.95,所以90%分位数在区间［90,95）内，大小为90+5xj93.3.

故选：D

4.函数一*在［-2,2］的图象大致为（

•*

V

c.1,

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：函数/（冗）=2/一泌1在［_2,2］上是偶函数，其图象关于，轴对称，

因为/（2）=8-©2,0<8-©2<1,

所以排除43选项；

当xw［0,2］时，y=4x-e'有一零点，设为小,当xw（O,/）时，八劝为减函数，

当X€（/,2）时，"X）为增函数.

故选：D.

5.在三棱锥4—8C。中，4BJ.平面BCD,BC1CD,CD=2AB=2BC=4,则三棱锥力一88的

外接球的表面积与三棱锥4-8CQ的体积之比为（）

3元c3元一「eC

A.—B.—C.271D.9兀

42

【答案】D

【解析】

【分析】证明△45。，△4CQ为直角三角形后可得49的中点。为外接球的球心，,力。为半径，分别计算

2

外接球的表面积与三棱锥A-BCD的体积即可.

取4D的中点。，连接。8,。。，

因为48人面BCD,BDu面BCD,CDu面BCD,

所以48_L8Q〃BJ_CZ),

所以OB=OA=OD,

所以BD=dBC?+CD2=而,ADULB?+BD?=,4+20=2灰，

因为CO_LBC,43cBe=8,45u面ABC,8Cu面ABC,

所以CDJ_面力BC,

又因为4Cu面43C,

所以CO_LC4,

所以。C=O/=OZ),所以。/=。3=0。=。。=工/0=6，

2

所以。为三棱锥A-BCD的外接球的圆心,半径K=6，

所以球的表面积为S=4兀&=24兀，

xlx2x4x2=-,

三棱锥A-BCD的体积为K=-S.BCDAB=-

23

S24兀

—=-----=yAjt

故/8

3

故选：D

6.已知川%Scsoins44aacosisnaa-2,a

，JrMltan—=()

2

A,平B.在

C.叵

315

【答案】A

【解析】

【分析】由已知利用二倍角公式和两角差的正弦公式，化简已知等式可得tana二屈，结合。，日

a

利用二倍角公式可求出tan二.

2

sin4asina

【详解】V«€0,-,

2)1+cos4acosa-2

2sin2acos2a_sina

2cos22acosa-2

sin2asina

得

cos2acosa-2

得sin2acosa-cos2asina=2sin2a,

可得sina=4sinacosa,

•••cosa=psina=—»tana

44

2-tan—a

又tana=----------=

ioa

l-tan"—

2

得tan?2+2tan4-=0,

22

解得tanq=Y6.

25

故选：A

7.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点48的距离之比为

定值2（2*1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.

已知在平面直角坐标系xQy中，4-4,1）,3（-4,4）,若点尸是满足2二；的阿氏圆上的任意一点，点。为

抛物线C:_/=i6x上的动点,0在直线x=-4上的射影为H,则|08|+21Poi+2|。尺|的最小值为（）

A.4后B.86C.D.2病

2

【答案】D

【解析】

【分析】先求出点P的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得

\PB\+2\PQ\+2\QR\=2\PA\+2\PQ\+2\QF\t从而可得出答案.

【详解】设P(xj)，

则H:业+4『+(y_l)2_1

归却J(x+4.+(”4)22

化简整理得（x+4）2+V=4,

所以点尸的轨迹为以（-4,0）为圆心2为半径的圆，

抛物线C:/=16x的焦点尸（4,0）,准线方程为x二,

则|P8|+2|P0|+2|0H\=2\PA\+2\PQ\+2\QF\

=2(|P^|+|P2|4-|2F|)>2|JF|=2X/65,

当且仅当4尸,。,尸（P,。两点在4尸两点中间）四点共线时取等号,

所以|P5|+2|P0|+2|0H|的最小值为2病.

故选：D.

x+4e,x<0

8.已知函数/(x)=，ex(e是自然对数的底数)，若存在F«0，Z>0,使得/($)=/(工2)，

F，x>0

lx

则%/(/)的取值范围是()

22

A.f-4c,0]B._Q6e)e°c0(16-e)eDFo,4e]

L」1616L」

【答案】A

【解析】

【分析】由/(玉)=/(々)，得到玉=与一4e,再研究函数/(x)的单调性，得到将玉八七)

x24x；

表示出来，然后利用换元法转化为二次函数求最值即可.

e"c2

【详解】•••/(工1)=/(工2)，，芭+40==，，Xi=-y-4e,

e.

Q演40,——W4e,

x?

、丘d/\e*'ex-x2—eA-2xeA(x—2)

当X>0时,/z(x)=二，f(x)=------4-----=>

xXX3

由/'(x)>0得x>2,由/'(x)<0得0<x<2,所以八幻在(2,+8)上递增，在(0,2)上递减,

22

eee、2

/(x)在x=2处取得最小值―,A—<—<4e,

44月

•F/叱管-啃倡）

e*22

令/二F，则.,.演/（工2）=『-44=（-2©）2—4©2,

工24

当E=2e时，*/（工2）取得最小值一4e?,当，=4e时,占八七）取得最大值0,

所以％/（七）的取值范围是[-4。2,0].

故选：A

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的

新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩

法，在意恒成立与存在性问题的区别.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.以下说法正确的是（）

A.命题p闫/€[l,+8）,e%之％+1的否定是：Vxe[l,+oo）,ex<x+l

B.若“€（0,+00）,依</+1,则实数aw（-oo,2]

C.已知，,6GR,“。力”是。|。|>回”的充要条件

D.“函数.v=tanx的图象关于（*,0）中心对称”是“sin%=0”的必要不充分条件

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据命题的否定可判断A,根据恒成立以及基本不等式可判断B,根据不等式的性质可判断C,根

据正切函数以及正弦函数的性质可判断D.

【详解】对于A,命题0：3%£[1,+8）,已％之与+1的否定是：Dx£[l,+8）,e*<x+l,故A正确，

对于B,Vxe（0,+oo）,ax<x2+h则4c上」史=x+，对以£（0,+）。）恒成立，故。<，+,],由于

XXIXJmin

x>0,xH—之2,故</<2,因此B错误，

x

对于C,a,beR,若a>bNO,则Q|a|=">b|b|=b2,若。3b,此时a\a\=-a2>b\b\=-b2,

若a>O>b,则。|。|=。2〉〃回=一/，因此对任意的a>b,都有a|a|>b|b|,充分性成立，若a|a|>b|b|,

如果a<0)<0，则由a|a|>b|b|=-/>一/=>/<〃=。〉。〉/),如果。>0/>。,则由

a\a\>b\b\^>a2>b2^a2>b2^>a>b>0,若。>0/<0,显然满足〃|。|〉加〃，此时〃〉0>6,

如果〃<0<6,不满足〃|a|>b|b|,综合可知：a>hf所以必要性成立，故“。力”是〃|Q|>b|b|的充要

条件，故C正确，

(Jcjr、kn

对于D,y=tanx的对称中心为17,0j,%£Z，所以sin^不一定为0,sinx0=0,则玉j=E,左wZ,

此时tanE=0,故(&兀,0),左£2是〉=1@111的对称中心，故函数y=tanx的图象关于(％,0)中心对称”

是“sin%=0”的必要不充分条件,故D王确，

故选：ACD

10.已知0<C<l,k)gc4〈k)gcb<0,则下列结论正确的是()

A.Ca<cb<\B.abc<bac

ah

C.3+3b>3+3aD.aioghc<b\ogac

【答案】ACD

【解析】

【分析】由0<。<1,108,“<108。6<0可得。>6>1,进而可借助导数、指数函数的单调性及不等式的基

本性质对选项逐一进行分析.

【详解】0<C<lJogcQ<logc6<0可得a>b>\t

0<c<l时，y=c*为递减函数，故cLc-i，故A正确；

取a=4,b=2,c=；,则4X2T>2X4；,故B错误；

令—x>l时，y'=3"n3—3>0恒成立，

故y=3「3x在。,y)上单调递增，

时，有3。一3a>3'-3b，故3“+3b>3〃+3a，故C正确;

0<c<La>b>\,则log〃c<k>gaC<0,

则一log〃c>-logaC>0,又。>b>l>0

故ak)g〃c<Mog“c,故D正确；

故选：ACD.

11.如图1,在—8C中，4C5=90。，AC=26,CB=2,。石是"8C的中位线，沿DE将YADE

进行翻折，连接力8,力C得到四棱锥力—BCED(如图2),点尸为48的中点，在翻折过程中下列结论正

确的是()

(3、

A.当点4与点。重合时，三角形4OE翻折旋转所得的几何体的表面积为如+-+737T

(2)

3

B.四棱锥4-8。皮>的体积的最大值为一

2

C.若三角形4CE为正三角形,则点尸到平面1CO的距离为XI

2

D.若异面直线4c与80所成角的余弦值为立，则4、C两点间的距离为总

4

【答案】ADD

【解析】

【分析】A项，分析点4与点C重合时三角形4OE翻折旋转所得的几何体类型，即可得到几何体的表面积;

B项，通过N4EC表达出力一3CEQ的体积，即可求出四极锥/一3CE。的体积的最大值；C项，通过三

角形的等面积法即可求出点尸到平面力。。的距离；D项，通过C项的三角形4CE为正三角形时，由余弦

定理得到异面直线AC与5。所成角的余弦值为巫，即可求出异面直线4。与8。所成角的余弦值为且时,

44

A、C两点间的距离.

【详解】由题意，

在AZ48c中，4c8=90。，AC=26，CB=2,OE是AJBC的中位线，

・・・tanJ=—=—,nE=l5C=l,JE=C£=ljC=>/3,JC=2^

AC322

：.A=30°,AD=BD=-AB=-2BC=2,

22

对于A项，

当点力与点C重合时，三角形4QE翻折旋转所得的几何体为以2为半径高为1的半个圆锥,

・•・三角形4OE翻折旋转所得的几何体的表面积为：

S=；(Tu7+nr2)+；zc.oE=；x(兀x>/3x(F+(百)+nx(G))+卜2A/5X1=6+P-+6兀

故A正确；

对于B项，

设N4EC=0,则。«0,兀］,

设点A到CE的距离为力,

则h=AEsin6=石sin0，

・•・四棱锥4一BCED的体积为：

匕sc*二,S5SE./?=!（8C+Q£）CE/=!x（l+2）x仃xGsing=3sing,

匕3BLD匕32322

在〉二$访6中，y

3「33一

*,•yA-BCDE=-sin^G,

3

・•・四棱锥4-8CE。的体积的最大值为一，故B正确；

2

对于C,D项，

当三角形NCE为正三角形时，Z^£C=60°,AC=AE=CE=y/3,

过点尸作/G'AC,连接QG,

取5C的中点H,连接“，EH,EG

B

在△45。中，4。=8。,点尸为的中点，

由几何知识得，FG~DF,AC1BC

在AACO中，AD=CD=2,

•**AG=CG=-AC=—^G为ZC的中点，AGLAC

22

在—BC中，G为4C的中点，，点尸为48的中点，AC1BC

：・FG八AC,AB=YAC?+8c2=*百j+2?=近,AF=BF=；AB"

在△4OG中，DG=yjAD2-AG2=

在四边形QEGb中，由几何知识得，DE1EG,DE//BC//FG,

工四边形OEG尸是矩形，DG=EF=—^

2

设点F到平面ACD的距离为4,

在△£)〃&中，DGh、=DFFG,即巫.九=2x1，解得：叵，故C错误,

212113

由几何知识得，EH//BD.FH//AC,

••FH=-AC=—,此时NFHE即为异面直线AC与BD所成的角，

22

由余弦定理，

EF?=FH?+EH?-2FH•EHcosNFHE，

代入数据，解得：cos/FHE=立,

・•・异面直线4C与8。所成角的余弦值为则4C两点间的距离为百，

4

故D正确；

故选：ABD.

【点睛】本题考查几何体的表面积，体积，空间点到平面的距离，异面直线所成的角，余弦定理等，具有

极强的综合性。

22

12.已知椭圆：「：与+匕=1（4>6）的左、右焦点分别为石、匕，右顶点为4点”为椭圆「上一点,

a~3

点/是鸟的内心，延长交线段耳用于M抛物线/=]m+c）x（其中。为椭圆下的半焦距）与

O

椭圆「交于8,。两点，若四边形486c是菱形，则下列结论正确的是（）

B

A”|二亭椭圆「的离心率是日

149D局IW|的值叫1

C画卡丽的最小值为W

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,利用椭圆与抛物线的对称性得到机=；（a-c）,从而将B（机,〃）代入抛物线方程得到

n=哼,进而得以判断；对于B,将网机,〃）代入椭圆「的方程得到a=2c,由此得以判断：对于C,

利用椭圆的定义与基本不等式“1”的妙用即可判断；对于D,利用三角形内心的性质与三角形角平分线的性

质，结合比例的性质即可判断.

V2《=1伍>6）的左、右焦点分别为耳F,右顶点为4则4（。,0）,

【详解】对于A,因为椭圆F:J+2

a2

E(-C,O),/s(-c,o),b2=3,

因为抛物线/=^3+c）x（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆「交于8,C两点,

8

所以由椭圆与抛物线的对称性可得，8,C两点关于x轴对称，不妨设5（〃》），。（叽〃>0,

因为四边形。是菱形，所以8C的中点是片片的中点，

所以由中点坐标公式得2m=a—c,则/w=；（a-c）,

将3（小,〃）代入抛物线方程/=£（a+c）x得，n2=+c）加=+c）（"c）=/（/-,

所以/="〃=竺，则〃=之叵，所以13cl=2〃=之叵，故A正确；

161642

/厂、2

对于B,由选项A得51（々一°）,手，再代入椭圆方程得］■.（"―/），+色.=1，

。'4J4/16x3

化简得（"一"）=j_,则伫£=!，故”=2c,所以e=g=,，故B错误;

424a2a2

对于C,由选项B得。=2。，所以/J?=a~—c?=3c"=3，则。=1,。=2,

所以|1/£|+河/矶=2a=4,不妨设|〃百|二sJ"K|=Z,则s+r=4,Fl5>0,r>0,

141414

z

所以

广+(5+

配------

Rs/4\/

当且仅当£=卓且s+Z=4,即s=g/=g,即|M|二g,|g|=g时，等号成立,

149

所以西+画的最小值为1故c正确；

对于D,连接阴和阴，如图,

因为△町工的内心为/,所以/”为Ng行的平分线，则有幽=船,

I尸四|小|

\MF\_\MI\阿耳|」历周」M/|

同理：两2一网’所以同一两一同

所以群就需等2,所以|W|

5,故D正确.

|M/|

故选：ACD.

【点睛】关键点睛：本题的关键点是利用椭圆与抛物线的对称性，可设8,C的坐标，再由菱形的性质与中

点坐标公式推得加=；(。-。)，从而求得凡。的值，由此得解.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分.

13.(2x+l)fx-^l的展开式中含/项的系数为.

【答案】-10

【解析】

【分析】先求'％-"!■)展开式中/项，然后乘以2x可得.

【详解】［x—g)展开式的通项为7；+1=C)A(-g)=(-l)「C"5-2，，

令5—2尸=4或5—21=3,得广=,(舍去)，r=1>=-5x3

2IX)

所以(2x+l)展开式中含/的项为2xx(-5/)=-10x4.

故答窠为：-10

14.已知的非零数列｛%｝前〃项和为S“，若4=2,4=3,勺45=2S“+2,则的值为.

【答案】65

【解析】

【分析】根据的关系可得勺+2一勺=2,进而根据等差数列的求和公式以及分组求和即可求解.

【详解】由=2Sa+2得：。“+［。“+2=2S〃+］+2,

故两式相减得。向%+2一%%+i=2S“x+2—(2S〃+2)=为用=>。用(%+2一％)=〃+】，

由于｛«〃｝为非零数列，故氏+2一%=2,所以｛凡｝的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，且等差均

为2,

5x45x4

所以A。=(%+%+以+%+4o)+(4+4+牝+%+%)=2x5+x2+3x5+---x2=65,

故答案为：65

15.已知双曲线£：W-E=l(a>0,b>0)的右焦点尸(3,0),点力是圆(x+3)2+(y+4)2=8上一个动

ab

点，且线段4尸的中点8在双曲线E的一条渐近线上，则双曲线E的离心率的取值范围是.

【答案】［垃,+oo)

【解析】

【分析】先表示出点8的坐标，然后代入双曲线的渐近线方程，可得2的范围，然后可得结果.

a

【详解】因为点4是圆(x+3)2+(y+4)2=8上一个动点，所以设碓及cos6-3,2及sin”4),

则贝及cos6/sin"2),不妨设双曲线的一条渐近线方程为》=纥，

因为点8在双曲线的一条渐近线上，所以J^sin。一2=—xJJcos。，即sing-2cos®=/；

aa

hI7Tb

因为sin。——cos^=J1+—sin(^-^)=\/2，其中tane='，

因为sin(。一,所以>V2,即离心率e

故答案为：［及,+8)

16.若函数y=e"与歹=e“(lnx+a)的图像有两个不同的公共点，则。的取值范围为.

【答案】(L+O0)

【解析】

【分析】令/(%)=^一€”(1111+。)户>0,根据题意/(不)在(0,+8)有两个零点，求导借助导数研究单调

性分析得，/(%)的极小值/(/)<0,其中x0e%=e"，进而转化为能成立问题，借助基本不等式求解即

可.

【详解】令/a)=ex-e”(lnx+a)户>0,

函数『=e"与》=e"(lnx+a)的图像有两个不同的公共点，

等价于/(%)在(。,+8)有两个零点，

/"(X)=ev--,x>0,

令/'(x)=O,则疣、_6=0,

令g3=xe'-e”,x>0,g'(x)=eA+xe\x>0,易得g'(x)>0恒成立，

故g(x)在(0,+8)单调递增,易得鹭g(x)<0,照g(x)>0,

故存在与£(0,+8),使得g(x())=O,即/'(%)=0,即/4*=小，

当x<(Uo)时，g(x)<0,等价于Q(x)<0,则“X)在(0,%)上单调递减，

当X£(Xo，+00)时，g(x)>o,等价于/呦)>0,则/(x)在(/,+8)上单调递减，

故/(%)为极小值，因为/(X)在(0,+8)有两个零点，

MJf(x0)<0,即e"-e"(1nXo+a)<O,

因为瓦？"=1,则与=e“r°,lnxo=。一%,

则e"-x°e/(2。一玉))<0,即」-+%o<2a,解得

X。

故答案为：。,+8).

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.

17.已知正项等比数列出｝的的前〃项和为S”，且满足：6=2,S4=3(q+%)，

(1)求数列｛%｝的通项；

(2)已知数列｛4｝满足"=(2〃-1)〃“，求数列也｝的前〃项和却

n

【答案】（Dan=2

（2）北=（2〃-3）22+6

【解析】

【分析】（1）求等比数列的通项公式用公式法，基本量代换；

（2）由（1）可得。=（2〃-1）2,利用错位相减法即可求得数列出｝的前〃项和

【小问1详解】

设｛%｝的公比为/4>0,

*.*=3（q+/），**•q+啰+/+4=3（%+%），

a2-a4=2（fl]+a3）,即a、q+a3g=2（%+%）,

:.q=2,又q=2，，勺=2-2"T=2”.

【小问2详解】

AT；,=1-2,+3-22+5-23+7-24+---+（2/?-1）-2\

2345,,+,

・•・27；J=1-2+3-24-5-2+7-2+---+（2H-1）-2,

相减得，-7；=2+23+24+2'+~+2•一（2〃-1）・2向，

7w+1

•*--Tr=2+-（2/2-l）2=-6-（2^-3）-2^'>

所以北=（2刀一3>2向+6.

18.已知函数/（x）=273sinxcosx-2cos2x.

（1）求函数>=log2/（x）的定义域和值域：

（AAh+c

（2）已知锐角&48C的三个内角分别为儿B,C,若/-=0,求——的最大值.

12Ja

/\

【答案】（1）$++%兀^eZ；（-oo,0]

（62；

（2）2

【解析】

【分析】（1）先化简/（x）,然后利用真数大于。可得sin2工-三＞！，即可求出定义域，继而求出值域;

I6J2

（2）先利用（1）可得4=g,结合锐角三角形可得当〈5〈二，然后利用正弦定理进行边变角即可求出答

362

案

【小问1详解】

/(x)=2\/3sinxcosx-2cos2x=5/3sin2x-cos2x-l=2sin

所以要使V=log2/(x)=log22sin2x-y-1有意义,

k67

兀1

只需2§亩（2不一看—1>0,即sin2x—>一,

I6J2

所以E•+2〃兀<2x--<—+2kitjcGZ.解得四十%兀vx<—+knjcGZ

66662

所以函数歹=log2/（x）的定义域为B+E，［+%兀*eZ,

162）

由于0v2sin2x+^-1<1,所以log,/(x)«log。1=0,

I6)

所以函数N=log2/（x）的值域为（-8,0］；

【小问2详解】

71£

由于/=2sinA---1=0,所以sin]/—四

I6JI62

因为0＜4〈四，所以一百＜4一百＜二，所以＜一二=工即力=工,

2663663

0<B<-

2.7T_7T

由锐角”8C可得〈,所以一<8<一,

62

0<C=--B<-

32

由正弦定理可得

b+csin8+sinCc.(兀

sinB+sin—+Br»

sin4闻(3

—3sinB+——y/3cos8、=A^sin8+cos8=2sin(B+—71,

226J

E、，TCc71~…兀n兀

因为一<3<一，所以一<8+一<一2H，所以,J[T3<-b-+--c<2c,

62363a

所以"的最大值为2.

a

19.2022年12月15至16日，中央经济工作会议在北京举行.关于房地产主要有三点新提法，其中“住房改

善”位列扩大消费三大抓手的第一位.某房地产开发公司旗下位于生态公园的楼盘贯彻中央经济工作会议精

神，推出了为期10天的促进住房改善的惠民优惠售房活动，该楼盘售楼部统计了惠民优惠售房活动期间到

访客户的情况，统计数据如下表：（注：活动开始的第，天记为王，第i天到访的人次记为乂，i=l,2,3,…）

Xj（鱼位：天）1234567

乂（单位：人次）12224268132202392

（1）根据统计数据，通过建模分析得到适合函数模型为y=c（c,d均为大于零的常数）.请根据统计

数据及下表中的数据，求活动到访人次y关于活动开展的天次x的回归方程，并预测活动推出第8天售楼部

来访的人次；

177

参考数据：其中斗=lg,尸=3>>j=L84，W>M=58.55』0°84R6.9；

7Mr»l

参考公式：对于一组数据（〃”耳）,（〃2，%）「:（〃"，匕），其回归直线/=&+£〃的斜率和截距的最小二乘估

n.

2（%一万）（匕一万）Z%匕一〃西

计公式分别为：0----------------------=三--------前;

E（«f-w）2次♦一加2

/=1/=1

（2）该楼盘营销策划部从有意向购房的客户中，随机通过电话进行回访，统计有效回访发现，客户购房意

向的决定因素主要有三类：力类是楼盘的品质与周边的生态环境，8类是楼盘的品质与房子的设计布局，C

类是楼盘的品质与周边的生活与教育配套设施.统计结果如下表：

类别4类B类C类

频率

从被回访的客户中再随机抽取3人聘为楼盘的代言人，视频率为概率，记随机变量X为被抽取的3人中力

类和。类的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望.

【答案】（1）j）=6.9xl0025x：690

（2）分布列见解析，数学期望为不

【解析】

【分析】（1）将歹=cM'转换为lgy=lgd法+lgc,由最小二乘法求回归直线方程，再换回歹形

式;

(2)X〜8(33)

结合二项分布的概率公式及期望公式即可求.

【小问1详解】

由y=得Igy=Igd汝+lgc,

1777

由匕=lgWM=-Z匕=L84,4=58.55,=I2+22+32+42+52+62+72=140,

7f.iJ-Ii=\

x.v.-7xv

a58.55-7仓41X4

・・・lgd二号-------»0.25,

140-7'4、

ax；-7x

lgc=v-lgJ^=1.84-0.25'4=0.84,1gy=0.25%+0.84.

则所求回归方程为：y=10°&M25X=6.9x10°25x.

当X=8时，^=6.9X10°25X8=690,故预测活动推出第8天售楼部来访的人次为690；

【小问2详解】

（4

由题意得，人类和。类被抽取得概率为0.4+0.4=0.8,X可取0,1,2,3,且X〜83,-

<5

•.・p（x=°）=q（f（「=*，尸（））=4款m=总

22）=啸J1）,峪,尸-A嘿冏喂.

；・x的分布列为

X0123

1124864

P

T25125125125

X的数学期望为E（%）=3xi=y.

20.如图，在四棱锥尸一力88中，底面N8CO是直角梯形，AB1BC,AD//BC,AD=DC=2BC,

N4£）C=60。，侧面是等腰三角形，PA=PD.

C

（1）求证：BC1PC；

（2）若侧面尸J_底面ABCD,侧棱PB与底面/8C0所成角的正切值为力，M为侧棱PC上的动点,

2

且丽=4斤（2£[0,1]）.是否存在实数4,使得平面尸4。与平面M4O的夹角的余弦值为弓？若存在，

求出实数；I若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

2

（2）存在，A——.

3

【解析】

【分析】（1）通过证明线面垂直，即可证明3CJ.PC；

（2）建立平面直角坐标系，得到各点的义标，设出点M坐标，求出平面尸/。与平面助力。的法向量，通

过两平面夹角的余弦值即可求得实数4的值.

【小问1详解】

由题意，

在四棱锥M8CZ）中，取的中点为E，连接CE,

在等腰△"£>中，PA=PD,:・PE1AD,

在直角梯形48C。中,

ABJ.BC,AD//BC,AD=DC=2BC,ZADC=60°,

BCLPE,BC=AE=DE,AB〃CE,四边形/BCE是矩形，

:.BC工CE,CELAD,AB=CE,BC=AE=DE=-CD,

2

・•・