24.最优捕鱼策略模型

最优捕鱼策略模型高存臣

E-mail:ccgao@2007.06.24教学目的掌握引进捕捞强度系数k,用建立微分方程的方法建立鱼群数量S(t)的数学模型以及捕捞量的模型,并会计算最大捕捞量．2.增强参加全国大学生数学建模竞赛的信心，希望大家在今年９月报名参加这项竞赛，真正锻炼自己的建模能力、应用所学数学方法分析问题与解决问题的能力．1.

问题的提出2.问题分析3.符号说明4.模型建立与模型求解5.问题的几点说明6.该模型的的研究问题主要内容1问题的提出为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业、林业资源)的开发必须适度．一种合理、简化的策略是：在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。1问题的提出考虑对某种鱼（鳀鱼）的最优捕捞策略：假定此种鱼分为４个年龄组，分别称为１龄鱼，…，４龄鱼．各年龄组每条鱼的平均重量分别为５.07,11.55,17.86,22.99(g),各年龄组的自然死亡率均为0.8(1/年),这种鱼为季节性集中产卵繁殖,平均每条４龄鱼的产卵量为110900(个),3龄鱼的产卵量为该数的一半,2龄鱼和1龄鱼不产卵,产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化并成活为1龄鱼,成活率(1龄鱼条数与产卵总量n之比)为.渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期前8个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕捞能力(如渔船数。下网次数等)固定不变，这时单位时间内捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称为捕捞强度系数.通常使用13mm网眼的拉网,这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼,其两个捕捞强度系数之比为0.42:1.渔业上称这种方式为固定努力量捕捞.建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每年捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变),并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量).某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年,合同要求5年后鱼群生产能力不能受到太大破坏.已知承包时各年龄组的数量分别为:122,29.7,10.1,3.29(条).如果仍用固定努力量的捕捞方式,该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高.2问题分析原问题的实际就是给出各年龄组鱼群的转化规律，并给出自然死亡率及鱼产卵的时间分布，并固定每年投入的捕捞能力（如鱼船数、下网次数等）及3、4龄鱼捕捞能力的比值，要求选择一定的捕捞能力系数，使得各年龄组鱼量在各年开始捕捞前条数不变，或5年内鱼群的生产能力不会有太大破坏，在此条件下，得到以重量计的最大捕获量．

表示(t+1)年的数量;

表示对4龄鱼的捕捞强度系数(3龄鱼为

0.42);

表示对捕捞鱼的总重量;表示(j+1)年对ｉ龄鱼的捕捞重量;

表示3、4龄鱼产卵的总数．3符号说明10/5/2024

4.1可持续捕捞渔业优化模型的建立为了求解在鱼量稳定情况下的最大捕鱼量,把捕鱼能力系数作为一个关键的控制量,通过建立各相关量与的关系,以求能最终根据稳定情况下的最大捕获量条件求得一最值的值,并由此得出最优的可持续捕获的渔业捕获模型.4.1.1一般情况下,各龄鱼的数量须经过一段时间,才能达到一个稳定的状态,即到平衡年时,年末和年初的各龄鱼的数量基本不变.4模型建立与求解10/5/2024

设为各年龄鱼的自然死亡率(即单位时间内死亡的数量与鱼的总量之比).在的时段内,由死亡率的定义,有或者

(1)10/5/20244.2可持续捕捞渔业优化模型的求解积分(1)式可得

(2)(2)式表示无捕捞时,鱼群数量随时间的变化规律.考虑到有捕捞的情况下,则有

(3)积分,得

(4)10/5/2024设年初各龄鱼群数量分别为则在8月末,经过捕捞及自然死亡后的各龄鱼群数量为12月末,各龄鱼群数量为卵的总数量为,则由(2),(4)式,t依年计算,有

1-8月,为捕捞季节,经过捕捞与自然死亡,8月末,各龄鱼群数量为10/5/2024

9-12月为产卵季节,此期间不捕捞,则12月末,各龄鱼群数量为

10/5/2024再设分别为3,4龄鱼在产卵期的平均数量,为3,4为龄鱼产卵数量的总合,按月计算,有10/5/2024产卵期产卵数量

(其中为平均每条4龄鱼产卵个数).

设表示第2年各龄鱼的初始数值,则有

1龄鱼由卵孵化并成活下来的那部分卵子转化而成,即10/5/2024

10/5/20242龄鱼由上一年龄鱼转化而成,即3龄鱼即上一年末的2龄鱼,即4龄鱼即上一年末的3龄鱼,即10/5/2024令10/5/2024

10/5/2024设则可表为10/5/2024于是可表为

A称为“射影矩阵”．对于一种可捕获的鱼来说，设其捕获量为P（一年内），初值为S(0),则P可表为10/5/2024

(9)式中的积分号内表示捕捞期(8个月,或者2/3年)内该种鱼经自然死亡和捕捞双重淘汰后的总量.由k的定义,即单位时间捕捞量与总量的比值,则(9)式就是该种鱼在一年内的捕获量.故1-8月,捕捞3龄鱼的数量

捕捞4龄鱼的数量10/5/2024设每条3龄鱼的质量为克,每条4龄鱼的质量为克,则年捕获的鳀鱼的总量为为使捕获最大的捕捞量，且使鱼群数量稳定，若从矩阵A的特征值来计算值是行不通的,因为

所以矩阵A是逐年变化的.为此,我们采用

的关系,由计算机模拟方法,根据所计算的数量及年捕获量最大的原则来选取值.10/5/20244.3第2问的模拟方法现在用题目中第2问数据为初始数据来说明模拟方法.其计算如下:[1]确定值;[2]根据(5)-(8)式分别算出;[3]再把作为第2年捕获前的初值,重复[2],据(5)-(8)式分别算出下一年的

;[4]重复[2],[3],当计算到年初与下年末的各龄鱼群的数量一致时,即鱼群稳定为正,根据(8)式,用稳定年的各龄鱼群的数量算出年捕获量;10/5/2024[5]另定值;[6]根据年捕获量最大的原则,来定值.已知数据及计算结果为:

结果列表如下:10/5/2024表1捕捞系数k与总捕获量表k总捕获量G()k总捕获量G()0.10.021650.50.090762.00.23745.00.324810.00.367412.20.3767140.379514.950.3844615.500.3849615.60.3850215.70.3850715.80.3851215.90.3851516.00.3851816.10.3851916.20.3852016.30.3851916.40.38517170.3851948180.3833由表可知：当时，捕获量随的增大而增大；当时，捕获量随的增大而减少，故取，其稳定年的捕获量达到最大值：的计算公式见（12）式．10/5/20245问题的几点说明资源和环境的合理开发与保护是国民经济发展中的一个十分重要的问题.特别是可再生资源的持续开发和利用问题已经是全世界关注的热点问题之一.渔业的可持续开发问题是应用数学来研究资源利用的一个成功例子．“最优捕鱼策略”问题就是在上述背景下而提出来的．其意图使学生了解如何把数学应用于探讨资源和环境的合理开发与利用．此问题是来自关于渔业资源开发利用的研究工作，为适应竞赛的实际情况，对问题进行了适当的加工和简化．数据也是实际的观测数据．题目中给出的鱼类的种群的死亡过程是连续的．集中的季节性产卵表明繁殖是离散的，形成的种群的世代是分明的．因此，鱼类种群在年龄上可以理解为离散变化的．鱼类种群的繁殖行为是非线性的，而渔业捕捞工作只在鱼类生长过程的部分时间进行．应该说这些都使我们对所讨论的问题更接近于渔业生产的实际．当然也增加了问题的复杂性．最后得到的目标函数（通常叫产量努力量（捕捞强度）函数）已经足够复杂，使用解析法很难进行分析，必须掌握计算机编程的技巧来解决这个优化问题．第一问虽复杂但较规范，难度并不很高．第二问中的“５年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏”的提法多了一些灵活性．可以按照不同的理解与方法来处理此问题．该题的答卷主要发生在对问题的理解上，主要有以下４个方面：5.1捕捞强度系数．此概念在题目中交代的很清楚，它是单位时间捕捞量与鱼群条数成正比时的比例系数．若用数学语言来表示就是：只考虑捕捞对种群变化的影响，则在[t,t+Δt]这段时间内，鱼类种群由捕捞产生的变化量（捕捞量）为N(t)-N(t+Δt)，单位时间的捕捞量是［N(t)-N(t+Δt)］，它与鱼群的大小成正比时，应有如下关系

此关系应对任何时间间隔Δt都对．于是，当Δt→0时便有方程捕捞强度系数应该理解为满足此关系的量．若直接把它理解为捕捞的百分率是不恰当的．5.2关于鱼类的“季节性集中繁殖”问题．题目对鱼类的繁殖行为特征已经交代的很清楚了，问题中还特别强调了它的生物学背景：鳀鱼，这可使学生通过查阅文献资料得出更具体的印象．为了用数学语言描述这种繁殖行为，应该通过假设对上述特征给出更明显的叙述.题目中说产卵孵化期是１年的最后４个月，而且是集中产卵期，那么假设产卵均匀地分布在整个４个月的期间内是不合适的．因为从生物学常识也可以知道：鱼的产卵繁殖与鸡的产卵繁殖是不同的．再仔细分析一下可发现，若在４个月均匀地产卵，则这种鱼类应该每1.2分钟产１个卵．显然,这不符合鱼类的生物学实际．

有的参赛代表队假设产卵的过程服从正态分布，在方差很小的前提下，这种假设也是可以的，但是会大大增加问题的难度．在不失生物学真实的前提下,使模型分析尽量简单的假设是假设鱼群的个体在后期4个月的第一天集中一次产卵，还有使用后4个月的平均鱼群量来计算产卵的总数，这种处理与前面的假设无本质区别，但处理起来要复杂得多．5.3关于“自然死亡率为0.8(1/年)”的提法．此概念比较复杂．因为它既不是简单的百分比率，又不是简单的变化速率．实际上它是百分比率的变化速率．它的具体含义与前面的捕捞强度概念是一致的．由于在这个种群变化的模型中，时间是以变量的形式出现的，故这个量是有量纲的，其量纲单位必须是(１/时间)．它应该理解为鱼群是以每年死亡80%的速度减少．由于死亡现象是在任意时刻瞬时发生的，所以它导致的结果并不是在一年内恰好死亡80%．因此，它不同于每年死亡80%的说法．后一说法通常用于离散模型的参数，此时时间是以固定间隔（如年）的离散量出现的，它不是模型中的变量．因此此时的死亡率仅仅是一个简单的百分率，是一个无量纲的量，否则将无法保持模型中量纲的平衡．因此在连续模型和离散模型中死亡率这个参数的给出是不同的．我们在介绍生物种群的增长模型时，它作为指数增长率是模型中的唯一的一个重要参数，一般都称为“增长率”或“自然增长率”．而题目中是沿用了此概念的习惯用法，量纲单位的使用实际上已经标志出了简单的百分率与百分率的变化速率的区别．该问题所要建立的基本模型是在每年年初各年龄组的鱼群数量的迭代关系，它是一个与捕捞强度系数（或捕捞努力量）有关的离散模型，模型的参数应该由各年龄组的鱼群在年内动态的连续模型估算出来．由上述模型就可得到由于捕捞而获得的渔捕年产量（依赖于捕捞努力量的函数）模型．此函数即为优化的目标函数．可持续捕捞应该在离散模型的平衡点处发生．因此模型的平衡解的迭代关系就给出了优化问题的约束条件．5.4题目中把鳀鱼分为４个年龄组，未指明４龄以上的鱼如何对待．可以假定鳀鱼只活到４龄，以后它就死掉，也可以假定４龄后的鱼仍然活着．在这两种假设下所建立的模型没有太大差异，只是后者分析计算过程稍复杂写，计算结果也只是稍有差别．注意，正确理解问题是建模的基础，它直接影响所建模型是否反映客观实际．特别对捕捞强度系数与自然