黄金卷：2024-2025学年高二上学期入学摸底考试数学试卷-数学（广东专用）（含答案及解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页高二开学摸底考试卷（广东专用）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试范围：4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（

）A．或B． C． D．或2．如果复数满足，那么复数可能是（

）A． B． C． D．3．设m，n是不同的直线，，是不同的平面，下列说法正确的是A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，，则4．有一组样本数据：，，，其平均数为2，由这组样本数据得到新样本数据：，，，2，那么这两组样本数据一定有相同的（

）A．众数 B．中位数C．方差 D．极差5．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．6．已知函数，设，则（

）A． B． C． D．7．已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（

）．A． B． C． D．8．如图，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，点在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥外接球表面积的最大值为（

）A． B． C． D．多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9．已知向量，，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C．向量与夹角是 D．10．若，则下列结论正确的有（

）A． B．若，则C．若，则 D．若，则11．如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列判断正确的是（

）A．三棱锥的体积是定值B．过，，三点的平面截正方体所得的截面是六边形C．存在唯一的点，使得D．与平面所成的角为定值填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．某科技攻关青年团队共有人，他们的年龄分别是，，，，，，，，则这人年龄的分位数是．13．我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗上底边长为4分米，下底边长为2分米，高为3分米，则该方斗的外接球的表面积为平方分米．14．在锐角中，角所对的边分别为为的面积，且，则的取值范围.解答题（本大题共5个小题，共77分）15．已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，当x∈时，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)在上的表达式；(2)求方程f(x)＝的解．16．为了解某农场的种植情况，该农场的技术人员对种植出来的水果进行抽样检测，将测得的水果重量分成六组进行统计，得到如图所示的统计图.（1）估计该农场的水果重量的平均数(同一组当中的水果重量用该组的中间值代替)；（2）从样本中重量不小于克的水果中任取个，求至少有个水果的重量不小于克的概率.17．如图，已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，，，分别是，，的中点．（1）求证：平面平面；（2）若是线段上一点，求三棱锥的体积.18．在中，角所对的边分别为，已知．(1)若的外接圆半径为，且，求；(2)若，求锐角的面积的取值范围．19．如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”.(1)已知具有“性质”，且当时，，求在的最大值；(2)已知定义在上的函数具有“性质”，当时，.若函数有8个零点，求实数的取值范围.

高二开学摸底考试卷（广东专用）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试范围：4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（

）A．或 B． C． D．或【答案】B【分析】根据分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合，再按照集合的并集运算即可.【详解】，则，且，解得，则集合，则故选：B.2．如果复数满足，那么复数可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将选项代入条件，利用模的公式进行验证.【详解】A.时，，故A错误；B.，则，故B错误；C.，则，故C错误；D.，则，故D正确.故选：D3．设m，n是不同的直线，，是不同的平面，下列说法正确的是A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，，则【答案】C【解析】由线面的位置关系，面面平行与垂直的判断定理逐一判定、排除即可得到答案.【详解】在中，若，，则或，故错误；在中，若，，，则与相交或平行，故错误；在中，若，，则由面面垂直的判断得到，故正确；在中，由，，，故或，故错误．故选：C．【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运空间想象能力，属于基础题．4．有一组样本数据：，，，其平均数为2，由这组样本数据得到新样本数据：，，，2，那么这两组样本数据一定有相同的（

）A．众数 B．中位数C．方差 D．极差【答案】D【分析】根据众数、中位数、方差以及极差的定义，结合题意，即可判断和选择.【详解】对A：假设，，中，有两个2，两个3，其它4个数据都不相同，且这8个数据平均数为，那么众数为和；再添加一个2后，有三个2，故众数为2，众数发生改变，故A错误；对B：假设，，分别为：，满足平均数为，其中位数为；添加以后，其中位数为，中位数发生改变，故B错误；对C：，，的平均数为，方差；添加2以后，其平均数还是，方差，故方差发生改变；对D：若是，，的最大值或最小值，因为其平均数为，故这组数据都是2，其极差为，添加2后，极差也是0；若不是，，的最大值，也不是最小值，添加2后，最大值和最小值没有改变，极值也不发生变化，故D正确.故选：D.5．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据奇偶性和的符号，使用排除法可得.【详解】的定义域为R，因为，所以为偶函数，故CD错误；又因为，，所以，故B错误.故选：A6．已知函数，设，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可得函数关于直线，且在上单调递增，在上单调递减，又，即得.【详解】∵函数，∴函数关于直线，且在上单调递增，在上单调递减，又，∴，∴.故选：B.7．已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可讨论时，可看出在上单调递增，而在上不是增函数，显然不合题意；时，可看出在上单调递减，从而得出，解出a的范围即可．【详解】解：①时，在上是增函数；∴在R上是增函数；显然在上不是增函数；∴的情况不存在；②时，在上是减函数；∴在R上是减函数；∴，解得；综上得，实数a的取值范围为．故选：C．8．如图，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，点在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥外接球表面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由条件确定球心位置，引入变量表示球的半径，由此确定球的表面积及其最大值.【详解】因为为等腰直角三角形，，所以的外接圆的圆心为的中点，且，设的中点为，连接，则，则平面，设三棱锥外接球的球心为，由球的性质可得在上，设，，外接球的半径为，因为，所以，即，又，则，因为，所以所以三棱锥外接球表面积的最大值为.故选：B.【点睛】方法点睛：常见几何体的外接球半径求法：（1）棱长为的正方体的外接球半径为；（2）长方体的长，宽，高分别为，则其外接球的半径为；（3）直棱柱的高为，底面多边形的外接圆半径为，则其外接球的半径为.多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9．已知向量，，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C．向量与夹角是 D．【答案】BCD【分析】根据题意，由条件可得，再由平面向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】因为向量，，则，且，则，解得，故A错误；因为，，则，故B正确；因为，则，故C正确；因为，则，故D正确；故选：BCD10．若，则下列结论正确的有（

）A． B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BCD【解析】对于选项ABC：利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项D：利用作差法判断即可.【详解】对于选项A：若，由基本不等式得，即，得，故，当且仅当时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若，，，当且仅当且，即时取等号，所以选项B正确；对于选项C：由，，即，由基本不等式有：，当且仅当且，即时取等号，所以选项C正确；对于选项D：，又，得，所以，所以选项D正确；故选：BCD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11．如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列判断正确的是（

）A．三棱锥的体积是定值B．过，，三点的平面截正方体所得的截面是六边形C．存在唯一的点，使得D．与平面所成的角为定值【答案】AC【分析】利用，结合的面积为定值，点到平面的距离为定值，可判断A；平面的基本性质作出面与的交点，利用正方体的性质及线线平行、线面平行、中位线性质判断B；当为中点时，可得，进而判断C；到平面的距离一定，而长度随运动会变化，结合线面角定义判断D.【详解】因为是线段上的动点，而且，所以的面积为定值，又点到平面的距离为定值，，所以三棱锥的体积是定值，A正确；过作分别交，的延长线于，，连接，，如图，为，的交点，为，的交点，所以截面为五边形，B错误；在上运动，当时，，而为中点，所以当为中点时，，故存在唯一的点使得，C正确；由，平面，平面，则平面，所以到平面的距离一定，而长度随运动会变化，故与平面所成的角不为定值，D错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题A选项解决的关键在于，利用线线平行得到点到的面积为定值，从而得解.填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．某科技攻关青年团队共有人，他们的年龄分别是，，，，，，，，则这人年龄的分位数是．【答案】【分析】根据百分位数的计算公式即可得到答案.【详解】把这个数据按从小到大的顺序排列可得：，，，，，，，，，所以这人年龄的分位数是．故答案为：．13．我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗上底边长为4分米，下底边长为2分米，高为3分米，则该方斗的外接球的表面积为平方分米．【答案】【分析】首先根据棱台的对称性得到外接球的球心所在位置，根据垂直关系列出方程组，求解方程组解得外接球半径，最后求出外接球面积即可.【详解】由题意，方斗的示意图如下：设棱台上底面中心为，下底面中心为，由棱台的性质可知：外接球的球心落在线段上，设外接球的半径为，，则，因为垂直于上下底面，所以即，所以即，联立解得，,所以该方斗的外接球的表面积为.故答案为：【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.14．在锐角中，角所对的边分别为为的面积，且，则的取值范围.【答案】【分析】利用三角形面积公式与余弦定理,可得，再根据同角关系式可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得出，结合条件可得的取值范围，进而即得.【详解】因为，且，所以，即，由余弦定理得：，所以，又，所以，解得：或，因为为锐角三角形，所以，，所以，因为，所以，由正弦定理得：，因为为锐角三角形，所以，即,所以，所以，所以，所以，，故.故答案为：.解答题（本大题共5个小题，共77分）15．已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，当x∈时，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)在上的表达式；(2)求方程f(x)＝的解．【答案】(1);(2)∴x＝－或－或－或．【详解】试题分析：解：(1)当x∈时，A＝1，＝－，T＝2π，ω＝1.且f(x)＝sin(x＋φ)过点，则＋φ＝π，φ＝.f(x)＝sin.当－π≤x＜－时，－≤－x－≤，f＝sin，而函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，则f(x)＝f，即f(x)＝sin＝－sinx，－π≤x＜－.∴(2)当－≤x≤时，≤x＋≤π，由f(x)＝sin＝，得x＋＝或，x＝－或.当－π≤x＜－时，由f(x)＝－sinx＝，sinx＝－，得x＝－或－.∴x＝－或－或－或.考点：三角函数的图像与解析式点评：解决的关键是根据三角函数的性质来结合图像来得到参数的求解，同事解三角方程，属于基础题．16．为了解某农场的种植情况，该农场的技术人员对种植出来的水果进行抽样检测，将测得的水果重量分成六组进行统计，得到如图所示的统计图.（1）估计该农场的水果重量的平均数(同一组当中的水果重量用该组的中间值代替)；（2）从样本中重量不小于克的水果中任取个，求至少有个水果的重量不小于克的概率.【答案】（1）18.45；（2）.【分析】（1）取中间值与该组频数相乘，除以总数，即得平均数.（2）列出所有基本事件，找出所求事件包含多少个基本事件，按照古典概型概率计算公式求解即可.【详解】解：（1）设该农场的水果重量的平均数为，则（2）重量不小于克的水果有个，记为其中重量不小于克的水果有个，记为从中任取个，有，共种情况至少有个水果的重量不小于克的有，共种情况则至少有个水果的重量不小于克的概率【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.17．如图，已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，，，分别是，，的中点．（1）求证：平面平面；（2）若是线段上一点，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）由线面垂直的性质定理，证出平面．在中根据中位线定理，证出，从而平面，结合面面垂直的判定定理，可得平面平面；（2）根据线面平行判定定理，得到平面，推出三棱锥的体积等于三棱锥的体积．再由面面垂直的性质证出点到平面的距离等于正的高，算出的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥的体积，即可得到三棱锥的体积．【详解】（1）平面平面，平面平面，平面，平面，又中，、分别是、的中点，，可得平面平面，平面平面；（2），平面，平面，平面，因此上的点到平面的距离等于点到平面的距离，，取的中点，连接、，则，平面，平面，，而,于是，平面平面，平面平面，由题意知,是正三角形，则,是正三角形，点到平面的距离等于正的高，即为，因此，三棱锥的体积．18．在中，角所对的