黄金卷：2024-2025学年高二上学期第一次月考数学第一次月考卷（含答案及解析）【测试范围：沪教版2020必修第三册第十章】（上海专用）

2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十章。5．难度系数：0.65。一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．斜线与平面所成角的取值范围是．2．已知空间两个角和，若，，则．3．如图，在三棱锥中，，且，，分别是棱，的中点，则和所成的角等于.4．如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作轴，则的长为.

5．下面四个正方体中，点A、B为正方体的两个顶点，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形序号是．（写出所有符合条件的序号）6．在空间中，三个平面最多能把空间分成部分．7．是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题：①，则，②，则，③，则，④，则，其中真命题的编号是.（写出所有真命题的编号）8．平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的倍，则斜线与平面所成角的大小为．9．如图，设P为矩形ABCD所在平面外一点，直线PA⊥平面ABCD，AB=3，BC=4，PA=1，则点P到直线BD的距离为.10．已知为直角三角形，且，，点是平面外一点，若，且平面，为垂足，则．11．如图，正六棱柱的底面和顶面均为正六边形，侧棱均垂直于底面和顶面.其6个侧面12条面对角线所在的直线中，与直线异面的共有条.

12．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是．

二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．给出下面四个命题：①三个不同的点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④两条平行直线确定一个平面．其中正确的命题是（）A．① B．② C．③ D．④14．如图，已知正四棱台中，，，，点分别为，的中点，则下列平面中与垂直的平面是（

）A．平面 B．平面DMN C．平面ACNM D．平面15．已知二面角为，点、分别在、内且，到的距离为，到的距离为,则两点之间的距离为（

）A． B． C． D．16．M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直．以下判断正确的是（

）A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，在长方体中，，，点P为棱的中点．

(1)证明：∥平面；(2)求直线与平面所成角的正切值．18．已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.

(1)求直线与平面所成的角的正切值；(2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离.19．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，△是边长为2的等边三角形，，．(1)设中点，连接，，求证：平面；(2)求平面和平面所成锐二面角的大小．20．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，在“阳马”中，侧棱底面，且.

(1)若，试计算底面面积的最大值；(2)过棱的中点作，交于点，连，，求证:直线平面；(3)若平面与平面所成锐二面角的大小为，试求的值.21．

(1)若F为的中点，试确定点G的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围．

2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十章。5．难度系数：0.65。一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．斜线与平面所成角的取值范围是．【答案】【解析】由线面角的定义可知，线与面的夹角范围为，又因为斜线与平面不垂直，不平行，也不在平面内，所以斜线与平面所成角的取值范围是.故答案为：.2．已知空间两个角和，若，，则．【答案】或【解析】因为，，当和开口方向相同时，；当和开口方向相反时，.综上所述：或.故答案为：或.3．如图，在三棱锥中，，且，，分别是棱，的中点，则和所成的角等于.【答案】/【解析】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．，F分别是CD，AB的中点，，，且，．为EF与AC所成的角（或其补角）．又，．又，，，为直角三角形，，又为锐角，，即EF与AC所成的角为．故答案为：．4．如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作轴，则的长为.

【答案】【解析】因为轴，所以中，，又三角形的面积为16，所以.∴，所以.如图作于，因为，所以.故答案为：.

5．下面四个正方体中，点A、B为正方体的两个顶点，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形序号是．（写出所有符合条件的序号）【答案】①②【解析】对于①，如图1.因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以，.又，所以.因为平面，平面，所以平面.同理可得平面.因为平面，平面，，所以平面平面.又平面，所以平面，故①正确；对于②，如图2，连结.因为点M、P分别为其所在棱的中点，所以.又，且，所以，四边形是平行四边形，所以，所以.因为平面，平面，所以平面，故②正确；对于③，如图3，连结、、.因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以，.因为平面，平面，所以平面.同理可得平面.因为平面，平面，，所以平面平面.显然平面，平面，所以平面，且与平面不平行，所以与平面不平行，故③错误；对于④，如图4，连接，因为为所在棱的中点，则，故平面即为平面，由正方体可得，而平面平面，若平面，由平面可得，故，显然不正确，故④错误.故答案为：①②.6．在空间中，三个平面最多能把空间分成部分．【答案】8【解析】三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，如图1；三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图2；三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成6部分，如图3；三个平面两两相交于三条直线，且三条直线互相平行时，可以把空间分成7部分，如图4；三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分，如图5，所以空间中的三个平面最多能把空间分成8部分．故答案为：8．7．是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题：①，则，②，则，③，则，④，则，其中真命题的编号是.（写出所有真命题的编号）【答案】①④【解析】对于①，，必然存在一个平面使得，并且，又，正确；对于②，如果，则结论不成立，错误；对于③，如图：

，构造平面，使得，并且，则，在平面内，作直线n，使得，显然，错误；对于④，，又，正确；故答案为：①④.8．平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的倍，则斜线与平面所成角的大小为．【答案】/【解析】由题意，画出如下的草图，因为斜线段的长度是它在平面内的射影长度的倍，连接，由斜线段与其射影，则是的直角三角形，所以是斜线段与平面所成的角，在中，，所以，所以，即斜线与平面所成角的大小为.故答案为：.

9．如图，设P为矩形ABCD所在平面外一点，直线PA⊥平面ABCD，AB=3，BC=4，PA=1，则点P到直线BD的距离为.【答案】【解析】如图，过作于，连接，直线PA⊥平面ABCD,,又，面PAE，则面，，为所求的距离，在中，,在中，故答案为：.10．已知为直角三角形，且，，点是平面外一点，若，且平面，为垂足，则．【答案】5【解析】由，所以，即是的外心，又，则是的中点，所以．故答案为：5．11．如图，正六棱柱的底面和顶面均为正六边形，侧棱均垂直于底面和顶面.其6个侧面12条面对角线所在的直线中，与直线异面的共有条.

【答案】5【解析】与直线相交的有，与直线平行的有，剩余的与直线异面，共5条.故答案为：5.12．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是．

【答案】【解析】如图，取的中点，的中点M，连接AM，AN，MN，，，

由正方体，E，N分别为，的中点，易知，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面BEF，平面BEF，所以平面BEF，因为E，F分别为，的中点，由中位线性质可得，同理可知，所以，又因为平面，平面，所以平面，又，平面AMN，所以平面平面，因为P是底面上一点，且平面，所以点，由分别为的中点，且，，则，，即，由，则，在等腰中，底边上的高，则AP的长度的取值范围为，设与平面成角为，在正方体中，易知平面，且为垂足，所以．故答案为：.二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．给出下面四个命题：①三个不同的点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④两条平行直线确定一个平面．其中正确的命题是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】对于①,三个不共线的点确定一个平面,故①错;对于②,一条直线和直线外一个点确定一个平面,故②错;对于③),空间两两相交的三条直线,且不能交于同一点,确定一个平面,故③错;对于④,两条平行直线确定一个平面,故④正确.故选：D.14．如图，已知正四棱台中，，，，点分别为，的中点，则下列平面中与垂直的平面是（

）A．平面 B．平面DMN C．平面ACNM D．平面【答案】C【解析】解：延长交于一点，取中点，连接，如图所示：因为正四棱台，所以为正四棱锥，因为，，，且，所以，即，解得，所以，即为等边三角形，因为为中点，所以，且，同理可得，因为，所以，即，因为为中点，所以，故，，因为，，所以，，所以，，因为，，所以在上，在上，因为，，所以，，即，，因为平面ACNM，平面ACNM，，所以平面ACNM.故选：C.15．已知二面角为，点、分别在、内且，到的距离为，到的距离为,则两点之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，作交于，连接，作，，因为，，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，即，因为平面，平面，所以，又，，，，所以，所以，同理，所以，在中，，，所以，在中，，，所以，在中，，所以.故选：.16．M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直．以下判断正确的是（

）A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题【答案】A【解析】因为M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，所以，因为平面ABD，平面ABD，所以①直线MN恒与平面ABD平行正确；如图，取中点，则（菱形对角线垂直），又，且两直线在平面内，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，所以②正确，故选：．三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，在长方体中，，，点P为棱的中点．

(1)证明：∥平面；(2)求直线与平面所成角的正切值．【解析】（1）如图，

设和交于点，连接，为长方体，∴点为中点，∵点为中点，∴，（4分）∵平面，平面，∴∥平面.（6分）（2）为长方体，∴平面，则直线与平面所成角为，（8分），，所以直线与平面所成角的正切值为.（14分）18．已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.

(1)求直线与平面所成的角的正切值；(2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离.【解析】（1）如图，

因为平面，连接，则即为直线与平面所成的角，（1分）又，，，为中点，可得，，所以，即直线与平面所成的角的正切值为.（6分）（2）由题知，平面，平面，，平面，所以平面平面.（8分）因为平面，平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以就是直线到平面的距离，又为中点，ME∥AB，所以E为AC中点，所以，即直线到平面的距离为.（14分）19．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，△是边长为2的等边三角形，，．(1)设中点，连接，，求证：平面；(2)求平面和平面所成锐二面角的大小．【解析】（1）证明：在等边三角形中，，又因为，，面，所以面，因为面，（2分）所以，又，所以，，所以，即，又，、面，所以面；（6分）（2）设平面平面，又//，平面，平面，所以//平面，又平面，所以//，（8分）所以////，又，所以，又，所以，所以即为面和平面所成二面角的平面角，由（1）知，，所以△为等腰直角三角形，故面和平面所成锐二面角为．（14分）20．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，在“阳马”中，侧棱底面，且.

(1)若，试计算底面面积的最大值；(2)过棱的中点作，交于点，连，，求证:直线平面；(3)若平面与平面所成锐二面角的大小为，试求的值.【解析】（1）平面，平面，则，所以，又，所以，（1分）因为是矩形，所以，即，当且仅当，即，时等号成立，所以底面面积的最大值是；（4分）（2）平面，平面，则，又，，平面，所以平面，又平面，所以，（6分），是中点，则，又，平面，所以平面，而平面，所以，又因为，，平面，所以平面；

（10分）（3）因为