高考总复习理数（人教版）第08章立体几何第7节空间向量的应用

第七节空间向量的应用考点高考试题考查内容核心素养空间向量的应用2017·全国卷Ⅰ·T18·12分面面垂直的判定，二面角的计算直观想象逻辑推理数学运算2017·全国卷Ⅱ·T19·12分线面平行的判定，空间向量的应用，线面角、二面角2015·全国卷Ⅱ·T19·12分利用面面平行的性质作图，求线面角命题分析从近几年高考情况看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角(特别是二面角)是高考的热点，考查频率很高，主要考查向量的坐标运算及向量的平行、垂直、夹角问题，难度中等，多以解答题形式出现.(对应学生用书P105)1．空间位置关系(1)两个重要向量①直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有__无数__个．②平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫作平面α的法向量．显然一个平面的法向量有__无数__个，它们是共线向量．(2)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝02．空间角(1)异面直线所成角设异面直线a，b所成的角为θ，则cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)，其中a，b分别是直线a，b的方向向量．(2)直线与平面所成角如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sinφ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).(3)二面角若AB，CD分别是二面角α－l－β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))的夹角，如图(1)．平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α－l－β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cosφ|＝|cosθ|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)，如图(2)(3)．提醒：1．直线的方向向量的确定：l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则eq\o(AB,\s\up6(→))及与eq\o(AB,\s\up6(→))平行的非零向量均为直线l的方向向量．2．平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两异面直线夹角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，直线与平面所成角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，二面角的范围是[0，π]．()(2)若两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为45°.()(3)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量，法向量，若cos〈m，n〉＝－eq\f(1,2)，则l与α所成的角为15°.()答案：(1)√(2)×(3)×2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为()A．45° B．135°C．45°或135° D．90°解析：选Ccos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(1,1×\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，即〈m，n〉＝45°，其补角为135°，故两平面所成的二面角为45°或135°.3．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是()A．90° B．30°C．45° D．60°解析：选D∵cos〈a，b〉＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，又∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝60°.4．在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为A．－eq\f(\r(10),10) B．－eq\f(1,20)C．eq\f(1,20) D．eq\f(\r(10),10)解析：选D如图建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1，A(1,0,0)，C(0,1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1))，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4