5.3.1正弦函数余弦函数的图象与性质（第2课时）课件高一上学期数学

第5章三角函数

正弦函数、余弦函数的图象与性质第2课时正弦函数、余弦函数的周期性、最值湘教版

数学

必修第一

册课标要求1.理解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求正弦函数、余弦函数的周期,并会应用.3.掌握正弦函数、余弦函数的值域与最值,并能够求简单函数的值域与最值.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点一函数的周期性1.周期函数

条件对于函数y=f(x),如果存在

常数T,使得当x取定义域内每一个值时,x±T都有定义,且

=f(x)

x±T必须在定义域内结论称函数y=f(x)为周期函数,T称为这个函数的一个周期2.最小正周期

条件如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数称为y=f(x)的最小正周期非零f(x±T)名师点睛

2.并不是所有的周期函数都存在最小正周期.例如,对于常数函数f(x)=c(c为常数,x∈R),所有非零实数T都是它的周期,而最小正数是不存在的,所以常数函数没有最小正周期.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)周期函数y=f(x)的定义域可以为[a,b](a,b∈R).(

)(2)所有的函数都有最小正周期.(

)2.若函数y=f(x)是以2为周期的函数,且f(5)=6,则f(1)=

.

×××6解析

由已知得f(x+2)=f(x),所以f(1)=f(3)=f(5)=6.知识点二正弦函数、余弦函数的最值与值域函数y=sinxy=cosx图象

定义域RR值域[-1,1][-1,1]最值当且仅当x=+2kπ(k∈Z)时取得最大值1;当且仅当x=-+2kπ(k∈Z)时取得最小值-1当且仅当x=2kπ(k∈Z)时取得最大值1;当且仅当x=(2k+1)π(k∈Z)时取得最小值-1过关自诊1.函数y=2sinx在区间[0,]上的最大值是

,最小值是

.

2.函数y=2cos2x在x=

时,取得最大值2,在x=

时取得最小值-2.

20kπ(k∈Z)重难探究·能力素养速提升探究点一三角函数的周期问题及简单应用【例1】

求下列三角函数的周期:(1)y=3sinx,x∈R;(2)y=cos2x,x∈R;(4)y=|cosx|,x∈R.解

(1)3sin(x+2π)=3sin

x,由周期函数的定义知,y=3sin

x的周期为2π.(2)cos

2(x+π)=cos(2x+2π)=cos

2x,由周期函数的定义知,y=cos

2x的周期为π.(4)函数y=|cos

x|的图象如图(实线部分)所示,由图象可知,y=|cos

x|的周期为π.规律方法

求函数周期的常用方法求三角函数的周期,一般有两种方法:(1)定义法,由f(x±T)=f(x),求得周期为T;(2)图象法,利用变换的方法或作出函数的图象,通过观察得到周期.变式训练1求函数y=cos|x|的最小正周期.解

因为cos(-x)=cos

x,所以y=cos|x|=cos

x,从而函数y=cos|x|与y=cos

x的图象一样,因此周期相同,为2π.探究点二正弦、余弦函数的最值(值域)1.正、余弦函数的最值的理解【例2】

求函数y=4-cos3x取得最大值、最小值时的自变量x的集合,并分别写出最大值、最小值.解

∵-1≤cos

3x≤1,∴-1≤-cos

3x≤1.∴3≤4-cos

3x≤5.规律方法

形如y=asin

x+b(或y=acos

x+b)的函数的最值或值域问题,利用正弦、余弦函数的取值范围(-1≤sin

x≤1,-1≤cos

x≤1)求解.求三角函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑三角函数的周期性.2.可化为f(sinx)或g(cosx)型的函数求值域(或最大(小)值)【例3】

求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值,并求出函数的最大值和最小值:(1)y=cos2x+2sinx-2;规律方法

形如y=asin2x+bsinx+c,a≠0,x∈R值域的求法求形如y=asin2x+bsin

x+c,a≠0,x∈R的函数的值域或最大(小)值时,可以通过换元,令t=sin

x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最大(小)值,求解过程中要注意正弦函数的取值范围.变式训练2(1)求函数y=3-2sinx取得最大值、最小值时的自变量x的集合,并分别写出最大值、最小值;解

∵-1≤sin

x≤1,∴1≤3-2sin

x≤5.(2)求函数y=2sin2x+2cosx-3的值域;学以致用·随堂检测促达标12341.(多选题)函数f(x)=|sinx|+|cosx|的周期为(

)BCD123412342.函数y=3-sinax(a≠0,x∈R)的值域是(

)A.[-3,3] B.[2,4]C.[-4,3] D.与a的取值有关B解析

因为a≠0,所以-1≤-sin

ax≤1,2