第4章 指数函数与对数函数 章末重难点归纳总结（解析版）-人教版高中数学精讲精练（必修一）

第4章指数函数与对数函数章末重难点归纳总结重点一指数对数的运算【例1】（2022·江苏）化简与求值：(1)(2).(1).(2)【答案】(1);(2).(3)；(4)【解析】（1）原式.（2）原式.（3）；（4）【一隅三反】1．（2022·全国·高一课时练习）计算：(1)；(2)；(3)．(4)；(5)．【答案】(1)0(2)3(3)1(4)7(5)【解析】（1）方法一：（直接运算）原式．方法二：（拆项后运算）原式．（2）原式．（3）原式．（4）原式；（5）原式．2．（2022·湖北）计算下列各式的值：(1)已知，求：．(2)【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，而，所以，所以．（2）原．3．（2022·全国·高一课时练习（理））（1）计算：________；（2）化简：________．【答案】

【解析】（1）．（2）原式．故答案为:，重点二指数函数【例2】（2022·广东·深圳市）已知函数是定义在上的奇函数．(1)求a的值；(2)求函数的值域；(3)当时，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得，当时，，此时，所以时，是奇函数.所以；（2）由（1）可得，因为，可得，所以，所以，所以，所以函数的值域为；（3）由可得，即，可得对于恒成立，令，则，函数在区间单调递增，所以，所以，所以实数m的取值范围为．【一隅三反】1．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）已知函数（且）为定义在上的奇函数.(1)利用单调性的定义证明函数在上单调递增；(2)求不等式的解集.(3)若函数有零点，求实数的取值范围.【答案】(1)证明过程见解析；(2)(3)【解析】（1）由题意得：，解得：，，任取，且，则因为，且，所以，，所以，故所以函数在上单调递增；（2），即，因为为定义在上的奇函数，所以，因为为定义在上单调递增，所以，解得：或，所以解集为：；（3）有零点，当时，，没有零点，不合题意，舍去；当时，即有根，其中当时，，，，故，又因为在R上为奇函数，所以当时，，且，所以在R上的值域为，故，解得：，所以实数的取值范围为.2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数（为常数，，且）的图象经过点，．(1)试确定函数的解析式；(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）因为函数的图象经过点和，可得，结合，且，解得，所以函数的解析式为．（2）要使在区间上恒成立，只需保证函数在区间上的最小值不小于即可，因为函数在区间上单调递减，所以当时，取得最小值，最小值为，所以只需即可，即实数的取值范围为．3．（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求a、b的值；(2)证明f(x)在(-∞，+∞)上为减函数;(3)若对于任意R，不等式恒成立，求k的范围【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3)【解析】（1）由已知，，，，，所以，解得，，此时定义域是R，，为奇函数．所以，；（2）由（1），设任意两个实数，，则，，所以，即，所以是减函数；（3）不等式化为，是奇函数，则有，是减函数，所以，所以恒成立，易知的最小值是，所以．重点三对数函数【例3】（2022·甘肃定西·高一阶段练习）已知函数的图象关于原点对称．(1)求a的值；(2)当时，恒成立，求实数k的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】(1)函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，有，即，即，即解得，当时，不满足题意，∴．(2)由，得，即，令，易知在上单调递减，则的最大值为．又∵当时，恒成立，即在恒成立，且，∴，，即实数k的取值范围为．【一隅三反】1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数．(1)若函数的定义域为，求实数的值；(2)若函数的定义域为，值域为，求实数的值；(3)若函数在上单调递增，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)实数的值为1或(3)【解析】（1）令，则由题意可知1，3为方程的两个根，所以函数的图像的对称轴方程为，即．（2）由题意，对于方程，，即，由函数的值域为，可得当时，，解得或．故实数的值为1或．（3）函数在上单调递增，则在上单调递减．易知函数的图像的对称轴为直线，所以．易知在时取得最小值，当时，有，得，所以实数的取值范围是．2．（2022·全国·高一单元测试）已知函数（且），，．(1)求函数的解析式；(2)请从①，②，③这三个条件中选择一个作为函数的解析式，指出函数的奇偶性，并证明．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】（1）依题意，，，而且，解得，所以函数.（2）选择①，，则有，解得，即的定义域为，又，所以函数是定义在上的奇函数．选择②，，则有，解得，即的定义域为，又，所以函数是定义在上的奇函数．

选择③，，则有，解得，即的定义域为，又，所以函数是定义在上的偶函数．3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的图象关于原点对称，其中为常数．(1)求的值；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；(3)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）因为函数的图象关于原点对称，所以，即，所以恒成立，所以恒成立，即恒成立，即恒成立，所以，解得，又时，无意义，故．（2）因为时，恒成立，所以恒成立，所以在上恒成立，因为是减函数，所以当时，，所以，所以实数的取值范围是．（3）因为在上单调递增，在上单调递减，因为关于的方程在上有解，所以即解得，所以实数的取值范围是．重难点四零点定理【例4-1】（2022·课时练习）函数的一个零点为1，则其另一个零点为______．【答案】【解析】解法一：因为函数的一个零点为1，将代入得，解得．所以．令，解得，，所以函数的另一个零点为．解法二：由函数的一个零点为1，可得方程的一个根为1，根据根与系数的关系可得，所以另一个根为．故函数的另一个零点为．故答案为：.【例4-2】（2022·山东）方程的根所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，显然单调递增，又因为，，由零点存在性定理可知：的零点所在区间为，所以的根所在区间为.故选：B【例4-3】（2022·全国·高一课时练习）函数在区间上的零点个数为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】函数在上零点的个数即方程在上解的个数，方程化简可得，所以方程方程的解的个数为函数与函数的图象交点的个数，其中，在同一坐标系中作出函数与函数的图象如图所示，由图可知在区间上，两函数图象有4个交点，故函数在区间上的零点个数为4，故选：C．【例4-4】（2021·全国·高一期末）已知函数（），若函数有三个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】有三个零点与的图象有三个交点.因为，所以当时，，得或，所以与的图象有两个交点，则当时，与的图象有1个交点.当时，令，得，所以符合题意；令，得，所以符合题意.综上，实数的取值范围是.故选：A.【一隅三反】1．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为为上的单调递增函数，所以为上的单调递增函数，因为，，，由零点存在定理，上必有唯一零点.故选：B．2．（2022·江苏·金沙中学高一阶段练习）函数在区间上的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，

令，得，，，，在上的零点为故选：B3．（2022·北京大兴·高一期末）若函数恰有个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为时至多有一个零点，单调函数至多一个零点，而函数恰有个零点，所以需满足有1个零点，有1个零点，所以，解得，故选：D4．（2021·广西·上林县中学高一期末）已知函数，若函数无零点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，则的解为：，由题意可知：无解，又，即，又，即，解得：．故选：A.5．（2022·全国·高一课时练习）函数的零点个数为________．【答案】1【解析】解法一：令，可得方程，即，故原函数的零点个数即为函数与图象的交点个数．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．由图可知，函数与的图象只有一个交点，故函数只有