4.4 对数函数（精练）（解析版）-人教版高中数学精讲精练（必修一）

4.4对数函数（精练）1对数函数的辨析1．（2022安徽）下列函数是对数函数的是（

）A．y＝lnx B．y＝ln(x＋1)C．y＝logxe D．y＝logxx【答案】A【解析】A是对数函数，B中真数是，不是，不是对数函数，C中底数不是常数，不是对数函数，D中底数不是常数，不是对数函数．故选：A．2．（2021·全国·高一专题练习）下列函数表达式中，是对数函数的有（

）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】B【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义.故选：B3．（2022福建）给出下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．其中是对数函数的是______．（将符合的序号全填上）【答案】（1）（2）（3）【解析】（4）的系数不是1，（5）的真数不是x，（6）的真数不是x．故答案为：（1）（2）（3）．4．（2022广西）已知下列函数：①y＝log(－x)(x＜0)；②y＝2log4(x－1)(x＞1)；③y＝lnx(x＞0)；④，(x＞0，a是常数)．其中为对数函数的是________(只填序号)．【答案】③【解析】由对数函数的定义知，①②不是对数函数；对于③，lnx的系数为1，自变量是x，故③是对数函数；对于④，底数，当时，底数小于0，故④不是对数函数．故答案为：③5．（2022·全国·高一课时练习）已知对数函数，则______．【答案】2【解析】由对数函数的定义，可得，解得．故答案为．6．（2022·山东）若函数y＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，则a的值为______．【答案】2【解析】由对数函数的定义结合题意可知：，据此可得：.2对数函数的三要素1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】法一：由题意得，解得且，∴函数的定义域为．法二：由题意得，当时，函数无意义，排除A，C；当时，函数有意义，排除B．故选：D．2．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一阶段练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，函数有意义，则满足，解得，所以函数的定义域为.故选：B.3．（2022·陕西省安康中学高一期末）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得当时，所以的值域为，设时，的值域为，则由的值域为R可得，∴，解得，即．故选：D4．（2021·新疆·石河子第二中学高一阶段练习）已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B．或C．或 D．【答案】B【解析】因为函数的值域为R，所以取得一切正数，即方程有实数解，得，解得或；又函数在上是增函数，所以函数在上是减函数，且在上恒成立，则，解得，综上，实数a的取值范围为或.故选：B5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是___．【答案】【解析】∵函数的定义域是R，∴+ax＞0对于任意实数x恒成立，即ax＞对于任意实数x恒成立，当x＝0时，上式化为0＞﹣1，此式对任意实数a都成立；当x＞0时，则a＞＝，∵x＞0，∴，则≥，则≤，可得a＞；当x＜0时，则a＜，∵x＜0，∴，则＞1，则＞1，可得a≤1．综上可得，实数a的取值范围是．故答案为：．6．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域是________.【答案】【解析】令，则，因为，所以的值域为，因为在是减函数，所以，所以的值域为，故答案为：7．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）函数的值域是________．【答案】【解析】，而在定义域上递减，，无最小值，函数的值域为．故答案为：.8．（2022·江苏）已知函数在上恒正，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】①当时，，此时定义域为，不合题意；②当时，令，其对称轴为，在上单调递减，在上单调递减，，即，解得：（舍）；③当时，令，其对称轴为；⑴若，即时，在上单调递增，在上单调递增，，即，解得：；⑵若，即时，在上单调递减，在上单调递减，，即，解得：（舍）；⑶若，即时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，即，解得：（舍）；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：.9．（2022·全国·高一阶段练习）函数的值域为，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】由题可知，函数的值域为，令，由题意可知为函数的值域的子集.①当时，，此时，函数的值域为，合乎题意；②当时，若为函数的值域的子集，则，解得.综上所述，实数的取值范围是．故答案为：．3对数函数的单调性1．（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题知的定义域为，令，则，函数单调递增，当时，关于单调递减，关于单调递减，当时，关于单调递增，关于单调递增，故的递增区间为．故选：D．2.（2021·全国高一课时练习）函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，而对数函数在上是减函数，在上是增函数，所以函数单调递增区间为．故选：C3（2022·新疆维吾尔自治区）函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．【解析】D【解析】对于函数，有，解得或，故函数的定义域为，内层函数在上单调递减，在上单调递增，外层函数为减函数，由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为.故选：D.4.（2021·全国高一专题练习）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】函数是由与复合而成，①当时，因为为减函数，且函数在区间上单调递增，所以在上单调递减，结合的图像可得，解得②当时，因为为增函数，且函数在区间上单调递增，所以在上单调递增，又因为此时，结合的图像可知此时符合题意综上所述：实数a的取值范围为或.故选：C5．（2022广东）已知函数（，且）在上是减函数，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】令，则，因为，所以递减，由题意知在内递增，所以．又在上恒大于0，所以，即．综上，实数a的取值范围是：．故答案为：.4对数函数单调性的运用1．（2022·内蒙古）若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】,,,故，故选：B2．（2022·云南·昭通市第一中学高一阶段练习）已知函数，设，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】可知在上单调递增，上单调递减，且图像关于对称，而可得故选：A3．（2022·湖南·娄底市第四中学高一阶段练习）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，故.故选：A4．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以故选：A5．（2022·江苏省仪征中学高一开学考试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，所以．故选：．5对数函数的定点1．（2022·四川成都·高一开学考试）函数（，且）恒过定点（3，2），则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】由题意，函数，当时，即时，可得，即函数恒经过点，又因为恒经过点，可得，解得，所以.故选：C.2．（2022·全国·高一课时练习）函数(且)的图象恒过定点_________【答案】【解析】因为函数(且)，令，解得，所以，即函数恒过点；故答案为：3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数且的图象经过定点，若幂函数的图象也经过该点，则_______________________．【答案】【解析】因为，所以，设幂函数，因为幂函数的图象经过，所以，因此，故答案为：4．（2021·江苏·高一专题练习）函数（且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则__________．【答案】【解析】对于函数，令，解得，此时，因此函数的图象恒过定点,设幂函数，在幂函数的图象上，，解得．．故答案为：5．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一开学考试）函数的图象一定过定点__________.【答案】【解析】令，则所以所以过定点故答案为：6．（2022·四川·广安二中高一期中）已知函数（，且），则函数恒过定点______．【答案】【解析】由题意，函数（且），令，即时，，所以函数恒过定点.故答案为：.7（2022·全国·高一课时练习）函数（且）恒过定点，则______．【答案】【解析】由题意，函数恒过定点，可得，解得，所以.故答案为：.8．（2022·河南开封·高一期末）已知函数（且）的图象过定点，则点的坐标为______．【答案】【解析】令，得，又．因此，定点的坐标为．故答案为：6反函数1．（2021·辽宁·大连市一0三中学高一期中）若函数的反函数为，则____________.【答案】【解析】由，则其反函数的解析式为，故.故答案为：2．（2022·辽宁鞍山·高一期末）函数的反函数为___________【答案】【解析】由，可得由，则，所以故答案为：.3．（2021·全国·高一专题练习）函数（）的反函数是___________.【答案】f−1(x)=−2x−1x≥0【解析】由可得，即，因为，所以，交换和可得，因为，所以其反函数的定义域为，所以函数（）的反函数是，故答案为：.7对数函数的图像1．（2022·广东汕尾·高一期末）当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】的定义域为，故AD错误；BC中，又因为，所以，故C错误，B正确.故选：B2．（2022·全国·高一课时练习）函数与的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函数为上的减函数，排除AB选项，函数的定义域为，内层函数为减函数，外层函数为增函数，故函数为上的减函数，排除D选项.故选：C.3．（2022·全国·高一课时练习）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，的定义域为，，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除CD选项.，排除B选项.所以A选项正确.故选：A4．（2022·四川省绵阳南山中学高一开学考试）函数与函数且的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函数f(x)单调递增，且过定点(0，1＋a)，当0＜a＜1时，1＜1＋a＜2，即f(x)与y轴交点纵坐标介于1和2之间，此时过定点(1，0)且在(0，＋∞)单调递减，没有符合的选项；当a＞1时，1＋a＞2，即f(x)与y轴交点纵坐标大于2，此时g(x)过定点(1，0)且在(0，＋∞)单调递增，符合的选项为B.故选：B.5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（

）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1【答案】D【解析】由图可知，的图象是由的图象向左平移c个单位而得到的，其中，由题可知函数单调递减，故．故选：D．6．（2022·上海长宁·高一期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，．由对数图象知，此时直线的纵截距，保持一致，．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，故选：．8对数函数的综合运用1．（2022·全国·高一课时练习）（多选）关于函数，下列说法正确的是（

）A．定义域为（－1，4） B．最大值为2C．最小值为－2 D．单调递增区间为【答案】ACD【解析】令，得，即函数的定义域为，故A正确；∵，∴，∴，故B错误，C正确；令，则其在，上单调递增，在上单调递减，又在（0，＋∞）上单调递减，由复合函数的单调性得的单调递增区间为，故D正确．故选：ACD．2．（2022·全国·高一单元测试）（多选）已知函数，下列结论中正确的是（

）A．当时，的定义域为B．一定有最小值C．当时，的值域为RD．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是【答案】AC【解析】对于A，当时，，令，解得或，则的定义域为，故A正确；对于B、C，当时，的值域为R，无最小值，故B错误，C正确；对于D，若在区间上单调递增，则在上单调递增，且当时，，则，解得，故D错误．故选：AC．3．（2022·湖北·宜昌市一中高一阶段练习）关于函数，其中，有如下说法，其中正确的是（

）A．当时，函数有最大值B．当时，函数的定义域为RC．当时，函数的值域为RD．当时，函数在上单调递增【答案】ABC【解析】A.当时，函数，因为，则，