任意角(第一课时)教学设计 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册+

5.1.1任意角（第一课时）教学内容分析：本节是高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册的第五章“三角函数”的第一节“三角函数的概念”。这节课学生需要理解角的概念的推广，掌握任意角的概念以及与已有知识的关系，包括象限角、非象限角、零角、正角、负角等概念。能够判断任意角所在的象限，能够判断任意角的正负，能够将已有知识与本节课的内容相结合，能够将数学知识与实际生活相结合。学情分析：学生过去接触的角都在之间，关于角的认识形成一定的思维定势，这就需要通过实际问题，如时针与分针、体操等都能形成角的概念,给学生以直观的印象,形成正角、负角、零角的概念,明确规定角的概念，通过具体问题让学生从不同角度理解终边相同的角,从特殊到一般归纳出终边相同的角的表示方法。教学目标：1、了解任意角的概念，区分正角、负角与零角，培养直观想象的核心素养；2、理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合，提升数学抽象的核心素养；3、了解象限角的概念，强化数学抽象的核心素养。教学重点：将之间的角扩充到任意角；终边相同的角的集合表示。教学难点：任意角概念的建构，用集合表示终边相同的角。教学过程：一、引言现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性.例如:地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化，这些现象都可以用三角函数刻画。本章我们将学习刻画周期性变化规律的三角函数。二、温故知新、情景导入初中是怎么定义角的？范围是多少？有哪些分类？播放2012年伦敦奥运会体操男子自由操邹凯决赛视屏。思考：（1）视频中出现了哪些角？（2）你认为刻画这些角的关键是什么？（3）0°~360°的角度已经不在适用，需要进行扩充（像数系的扩充一样）三、新课讲解（一）、任意角1、定义：由平面的一条射线，绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形。规定：按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角，未作任何旋转形成的角为零角。注意：负号只表示方向，不表示大小钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转；为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记作“α”。请同学们在纸上画出下列各角，225°,-120°，-660°。2、角的加减法(1)等角：若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β。(2)两角相加：设α、β是两个任意角，把角α的角终边旋转β，这时终边所对应的角是α+β。(3)相反角：把射线OA绕端点O按照不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角。角α的相反角记为-α(4)角的减法：像实数减法的"减去一个数等于加上这个数的相反数"一样，把角的减法转化为角的加法α-β=α+(-β)。（二）象限角思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？象限角的概念：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角思考2:那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，-450°分别是第几象限的角？思考3：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？例1在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判断它是第几象限角.解：－950°12′=129°48′－3×360°，所以在0°～360°范围内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角.思考：锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题。终边相同的角的集合观察：同一直角坐标系下的终边。问题1：给定一个角，就有唯一的终边与之对应吗？问题2：给定任一终边，其对应的角是否唯一？终边相同的角相差整数圈思考1：所有与45°角终边相同的角，连同45°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？思考2：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？小结：任意与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。例1、写出与角终边相同的角集合S，并把S中适合不等式的元素写出来.常见的终边象限相同的角的集合：终边在第一象限角：终边在第二象限角：终边在第三象限角：终边在第四象限角：或者思考3：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？x轴正半轴：α=k·360°，k∈Z；x轴负半轴：α=180°＋k·360°，k∈Z；y轴正半轴：α=90°＋k·360°，k∈Z；y轴负半轴：α=270°＋k·360°，k∈Z例2写出终边在y轴上的角的集合解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角（如图）因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k·360°.k∈Z}.而所有与270°角终边相同的角构成集合S2={β|β=270°+k·360°.k∈Z}于是，终边在y轴上的角的集合S=S1∪S2={β|β=90°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=90°+180°+2k·180°，k∈Z}={β|β=90°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=90°+（2k+1）180°，k∈Z}={β|β=90°+k·180°，k∈Z}常见的终边相同的角的集合：终边在直线y=-x上的角的集合：终边在直线y=x上的角的集合：终边在x轴上的角的集合：终边在已y轴上的角的集合：例3、写出终边在直线y=x上的角的集合S.S中满足不等式－360°≤β<720°的元素β有哪些？解：S={β|β=45°+k∙180°,k∈Z}.令k=－2,