基本计数原理的简单应用导学案 高二上学期北师大版（2019）选择性必修第一册

1.3基本计数原理的简单应用【学习目标】1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别.2.会正确应用这两个计数原理计数.◆知识点两个计数原理的联系与区别分类加法计数原理分步乘法计数原理联系都是解决求完成一件事不同的问题,都是对复杂事件的

区别完成一件事情,共有n类方法,关键是“分类”完成一件事情,共有n个步骤,关键是“分步”各类方法相互独立各个步骤中的方法相互依存任何一类方法这件事

各个步骤都完成这件事

可利用“”电路来理解

可利用“”电路来理解

【诊断分析】如何区分一个问题是“分类”还是“分步”?◆探究点一分配问题例1若甲、乙、丙三名学生计划利用寒假从丽江、大理、西双版纳、腾冲中任选一处景点旅游,每人彼此独立地选景点游玩,且丽江必须有人去,则不同的选择方法有 ()A.16种 B.18种C.37种 D.40种变式有8名男生和3名女生,从中选出4人分别担任语文、数学、英语、物理学科的课代表,若某女生必须担任语文课代表,则不同的选法共有种.(用数字作答)

[素养小结]解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法计算抽取方法数.(2)当涉及对象数目较大时,一般有两种方法:①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理计算抽取方法数.一般地,若按顺序抽取,则分步进行;若按对象特征抽取,则分类进行.②间接法:去掉限制条件计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.拓展某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人,有种不同的选法.

◆探究点二数字问题例2已知一个三位数中的数字从0,1,2,3,4中任意选取.(1)如果三位数中的数字不允许重复使用,那么能得到多少个三位数?(2)如果三位数中的数字允许重复使用,那么能得到多少个三位数?变式由0,1,2,3,4这5个数组成无重复数字的五位数且为偶数,则满足题意的五位数的个数为 ()A.24 B.48C.60 D.62[素养小结]解决数字问题的方法(1)对于组成数字的问题,一般按特殊位置(通常是末位或首位)优先的方法分类或分步完成.如果正面分类较多,可采用间接法从反面求解.(2)解决组成数字的问题时,应特别注意其限制条件,有些条件是隐藏的,要善于挖掘.[提醒]数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.◆探究点三涂色问题例3春节期间,某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛,花坛分为5个区域.现有5种不同的花卉可供选择,要求相邻区域不能布置相同的花卉,且每个区域只布置一种花卉,则不同的布置方案有 ()A.120种 B.240种C.420种 D.720种变式如图,用6种不同的颜色给图中A,B,C,D四块区域涂色,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂色方法共有种.

[素养小结]求解涂色(种植)问题一般直接利用两个计数原理,常用思路有:(1)按区域的不同以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理求解;(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”问题,用分类加法计数原理求解;(3)对于空间中的涂色问题,可将空间问题平面化,转化为平面区域涂色问题求解.拓展如图,将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色,并使同一条棱上的两个端点异色,如果只有4种颜色可供使用,则不同的染色方法有种.

1.3基本计数原理的简单应用【课前预习】知识点方法种数分解都可做完才能做完并联串联诊断分析解:若完成一件事,可以分几种情况,每种情况中任何一种方法都能完成这件事,则是分类;若从其中一种情况中任取一种方法只能完成这件事的一部分,且只有依次完成各种情况,才能完成这件事,则是分步.【课中探究】例1C[解析]方法一(直接法):满足题意的不同的选择方法有以下三类:三个人中只有一个人去丽江,有3×32=27(种)选择方法;三个人中有两个人去丽江,有3×3=9(种)选择方法;三个人都去丽江,有1种选择方法.综上,共有27+9+1=37(种)不同的选择方法.方法二(排除法):三个人去四个景点,有43=64(种)选择方法,没有人去丽江,有33=27(种)选择方法.综上,共有64-27=37(种)不同的选择方法.故选C.变式720[解析]若某女生必须担任语文课代表,则再从剩下的10人中选3人分别担任数学、英语、物理学科的课代表,有10×9×8=720(种)选法,根据分步乘法计数原理可得,共有1×720=720(种)选法.拓展20[解析]由题意知,有1人既会英语又会日语,有6人只会英语,有2人只会日语,从9人中选出会英语和日语的各一人,共分三类:第一类,当选出的会英语的人既会英语又会日语时,再选会日语的人,有2种选法;第二类,当选出的会日语的人既会英语又会日语时,再选会英语的人,有6种选法;第三类,当既会英语又会日语的人不参与选择时,则需从只会日语和只会英语的人中各选一人,有2×6=12(种)选法.故共有2+6+12=20(种)选法.例2解:(1)三位数先考虑百位,共4种不同选择,再考虑十位,共4种不同选择,最后考虑个位,共3种不同选择,故能得到4×4×3=48(个)不同的三位数.(2)三位数先考虑百位,共4种不同选择,再考虑十位,共5种不同选择,最后考虑个位,共5种不同选择,故能得到4×5×5=100(个)不同的三位数.变式C[解析]由题意,分两种情况:若个位为0,则共有4×3×2×1=24(个)五位数;若个位为2或4,则首位有3种选择,共有2×3×3×2×1=36(个)五位数.则共有24+36=60(个)五位数,故选C.例3C[解析]如图,先在A中种植,有5种不同的选择,再在B中种植,有4种不同的选择,再在C中种植,有3种不同的选择,再在D中种植,若D与B种植同一种花卉,则E有3种不同的选择,若D与B种植不同花卉,则D有2种不同的选择,E有2种不同的选择,故不同的布置方案有5×4×3×(3+2×2)=420(种).故选C.变式480[解析]从A开始涂色,A有6种涂色方法,B有5种涂色方法,C有4种涂色方法.由D与B,C不同色,与A可以同色也可以不同色,可知D有4种涂色方法.故共有6×5×4×4=480(种)涂色方法.拓展72[解析]分两种情况,即C,A同色与C,A不同色来讨论.①C,A同色:P的染色方