人教A版（2019）选择性必修第三册《第七章 随机变量及其分布》2024年单元测试卷

人教A版（2019）选择性必修第三册《第七章随机变量及其分布》2024年单元测试卷一、选择题1．（5分）设X是一个离散型随机变量，其分布列为X﹣101Pq2则q的值为（）A．﹣1 B． C．1 D．2．（5分）已知随机变量X的概率分布为，其中a＝（）A．1 B． C． D．23．（5分）已知盒中装有3只荧光灯管与7只LED灯管，这些灯管的外形都相同，现需要一只LED灯管，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是荧光灯管的条件下，第2次抽到的是LED灯管的概率为（）A． B． C． D．4．（5分）若X是离散型随机变量，P（X＝a）＝，P（X＝b）＝，且a＜b，又已知E（X）＝，D（X）＝，则a+b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过，已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X期望是（）A．3 B． C．2 D．6．（5分）某地有甲、乙、丙、丁四人先后染上了病毒性流感，其中只有甲一人去过疫区，他是传染的源头．第二个发病的乙确认是受甲传染的，第三个发病的丙假定受到甲和乙传染的概率都是；同理，对于第四个发病的丁，也假定他受另外三人传染的概率都是．在以上假定之下，直接受甲传染的人数X就是一个随机变量，则X的均值为（）A．3 B． C． D．27．（5分）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望Eξ为（）A． B． C． D．8．（5分）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是X0a1P则当a在（0，1）内增大时，（）A．D（X）增大 B．D（X）减小 C．D（X）先增大后减小 D．D（X）先减小后增大二、多选题（多选）9．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（μ﹣2＜ξ≤μ）＝0.241，则下列结论不正确的是（）A．P（ξ＞μ+2）＝0.518 B．P（ξ＞μ+2）＝0.259 C．P（μ＜ξ＜μ+2）＝0.241 D．P（μ＜ξ＜μ+2）＝0.759（多选）10．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，若D（X）＝2.4，则p的值为（）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3三、填空题11．（5分）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P（A）为，P（B|A）为．12．（5分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率为．13．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（4，1），且P（x＞5）＝0.1587，则P（3＜x＜4）＝．四、解答题14．（10分）有两个罐子，在第一罐中放有6个红球、2个绿球和4个黄球，在第二个罐中放有5个红球、4个绿球和3个黄球．从第一个罐中随机取出1个球放入第二个罐中，再从第二个罐中随机取出1个球，试求从第二个罐中随机取出的球为红球的概率．15．（12分）现有来自三个班级的考生报名表（一人一表），分装3袋．第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和3名女生的报名表，第三袋有5名男生和5名女生的报名表．随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率．16．（12分）甲、乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得﹣1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢机器人的概率为0.7，乙赢机器人的概率为0.6．求：（1）在一轮比赛中，甲的得分ξ的分布列；（2）在两轮比赛中，甲的得分η的期望和方差．17．（12分）从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示频率分布直方图．（Ⅰ）估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg的概率；（Ⅱ）假设该市高一学生的体重X服从正态分布N（57，a2）．（ⅰ）利用（Ⅰ）的结论估计该高一某个学生体重介于54～57kg之间的概率；（ⅱ）从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于54～57kg之间的人数为Y，利用（ⅰ）的结论，求Y的分布列及E（Y）．18．（12分）为了减少尾气排放，保护大气质量，某市政府鼓励民众低碳出行．为了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各200名员工11月15日到11月24日共10天的低碳出行的人数，并各自按从小到大排好序，如表所示：甲105107113115119126x132134141乙107115117118123125132136139144（1）若甲单位数据的平均数是122，求x；（2）现从图中的数据中任取4天的数据（甲、乙两个单位中各取2天），记抽取的4天中甲乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1，ξ2，令η＝ξ1+ξ2，求η的分布列．

人教A版（2019）选择性必修第三册《第七章随机变量及其分布》2024年单元测试卷参考答案与试题解析一、选择题1．【分析】根据离散型概率分布列的性质计算即可．【解答】解：根据离散型概率分布列的性质可知，＝1，解得q＝．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型概率分布列的性质的应用，解题时要认真审题，是基础题．2．【分析】由题意，结合所给信息以及随机变量分布列的性质，列出等式求解即可．【解答】解：已知随机变量X的概率分布为，可得P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝，因为P（X＝1）+P（X＝2）+P（X＝3）+P（X＝4）＝1，所以+++＝1，解得a＝．故选：B．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列及其性质，考查了逻辑推理和运算能力．3．【分析】利用条件概率的概率公式求解．【解答】解：设事件A为“第1次抽到的是荧光灯管”，事件B为“第2次抽到的是LED灯管”，则P（A）＝，P（AB）＝＝，所以P（B|A）＝＝＝，故选：D．【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．4．【分析】由已知条件利用离散型随机变量的数学期望和方差的性质，列出方程组，由此能求出a+b．【解答】解：∵P（X＝a）＝，P（X＝b）＝，且a＜b，E（X）＝，D（X）＝，∴，解得a＝0，b＝1，∴a+b＝1．故选：A．【点评】本题考查代数式化简求和，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列和数学期望的求法．5．【分析】由已知求出在一轮投篮中，甲通过的概率为，通不过的概率为，且甲3个轮次通过的次数X的取值分别为0，1，2，3，再由独立重复试验求得概率，列出分布列，代入期望公式求得甲3个轮次通过的次数X期望．【解答】解：在一轮投篮中，甲通过的概率为P＝，通不过的概率为．由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的取值分别为0，1，2，3，则P（X＝0）＝；P（X＝1）＝；P（X＝2）＝；P（X＝3）＝1﹣P（X＝0）﹣P（X＝1）﹣P（X＝2）＝．∴随机变量X的分布列为：X0123P数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝，或由二项分布的期望公式可得E（X）＝3×．故选：B．【点评】本题考查相互独立事件的概率及独立重复试验，考查离散型随机变量的期望与方差，是中档题．6．【分析】根据题意，分析四个人的传染情形，X＝1表示A传染B，没有传染给C、D，X＝2表示A传染给B、C，没有传染给D，或A传染给B、D，没有传染给C，X＝3表示A传染给B、C、D，对应求出概率，计算期望即可．【解答】解：由题意分析得X可取的值为1、2、3，用“X＝k”（k＝1，2，3）表示被A直接感染的人数，四个人的传染情形共有6种：A→B→C→D，每种情况发生的可能性都相等，所以A传染1人有两种情况，传染2人有三种情况，传染3人有一种情况．X＝1表示A传染B，没有传染给C、D，X＝2表示A传染给B、C，没有传染给D，或A传染给B、D，没有传染给C，X＝3表示A传染给B、C、D．于是有P（X＝1）＝1×＝，P（X＝2）＝1×，P（X＝3）＝1×＝，故E（X）＝1×＝．故选：C．【点评】本题考查离散型随机变量的期望，属于基础题．7．【分析】由题意比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，所以随机变量ξ的所有可能的取值为2，4，6，利用随机变量的定义及独立事件同时发生的概率公式求出每一个随机变量取值时对应的随机事件的概率，再由离散型随机变量的期望公式．【解答】解：依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有，，，故．故选：B．【点评】此题考查学生对于题意的准确理解，以及对于随机变量的定义的理解及独立事件及其公式的准确理解及应用，此外还考查了期望的定义．8．【分析】方差公式结合二次函数的单调性可得结果【解答】解：E（X）＝0×+a×+1×＝，D（X）＝（）2×+（a﹣）2×+（1﹣）2×＝[（a+1）2+（2a﹣1）2+（a﹣2）2]＝（a2﹣a+1）＝（a﹣）2+∵0＜a＜1，∴D（X）先减小后增大故选：D．【点评】本题考查方差的求法，利用二次函数的单调性是关键，考查推理能力与计算能力，是中档题．二、多选题9．【分析】直接根据正态分布曲线的特点及对称性即可求解结论．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），P（μ﹣2＜ξ≤μ）＝0.241，对称轴为x＝μ，∴P（ξ＞μ）＝P（ξ＜μ）＝，p（μ＜ξ＜μ+2）＝P（μ﹣2＜ξ≤μ）＝0.241，P（ξ＞μ+2）＝P（ξ＞μ）﹣p（μ＜ξ＜μ+2）＝﹣0.241＝0.259，故选：BC．【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．属于基础题．10．【分析】X～B（10，p），D（X）＝2.4，从而D（X）＝10p（1﹣p）＝2.4，由此能求出结果．【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，则X～B（10，p），∵D（X）＝2.4，∴D（X）＝10p（1﹣p）＝2.4，整理得25p2﹣25p+6＝0，解得p＝0.6或p＝0.4．故选：BC．【点评】本题考查概率的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、填空题11．【分析】分别求出事件A，B的情况数，根据条件概率公式计算即可．【解答】解：因为事件A取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有（1，3），（1，5），（3，5），（2，4），所以P（A）＝．因为事件B“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），所以P（AB）＝，所以P（B|A）＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．12．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4名男生和2名女生中任选3人，满足条件的事件是3人中至少有1名女生，没有女生，用组合数写出事件数，得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4名男生和2名女生中任选3人，共有＝20种结果，满足条件的事件是3人中不超过1名女生，包括有1个女生，没有女生，共有+＝16种结果，根据等可能事件的概率公式得到P＝＝．故答案为：【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．13．【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（4，1），∴正态分布的对称轴x＝4，∵P（x＞5）＝0.1587，∴P（3＜x＜4）＝＝0.3413．故答案为：0.3413．【点评】本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．四、解答题14．【分析】利用全概率公式求解即可．【解答】解：从第二个罐中随机取出的球为红球包含三种情况：①从第一个罐中取出红球，则P1＝×＝，②从第一个罐中取出绿球，则P2＝×＝，③从第一个罐中取出黄球，则P3＝×＝，∴从第二个罐中随机取出的球为红球的概率为++＝．【点评】本题考查全概率公式的运用，属于基础题．15．【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算作答．【解答】解：记Ai＝“抽到第i袋”，i∈{1，2，3}，B＝“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各1份”，则，，所以．【点评】本题考查条件概率公式与全概率公式的应用，属中档题．16．【分析】（1）根据已知条件可得ξ的可能取值为﹣1，0，1，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可求得分布列．（2）根据已知条件可得η的可能取值为﹣2，﹣1，0，1，2，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可求得分布列及数学期望和方差．【解答】解：（1）由题意可知ξ＝﹣1，0，1，又P（ξ＝﹣1）＝0.3×0.6＝0.18，P（ξ＝0）＝0.7×0.6+0.3×0.4＝0.54，P（ξ＝1）＝0.7×0.4＝0.28，∴分ξ的分布列为：ξ﹣101P0.180.540.28（2）由题意可知η＝﹣2，﹣1，0，1，2，又P（η＝﹣2）＝0.18×0.18＝0.0324，P（η＝﹣1）＝2×0.18×0.54＝0.1944，P（η＝0）＝2×0.18×0.28+0.54×0.54＝0.3924，P（η＝1）＝2×0.54×0.28＝0.3024，P（η＝2）＝0.28×0.28＝0.0784，∴η的分布列为：η﹣2﹣1012P0.03240.19440.39240.30240.0784∴E（η）＝（﹣2）×0.0324+（﹣1）×0.1944+1×0.3024+2×0.0784＝0.2，∴D（η）＝（﹣2﹣0.2）2×0.0324+（﹣1﹣0.2）2×0.1944+（0﹣0.2）2×0.3924+（1﹣0.2）2×0.3024+（2﹣0.2）2×0.0784＝0.9．【点评】本题考查离散型