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II卷非选择题(90分)填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知直线:,:,且,则k的值______.14.不等式在区间上的解集为__________.15.已知直线与双曲线的一条渐近线交于点,双曲线的左、右顶点分别为,,若,则双曲线的离心率为_____.16.已知函数()为奇函数,,若函数与图像的交点为,,…,,则=________.三、解答题三.解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必需作答。第22、23题为选考题,考生依据要求作答。(一)必考题:共60分17.(12分)的内角的对边分别为,已知.(1)求的大小;(2)若,求面积的最大值.18.(12分)2024年春季,某出租汽车公司确定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车,现有选购 成本分别为万元/辆和万元/辆的两款车型,依据以往这两种出租车车型的数据,得到两款出租车车型运用寿命频数表如下:(1)填写下表,并推断是否有的把握认为出租车的运用寿命年数与汽车车型有关?(2)从和的车型中各随机抽取车,以表示这车中运用寿命不低于年的车数,求的分布列和数学期望;(3)依据公司要求,选购 成本由出租公司负责,平均每辆出租车每年上交公司万元,其余修理和保险等费用自理.假设每辆出租车的运用寿命都是整数年,用频率估计每辆出租车运用寿命的概率,分别以这辆出租车所产生的平均利润作为决策依据,假如你是该公司的负责人,会选择选购 哪款车型?附:,.0.0500.0100.0013.8416.63510.828(12分)如图,在三棱柱中,平面,分别为的中点,,.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值;20.(12分)已知定点S(-2,0),T(2,0),动点P为平面上一个动点,且直线SP、TP的斜率之积为.(1)求动点P的轨迹E的方程;(2)设点B为轨迹E与y轴正半轴的交点,是否存在直线l,使得l交轨迹E于M,N两点,且F(1,0)恰是△BMN的垂心?若存在,求l的方程;若不存在,说明理由.21.(12分)已知函数,.(1)求的极值;(2)若方程有三个解,求实数的取值范围.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做,则按所做的第一题计分。22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的方程为y=kx.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系;(1)求曲线C的极坐标方程;(2)曲线C与直线l交于A、B两点,若,求k的值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知,且.(1)求证:;(2)当时,不等式恒成立,求的取值范围.
理科数学参考答案1.C 2.C 3.B 4.C 5.D 6.C 7.C 8.C 9.C 10.B 11.B 12.C13. 14. 15.或 16.3m17.(1)由正弦定理得:,又,即由得:(2)由余弦定理得:又(当且仅当时取等号)即三角形面积的最大值为:18.(1)填表如下:运用寿命不高于年运用寿命不低于年总计型3070100型5050100总计80120200由列联表可知,故有的把握认为出租车的运用寿命年数与汽车车型有关.(2)由题意可知,型车运用寿命不低于年的车数占,低于年的车数占;型车运用寿命不低于年的车数占,低于年的车数占.且可能的取值为.,,,的分布列为:012其数学期望.(3)用频率估计概率,这辆款出租车的平均利润为:(万元),这辆款出租车的平均利润为:(万元),故会选择选购 款车型.19.解:(1)在三棱柱中,平面,四边形为矩形.又分别为的中点,又,平面,平面平面.(2)由(1)知,由平面,平面.如图建立空间直角坐称系.由题意得设平面的法向量为,,,令,则,平面的法向量,又平面的法向量为,.所以二面角的余弦值为.20.(1)设,由已知有,整理得动点P的轨迹E的方程为(2)由(1)知,的方程为,所以又,所以直线的斜率,假设存在直线,使得是的垂心,则.设的斜率为,则,所以.设的方程为,.由,得,由,得,.因为,所以,因为,所以,即,整理得,所以,整理得,解得或,当时,直线过点,不能构成三角形,舍去;当时,满意,所以存在直线:,使得是的垂心.21.(1)的定义域为,,当时,在上递减,在上递增,所以在处取得微小值,当时,,所以无极值,当时,在上递增,在上递减,所以在处取得极大值.(2)设,即,.①若,则当时,,单调递减,当时,,单调递增,至多有两个零点.②若,则,(仅).单调递增,至多有一个零点.③若,则,当或时,,单调递增;当时,,单调递减,要使有三个零点,必需有成立.由,得,这与冲突,所以不行能有三个零点.④若,则.当或时,,单调递增;当时,,单调递减,要使有三个零点,必需有成立,由,得,由及,得,.并且,当时,,,,.综上,使有三个零点的的取值范围为.22.(1),所以曲线的极坐标方程为.(2)设直线的极坐标方程为,其中为直线的倾斜角,代入
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