2024高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件学案文

PAGEPAGE7第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题．其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qeq\o(⇒,\s\up0(/))pp是q的必要不充分条件peq\o(⇒,\s\up0(/))q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件peq\o(⇒,\s\up0(/))q且qeq\o(⇒,\s\up0(/))p常用结论1．充要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则﹁q是﹁p的充分不必要条件．2．一些常见词语及其否定词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于一、思索辨析推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(5)q不是p的必要条件时，“peq\o(⇒,\s\up0(/))q”成立．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、易错纠偏常见误区|(1)命题的条件与结论不明确；(2)含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的状况；(3)对充分必要条件推断错误．1．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠02．已知命题“对随意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．答案：对随意a，b∈R，若ab≤0，则a≤03．已知p：a<0，q：a2>a，则﹁p是﹁q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：﹁p：a≥0；﹁q：a2≤a，即0≤a≤1，故﹁p是﹁q的必要不充分条件．答案：必要不充分四种命题的相互关系及真假推断(自主练透)1．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：选D．命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的学问，可知其逆否命题是“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．2．有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是()A．①② B．②③C．④ D．①②③解析：选D．①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．3．已知集合P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝k＋\f(1,2)，k∈Z))，Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,2)，k∈Z))，记原命题：“x∈P，则x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．4解析：选C．因为P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝k＋\f(1,2)，k∈Z))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(2k＋1,2)，k∈Z))，Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,2)，k∈Z))，所以PQ，所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题，则原命题的逆否命题也为真命题．原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.eq\a\vs4\al()(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．[提示]四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)推断命题真假的2种方法①干脆推断：推断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；②间接推断：当一个命题干脆推断不易进行时，可转化为推断其等价命题的真假．充分条件、必要条件的推断(师生共研)(1)(2024·高考天津卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)已知p：x＝2，q：x－2＝eq\r(2－x)，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】(1)由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A．(2)当x－2＝eq\r(2－x)时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝eq\r(1)，不成立，故舍去，则x＝2，所以p是q的充要条件，故选C．【答案】(1)A(2)Ceq\a\vs4\al()推断充要条件的3种常用方法(1)定义法：干脆推断若p，则q、若q，则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与﹁B⇒﹁A，B⇒A与﹁A⇒﹁B，A⇔B与﹁B⇔﹁A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系推断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[提示]推断充要条件时需留意3点(1)要分清条件与结论分别是什么．(2)要从充分性、必要性两个方面进行推断．(3)干脆推断比较困难时，可举出反例说明．1．(2024·南充市第一次适应性考试)“A＝60°”是“cosA＝eq\f(1,2)”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A．A＝60°⇒cosA＝eq\f(1,2)，cosA＝eq\f(1,2)⇒A＝±60°＋k·360°，k∈Z，所以“A＝60°”是“cosA＝eq\f(1,2)”的充分不必要条件．2．(2024·广东省七校联考)已知命题p：2x＜2y，命题q：log2x＜log2y，则命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B．由题意可得p：x＜y，q：0＜x＜y，故p是q的必要不充分条件，选B．3．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，特别之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，特别之观”的()A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件解析：选D．由“非有志者不能至也”，可得能够到达“奇伟、瑰怪，特别之观”的必需有志，而有志者未必到达“奇伟、瑰怪，特别之观”，故“有志”是到达“奇伟、瑰怪，特别之观”的必要不充分条件．充分条件、必要条件的探求及应用(典例迁移)(1)设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是()A．－1<x≤1 B．x≤1C．x>－1 D．－1<x<1(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________．【解析】(1)因为集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，又因为“x∈A且x∉B”，所以－1<x<1；又当－1<x<1时，满意x∈A且x∉B，所以“x∈A且x∉B”成立的充要条件是“－1<x<1”．故选D．(2)由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))所以0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3]．【答案】(1)D(2)[0，3]【迁移探究】(变问法)本例(2)条件不变，若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，所以P⇒S且Seq\o(⇒,\s\up0(/))P.所以[－2，10][1－m，1＋m]．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m＞10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m＜－2，,1＋m≥10.))所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．eq\a\vs4\al()依据充要条件求解参数范围的方法及留意事项(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后依据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，肯定要留意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号确定端点值的取舍，处理不当简洁出现漏解或增解的现象．1．(2024·东北三校第一次联考)下列说法中正确的是()A．若“a＞b”是“a＞c”的充分条件，则b≥cB．若“a＞b”是“a＞c”的充分条件，则b≤cC．若“a＞b”是“a＞c”的充要条件，则b＞cD．若“a＜b”是“a＞c”的必要条件，则b＜c解析：选A．令A＝{a|a＞b}，B＝{a|a＞c}，C＝{a|a＜b}．若“a＞b”是“a＞c”的充分条件，则有A⊆B，则b≥c，故选项A正确，选项B错误；若“a＞b”是“a＞c”的充要条件，则有A＝B，则b＝c，故选项C错误；若“a＜b”是“a＞c”的必要条件，则有B⊆C，这是不行能的，故选项D错误．故选A．2．命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥9 B．a≤9C．a≥10 D．a≤10解析：选C．命题∀x∈[1，3]，x2－a≤0⇔∀x∈[1，3]，x2≤a⇔9≤a.则“a≥10”是命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C．3．若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．解析：由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.答案：3思想方法系列1等价转化思想在充要条件中的应用等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较简洁解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．已知条件p：|x－4|≤6，条件q：(x－1)2－m2≤0(m>0)．若﹁p是﹁q的充分不必要条件，则m的取值范围为______．【解析】条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤1＋m，又﹁p是﹁q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≥－2,1＋m≤10，))，所以0<m≤3.【答案】(0，3]eq\a\vs4\al()本例涉及参数问题，干脆解决较为困难，先用等价转化思想，将困难、生疏的问题化归为简洁、熟识的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，经常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．1．假如x，y是实数，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C．方法一：设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cosx≠cosy}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cosx＝cosy}，明显CD，所以BA，于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件．方法