2024-2025新教材高中数学第七章随机变量及其分布7.4.1二项分布素养检测含解析新人教A版选择性必修第三册

PAGE十三二项分布(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对得3分,有选错的得0分)1.(多选题)如城镇小汽车的普及率为75%,即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车,若从如城镇中随意选出5个家庭,则下列结论成立的是 ()A.这5个家庭均有小汽车的概率为QUOTEB.这5个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为QUOTEC.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车D.这5个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为QUOTE【解析】选ACD.由题得小汽车的普及率为QUOTE,A.这5个家庭均有小汽车的概率为QUOTE=QUOTE,故A成立;B.这5个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为QUOTE=QUOTE,故B不成立;C.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车,故C成立;D.这5个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为QUOTE+QUOTE=QUOTE,故D成立.2.如图是一块高尔顿板示意图:在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,小球从上方的通道口落下后,将与层层小木块碰撞,最终掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等,则小球最终落入④号球槽的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.设这个球落入④号球槽为事务A,落入④号球槽要经过两次向左,三次向右,所以P(A)=QUOTE=QUOTE.3.随机变量ξ听从二项分布ξ～B(n,p),且E(ξ)=300,D(ξ)=200,则p等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.0【解析】选B.因为ξ～B(n,p),所以QUOTE,解得QUOTE.即p等于QUOTE.4.若随机变量X听从二项分布,即X～BQUOTE,则 ()A.P(X=1)=P(X=3) B.P(X=2)=2P(X=1)C.P(X=2)=P(X=3) D.P(X=3)=4P(X=1)【解析】选D.由题意,依据二项分布中概率的计算公式P(X=k)=QUOTEpk(1-p)n-k,则有P(X=1)=QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,P(X=3)=QUOTE=QUOTE,因此有P(X=3)=4P(X=1).5.设X为随机变量,X～BQUOTE,若随机变量X的数学期望E(X)=2,则P(X=2)等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为E(X)=QUOTEn=2,得n=6,即X～BQUOTE.所以P(X=2)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.6.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回的摸取5次,设摸得白球数为X,已知E(X)=3,则D(X)= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由题意知,X～BQUOTE,所以E(X)=5×QUOTE=3,解得m=2,所以X～BQUOTE,所以D(X)=5×QUOTE×QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共10分)7.某大厦的一部电梯从底层动身后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层有6位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为QUOTE,用X表示这6位乘客在第20层下电梯的人数,则P(X=4)=.

【解析】考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验,这是6次独立重复试验,故X～BQUOTE.即有P(X=k)=QUOTE×QUOTE,k=0,1,2,3,4,5,6.所以P(X=4)=QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.设随机变量X听从二项分布,即X～B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,则n=,p=.

【解析】因为X～B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,所以E(X)=1.6=np,①D(X)=1.28=np(1-p),②①与②相除可得1-p=QUOTE=0.8,所以p=0.2,n=QUOTE=8.答案:80.2三、解答题9.(10分)为了比较传统粮食α与新型粮食β的产量是否有差别,探讨人员在若干亩土地上分别种植了传统粮食α与新型粮食β,并收集统计了β的亩产量,所得数据如图所示.已知传统粮食α的产量约为760公斤/亩.(1)通过计算比较传统粮食α与新型粮食β的平均亩产量的大小关系;(2)以频率估计概率,若在4块不同的1亩的土地上播种新型粮食β,记亩产量不低于785公斤的土地块数为X,求X的分布列以及数学期望E(X).【解析】(1)依题意,所求新型粮食β的平均亩产量为750×0.05+760×0.1+770×0.2+780×0.25+790×0.2+800×0.1+810×0.05+820×0.05=37.5+76+154+195+158+80+40.5+41=782(公斤);因为782>760,故传统粮食α的平均亩产量低于新型粮食β的平均亩产量.(2)由题图可知,新型粮食β亩产不低于785公斤的频率为10×(0.02+0.01+0.005+0.005)=10×0.04=0.4,以频率估计概率,任取1块土地新型粮食β亩产不低于785公斤的概率为QUOTE,故X～BQUOTE,故P(X=0)=QUOTE=QUOTE,P(X=1)=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,故X的分布列为:X01234PEQUOTE=4×QUOTE=QUOTE.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对得3分,有选错的得0分)1.若X～B(20,0.3),则 ()A.E(X)=3 B.P(X≥1)=1-0.320C.D(X)=4 D.P(X=10)=QUOTE×0.2110【解析】选D.因为n=20,p=0.3,所以E(X)=20×0.3=6,D(X)=20×0.3×(1-0.3)=4.2,P(X≥1)=1-P(X=0)=1-QUOTE(1-0.3)20=1-0.720,P(X=10)=QUOTE0.310(1-0.3)10=QUOTE·0.2110.2.设随机变量X～B(2,p),随机变量Y～B(3,p),若P(X≥1)=QUOTE,则D(3Y+1)= ()A.2 B.3 C.6 D.7【解析】选C.因为随机变量X～BQUOTE,所以PQUOTE=1-P(X=0)=1-QUOTE(1-p)2=QUOTE,解得p=QUOTE,所以D(Y)=3×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以D(3Y+1)=9D(Y)=9×QUOTE=6.3.(多选题)下列结论正确的有 ()A.公共汽车上有10位乘客,沿途5个车站,乘客下车的可能方式有105种B.两位男生和两位女生随机排成一列,则两位女生不相邻的概率是QUOTEC.若随机変量X听从二项分布X～BQUOTE,则PQUOTE≤X≤QUOTE=QUOTED.已知一组数据丢失了其中一个,剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11,若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列,则丢失数据的全部可能值的和为12【解析】选BD.对于A:公共汽车上有10位乘客,沿途5个车站,则每个乘客由5种下车的方式,则依据分步乘法计数原理可得乘客下车的可能方式有510种,故A错误;对于B:两位男生和两位女生随机排成一列,共有QUOTE=24(种)排法;两位女生不相邻的排法有QUOTE=12(种),故两位女生不相邻的概率是QUOTE,故B正确;对于C:若随机变量X听从二项分布X～BQUOTE,则PQUOTE≤X≤QUOTE=P(X=2)+P(X=3)=QUOTE+QUOTE=QUOTE,故C错误;对于D:设这个数字是x,则平均数为QUOTE,众数是3,若x≤3,则中位数为3,此时x=-10,若3<x<5,则中位数为x,此时2x=QUOTE+3,x=4,若x≥5,则中位数为5,2×5=QUOTE+3,x=18,全部可能值为-10,4,18,其和为12,故D正确.4.设X～B(4,p),其中QUOTE<p<1,且P(X=2)=QUOTE,则P(X=3)= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.X～BQUOTE,所以PQUOTE=QUOTEp2(1-p)2=QUOTE,所以p2(1-p)2=QUOTE,因为QUOTE<p<1,所以p(1-p)=QUOTE,所以p=QUOTE,PQUOTE=QUOTEp3(1-p)1=4×QUOTE×QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共20分)5.设随机变量ξ听从二项分布ξ～BQUOTE,则P(ξ≤2)等于.

【解析】因为随机变量ξ听从二项分布ξ～BQUOTE,所以P(ξ≤2)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.设随机变量ξ～B(2,p),η～B(4,p),若P(ξ≥1)=QUOTE,则D(η)=.

【解析】因为ξ～B(2,p),P(ξ≥1)=QUOTE,所以P(ξ≥1)=1-P(ξ<1)=1-(1-p)2=QUOTE,解得p=QUOTE,所以η～BQUOTE,所以D(η)=4×QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.已知两名射击运动员的射击水平:甲击中目标靶的概率是0.7,乙击中目标靶的概率是0.6.若让甲、乙两人各自向目标靶射击3次,则:(结果保留两位有效数字)(1)甲恰好击中目标2次的概率是;

(2)两名运动员都恰好击中目标2次的概率是.

【解析】由题意,甲向目标靶射击1次,击中目标靶的概率为0.7,乙向目标靶射击1次,击中目标靶的概率为0.6,两人射击均听从二项分布.(1)甲向目标靶射击3次,恰好击中2次的概率是QUOTE×0.72×(1-0.7)≈0.44.(2)甲、乙两人各向目标靶射击3次,恰好都击中2次的概率是QUOTE×[QUOTE×0.62×(1-0.6)]≈0.19.答案:(1)0.44(2)0.198.某陶瓷厂打算烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必需先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入其次次烧制,再次烧制过程相互独立.依据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4,经过其次次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75;则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为;经过前后两次烧制后,合格工艺品的件数为ξ,则随机变量ξ的期望为.

【解析】第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为:P=0.5×(1-0.6)×(1-0.4)+(1-0.5)×0.6×(1-0.4)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.4=0.38.甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为:P1=0.5×0.6=0.3,P2=0.6×0.5=0.3,P3=0.4×0.75=0.3.故EQUOTE=0.3×3=0.9.答案:0.380.9三、解答题(每小题10分,共20分)9.为调查人们在购物时的支付习惯,某超市对随机抽取的300名顾客的支付方式进行了统计,数据如表所示:支付方式微信支付宝购物卡现金人数100757550现有甲,乙,丙三人将进入该超市购物,各人支付方式相互独立,假设以频率近似代替概率.(1)求三人中用支付宝支付的人数多于购物卡支付人数的概率;(2)记X为三人中用微信支付的人数,求X的分布列及数学期望.【解析】(1)运用微信支付的概率为QUOTE=QUOTE,运用支付宝支付的概率为QUOTE=QUOTE,运用购物卡支付的概率为QUOTE=QUOTE,运用现金支付的概率为QUOTE=QUOTE,由题意得三人中运用支付宝支付的人数多于运用购物卡支付的人数的概率为:QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)随机变量X的全部可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=QUOTE=QUOTE,P(X=1)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=3)=QUOTE=QUOTE.X的分布列为:X0123P期望值为E(X)=3×QUOTE=1.10.某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有A,B两项技术指标须要检测,设各项技术指标达标与否互不影响.若A项技术指标达标的概率为QUOTE,B项技术指标达标的概率为QUOTE,按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品.(1)一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率;(2)随意依次抽取该种零件4个,设ξ表示其中合格品的个数,求ξ的分布列及E(ξ).【解析】(1)设M:一个零件经过检测至少一项技术指标达标,则QUOTE:A,B都不达标;故P(M)=1-P(QUOTE)=1-QUOTE·QUOTE=QUOTE,所以一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率为QUOTE.(2)依题意两项技术指标都达标的概率为QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以ξ～BQUOTE,P(ξ=0)=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,ξ的分布列为:ξ01234PE(ξ)=QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE+4×QUOTE=QUOTE=QUOTE.【补偿训练】全国中小学生的体质健康调研最新数据表明我国小学生近