高二数学期中考试（测试范围：苏教2019版选择性必修第一册第1章、第2章、椭圆）（解析版）

第页高二数学期中考试（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：苏教2019版选择性必修第一册第1章、第2章、椭圆.第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，直线经过点，则直线的斜率为,故直线的倾斜角为.故选：D.2．直线与圆交于两点，则的面积为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】如图，由圆配方得，，知圆心为,半径为，过点作于，由到直线的距离为,则,故的面积为.故选：B.3．已知为椭圆上一动点，分别为其左右焦点，直线与的另一交点为的周长为16.若的最大值为6，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设椭圆的半焦距为，则由题设得，解得，所以椭圆的离心率为.故选：C．4．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】记为点，直线的斜率，直线的斜率，因为直线l过点，且与线段相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．故选：B．5．若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，依题意，，化简整理得：，因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，所以动点M的轨迹围成区域的面积为.故选：D6．已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设中点为C，则，∵，∴，∴，∵，即，又∵直线与圆交于不同的两点，∴，故，则，.故选：C．7．过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】由题意可知，动直线经过定点，动直线即，经过点定点，过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点，有，故,当且仅当时取等号，所以面积的最大值为故选:8．已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为34，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知椭圆的蒙日圆的半径为，因为，所以为蒙日圆的直径，所以，所以，因为，当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为，所以，则.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设平面内四点，，，，则下面四个结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由题意可得：，，，，，因为，可知，故A正确；因为，可知，故B正确；因为，可知PS与QS不平行，故C错误；因为，可知，故D正确；故选：ABD.10．已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（）A．圆心C的坐标为B．点Q在圆C外C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为【答案】BD【解析】圆C：的标准方程为所以圆心坐标为，故A错误；因为，所以点Q在圆C外，故B正确；若点在圆C上，则，解得，则，所以直线PQ的斜率为，故C错误；，，因为M是圆C上任一点，所以的取值范围为，即，故D正确；故选：BD11．已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数点的轨迹称为曲线，直线取曲线交于两点．则下列说法正确的是（

）A．曲线的方程为：B．的最小值为1C．为坐标原点，的最小值为D．为曲线上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则【答案】ACD【解析】对A，设，则，即，化简得，故A正确；对B，设椭圆另一个焦点为，如图，由O为和中点可知四边形为平行四边形，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，故B错误；对C，由定义知动点到定点与它到定直线距离满足，所以，即求椭圆上一点到与直线距离和的最小值，显然当在椭圆右顶点时，取得最小值，故C正确；对D，设，则，所以，故D正确.故选：ACD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知直线的倾斜角为，且这条直线经过点，则直线的一般式方程为.【答案】或【解析】因为，且，则，所以直线的斜率为，又因为直线经过点，则直线的方程为，所以直线的一般式方程为或.故答案为：或.13．若圆与圆有且仅有一条公切线，.【答案】【解析】由，显然，又只有一条公切线，所以相内切，将点坐标代入圆方程知，即在圆外部，所以圆内切于圆，则有，解之得.故答案为：14．在平面直角坐标系中，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围是；当取得最大值时，椭圆的焦距为.【答案】【解析】因为点是椭圆内一点，所以，由，可得.∵，则，知为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点为，则.又，当且仅当三点共线时等号成立，所以，所以，所以，故的取值范围是：.当取得最大值25时，椭圆的方程为，故其焦距为4.故答案为：，4.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高．(1)求所在直线的方程；(2)求高所在直线的方程.【解析】（1）因为是边的中点，所以，所以直线的斜率，所以所在直线的方程为：，即，（2）因为是边AB的中点，所以，因为是边上的高，所以，所以，所以，因此高所在直线的方程为：，即.16．（15分）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.(1)求圆的方程；(2)若圆直线交于，两点，____，求的值.从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为；条件②：；条件③：.【解析】（1）设圆心坐标为，半径为.由圆的圆心在直线上，知：.又圆与轴相切于点，，，则.圆圆心坐标为，则圆的方程为（2）如果选择条件①：，而，圆心到直线的距离，则，解得或.如果选择条件②和③：，而，圆心到直线的距离，则，解得或3.如果选择条件③：，而，圆心到直线的距离，则，解得或3.17．（15分）如图，已知，，，直线．(1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标；(2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程；(3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程．【解析】（1）直线可化为，令，解得，故直线经过的定点坐标为；（2）因为，，，所以，由题意得直线方程为，故直线经过的定点在直线上，所以，设直线与交于点，所以，即，所以，设，所以，即，所以，，所以，将点坐标代入直线的方程，解得，所以直线的方程为；（3）设关于的对称点，关于的对称点，直线的方程为，即，直线的方程为，所以，解得，所以，由题意得四点共线，，由对称性得，所以入射光线的直线方程为，即．18．（17分）已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为．(1)求圆的方程；(2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值．【解析】（1）设圆心为，设圆的半径为，圆心到轴的距离为，且圆轴弦长为，则，①且有②，联立①②可得或，所以，圆的方程为或.（2）因为半径小于，则圆的方程为，由圆的几何性质得即，所以，设，则，所以，即的轨迹方程是.（3）设直线与直线交于点，由、可知直线的斜率是，因为直线的斜率为，则，则，，所以，，因此，，又E到的距离，，所以，，故恒为定值.19．（17分）在平面直角坐标系中，已知三点，曲线C上任意一点满足：．(1)求曲线C的方程；(2)设点P是曲线C上的任意一点，过原点的直线L与曲线相交于M，N两点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为．试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论；(3)设曲线C与y轴交于D、E两点，点在线段DE上，点P在曲线C上运动．若当点P的坐标为时，取得最小值，求实数m的取值范围．【解析】（1）由题意，，则，由此可得，，又，且，∴，化简整理得：，即为所求曲线C的方程．（2）因为过原