选择性必修第一册苏教版-第3章-单元测试卷-143716

第3章圆锥曲线与方程一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若点P到直线x=-1的距离比到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹是()A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线2.若双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线经过点(3,-A.72 B.54 C.43 3.双曲线x2m-y2n=1(mn≠0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则mn的值为A.316 B.38 C.163 4.过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为()A.8 B.16 C.32 D.645.已知F1,F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,过点F2作椭圆的弦AB,若△AF1B的周长为16,椭圆的离心率e=3A.x24+y23=1 B.xC.x216+y212=1 D.x6.已知F是抛物线y=14x2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是()A.x2=2y-1 B.x2=2y-1C.x2=y-12 D.x2=2y-7.已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为()A.5 B.2 C.3 D.28.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.如图1,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2,椭圆C的离心率为22,M为蒙日圆上的一个动点,过点M作椭圆C的两条切线,与蒙日圆分别交于P,Q两点,则图1A.3b2 B.2b2 C.433 D.6二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知双曲线C过点(3,2)且渐近线为y=±33x,则下列结论正确的是()A.C的方程为x23-y2=1 B.CC.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点 D.直线x-2y-1=0与C有两个公共点10.已知双曲线C:x2a2-y2=1(a>0),若圆(x-2)2+y2=1与双曲线C的渐近线相切,则 (A.双曲线C的实轴长为6B.双曲线C的离心率e=2C.点P为双曲线上任意一点,若点P到C的两条渐近线的距离分别为d1,d2,则d1d2=3D.直线y=k1x+m与C交于A,B两点,点D为弦AB的中点,若OD(O为坐标原点)的斜率为k2,则k1k2=111.设椭圆的方程为x22+y24=1,斜率为k的直线不经过原点O,而且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点,下列结论正确的是A.直线AB与OM垂直B.若点M坐标为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0C.若直线方程为y=x+1,则点M坐标为(13,4D.若直线方程为y=x+2,则AB=4三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知F为抛物线C:y2=x的焦点,点A,B在抛物线上,且分别位于x轴的上、下两侧,若△BFO的面积是12(O为坐标原点),且OA·OB=12,则直线AB的斜率是13.双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为y=2x,则该双曲线的离心率为,若E上的点A满足AF2⊥F1F2,其中F1,F2分别是E的左、右焦点,则sin∠AF14.国家体育场(鸟巢)的钢结构鸟瞰结构图如图2所示,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆,将其平面图放入适当的平面直角坐标系中,如图3,若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC,BD,且两切线斜率之积等于-45,则椭圆的离心率为图2图3四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的坐标为(1,0),过焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点.(1)求抛物线C的方程;(2)记抛物线的准线与x轴交于点E,若EA·EB=40,求直线l的方程.

16.(15分)兰州黄河铁桥,又名中山桥,是位于兰州市中心,横跨黄河的一座百年老桥,如图4,桥上有五个拱形桥架紧密相连,每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱,气势宏伟,素有“天下黄河第一桥”之称.如图5,一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABFM和其上方的抛物线MOF(部分)组成,建立如图5所示的平面直角坐标系,已知AB=44m,∠MAB=45°,AC=4m,CD=5m,立柱DN=5.55m.(1)求立柱CM及横梁MF的长;(2)求抛物线MOF的方程和桥梁的拱高OH. 图4 图5

17.(15分)在①点M为椭圆C的上顶点时,△MF1F2面积为42,②椭圆C过点(3,3),③离心率e=63这三个条件中任选一个,补充在下面问题的横线处,并解决下面两个问题设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).(1)求椭圆C的方程;(2)求m的值和△PAB的面积.注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.

18.(17分)已知双曲线的方程为2x2-y2=2.(1)求以点A(2,2)为中点的双曲线的弦所在的直线方程.(2)过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于Q1,Q2两点,且点B是弦Q1Q2的中点?如果存在,求出直线l的方程;如果不存在,请说明理由.

19.(17分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),过F1且斜率为2(1)求椭圆E的方程.(2)如图6,下顶点为A,过点B(0,2)作一条与y轴不重合的直线,该直线交椭圆E于C,D两点,直线AD,AC分别交x轴于点H,G.求证:△ABG与△AOH的面积之积为定值,并求出该定值.图6

第3章圆锥曲线与方程1.D点P到直线x=-1的距离比到点(2,0)的距离小1,即点P到直线x=-2的距离与到点(2,0)的距离相等,根据抛物线的定义可知,点P的轨迹是抛物线.2.D由已知可得双曲线的渐近线方程为y=±bax,点(3,-4)在渐近线上∴ba=43,又a2+b2=c2,∴c2=a2+169a2=259a2,∴e=3.A抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),故双曲线x2m-y2n=1中,m>0,n>0且m+n=c2=1①,e=cm=m联立①②,解得m=14,n=34.故mn=4.B抛物线中2p=8,p=4,则焦点坐标为(2,0),过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y=x-2,由y=x-2,y2=8x,得x2-12x+4=0,则x1+x2=12(x1,x2为直线与抛物线两个交点的横坐标).从而弦长为x1+x2+5.D由椭圆的定义知AF1+BF1+AB=4a=16,∴a=4.又e=ca=32,∴c=23,∴b2=42-(23)2∴椭圆的方程为x216+y26.A焦点为F(0,1),设点P(p,q),则p2=4q.设点Q(x,y)是线段PF的中点,则x=p2,y=q+12,即p=2x,q=2y-1,代入p2=4q得,(2x)2=4(2y-1),即x2=2y7.D设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,图D1如图D1所示,AB=BM=2a,∠MBA=120°,过点M作MH⊥x轴于点H,则∠MBH=60°,BH=a,MH=3a,所以M(2a,3a).将点M的坐标代入双曲线方程x2a2-y2b2=1,得a=b,所以8.A由“蒙日圆”的定义可知,MP⊥MQ,则PQ为蒙日圆的直径,连接OM,∴OM=a2+b2,则PQ=2OM设MP=m,MQ=n,∴m2+n2=PQ2=4(a2+b2),又m2+n2≥2mn(当且仅当m=n时取等号),∴4(a2+b2)≥2mn,即mn≤2(a2+b2),∴S△MPQ=12mn≤12·2(a2+b2)=a2+b∵e=ca=22,∴a2=2c2=2(a2-b2),即a2=2b2,∴a2+b2=3b2,故△MPQ面积的最大值为3b9.AC∵双曲线的渐近线为y=±33x,∴设双曲线C的方程为x23-y2=λ(λ≠0),又该双曲线过点(3,2),代入方程得λ=1,故选项A正确.易知双曲线C的离心率e为233,故选项B错误.y=ex-2-1经过双曲线C的右焦点(2,0),故选项C正确.联立直线和双曲线C的方程,消去x得y2-22y+2=0,∵Δ=0,故该直线与双曲线C有一个公共点10.BCD由题意知C的渐近线方程为x±ay=0,因为圆与渐近线相切,所以|2|1+a2=1,解得a=3,所以实轴长为23,c=2,所以e=23=233,故A错误,B正确;设P(所以d1=|x0-3y0|2,d2=|x0+3y0|2,所以d设A(x1,y1),B(x2,y2),则D(x1+x22,y1+y22),联立直线与双曲线C的方程,消去y得(1-3k12)x2-6k1mx-(3m2+3)=0,所以x1+x2=6k1m1−3k12,y1+y2故D正确.故选BCD.11.BD假设直线与椭圆交于椭圆的左端点A(-2,0)和上顶点B(0,2),显然△ABO不是等腰直角三角形,AB与OM显然是不垂直的.故A错误.设直线方程为y=kx+b(b≠0).联立直线与椭圆的方程,消去y得,(2+k2)x2+2kbx+b2-4=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2kb2+k2,y1+y2=k(x1+x2)+2b=-2k2故点M的坐标为(-kb2+k2,对于B,点M(1,1),则-kb2+k2=1,2b2+k2=1,解得k=−2,b=3,对于C,若直线方程为y=x+1,即k=1,b=1,则M点坐标为(-13,23),故C对于D,若直线方程为y=x+2,即k=1,b=2,AB=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)12.-13设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线y2=x得F(14,0),而S△BFO=12×14×(-y2)=12,得y2=-4,则x2=16,由OA·OB=x1x2+y1y2=16x1-4y1=12,得4x1-y1=3,又y12=x1,结合y1>0,解得y1=1,x1=1,13.312由题意得ba=2,则b=2a,c2=a2+b2=3a2,所以c=3a,所以双曲线的离心率e=ca=3.在x2a2-y2b2=1中,令x=c,得y=±b2a=±2a,所以不妨设A(3a,2a),则AF2=2a,由AF1-AF2=2a,得AF1=4a,所以14.55设内层椭圆方程为x2a2+y2∵内外层椭圆的离心率相同,∴外层椭圆可设成x2(ma)2+y设切线AC的方程为y=k1(x+ma),与x2a2+y2b2=1联立得,(b2+a2k12)x2+2ma3k12x+m2由Δ=0,得k12=b2a2·1m2-1,同理∴k12·k22=b4a4=(-45因此e=ca=1−b2a215.(1)由题意得p2=1,即p=所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)由题意,知E(-1,0),直线l的斜率一定不为0,所以可设直线l的方程为x=my+1,点A(x1,y1),B(x2,y2).联立直线l和抛物线C的方程得x=my+1,y2=4x,消元得y2-4my-4=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4,所以x1x2=(my1+1)(my2+1)=1,x1+x2=m(y1+y2)所以EA·EB=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=x1x2+1+x1+x2+y1y2=1+1+4m2+2-4=4m2=40,解得m=10或m=-10.故直线l的方程为x+10y-1=0或x-10y-1=0.16.(1)由题意知,∠MAB=45°,AC=4m,则CM=4m,因为四边形ABFM是等腰梯形,由对称性可知,AH=HB=12AB=22m,AC=BE=4m,CH=AH-AC=18所以MF=2CH=36m.(2)由(1)知点M的横坐标为-18,N的横坐标为-(18-5)=-13.设M,N的纵坐标分别为y1,y2,由题图可知|y1-y2|=|5.55-4|=1.55.设抛物线MOF的方程为x2=-2py,p>0,x∈[-18,18].将点M,N的坐标代入抛物线方程,得(-18)2=−2py1,(-13)2=−2py2,两式相减得2p解得2p=100,故抛物线方程为x2=-100y,x∈[-18,18].因此当x=-18时,y=-1100×(-18)2=-3.故|y1|=3.24m,所以桥梁的拱高OH=3.24+4=7.24m.17.(1)由已知可得2b=4,解得b=2,故椭圆C的方程为x2a2+y若选择①,则12×2c×b=bc=2c=42,解得c=22,故a2=b2+c2=故椭圆C的方程为x212+y2若选择②,则(3)2a2+(3)故椭圆C的方程为x212+y2若选择③,则e=ca=a2-b2a=1−b2a2故椭圆C的方程为x212+y2(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x+m,x2+3y2=12,可得4x2+6mx+由Δ=(6m)2-4×4×(3m2-12)>0,可得-4<m<4,且x1+x2=-3m2,x1x2=设线段AB的中点为H(x0,y0),则x0=x1+x22=-3m4,y0=x0+m=m4,因为-4<m<4,所以-3m4≠-3,所以kPH=m4因为△PAB是以AB为底边的等腰三角形,所以PH⊥AB,即PH⊥l,又直线l的斜率k=1,所以kPH=-1,即m-812−3解得m=2∈(-4,4),此时方程(*)化为4x2+12x=0,解得x1=0,x2=-3,AB=1+k2|x1-x2|=1+12×|0-(-3)|此时H(-32,1故PH=[-3-(-32)故S△PAB=12×AB×PH=12×32×32综上,m=2,△PAB的面积为9218.(1)设以点A(2,2)为中点的弦的两端点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则有x1+x2=4,y1+y2=4,x1≠x2.由P1,P2在双曲