分类加法计数原理与分步乘法计数原理+高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法.例如，随着人们生活水平的提高，我市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照都必须有2个不重复的英文字母和3个可重复的阿拉伯数字组成，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？这个计数问题中的数量很大，列举的方法效率不高.能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？

下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.问题引入6500000【问题1】现有高一年级的学生4名，高二年级的学生5名，高三年级的学生3名.从中选1人进行周一国旗下讲话，有多少种不同的选法？分析该问题的特征：1.从高中三个年级中选一人进行国旗下讲话的方案可分几类?2.这几类方案中各有几种方法?每种方法有什么特点？每类方案中的方法互不相同且都能独立完成这件事情从中任选1人进行周一国旗下讲话，共有4+5+3=12种不同的方法。【问题2】在填写高考志愿表时,一名同学了解到,浙江大学，南京大学，上海交大三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

浙江大学

南京大学上海交大

生物学数学环境科学化学会计学地质学医学信息技术学车辆工程物理学法学工程学如果这名同学只能选择一个专业,那么他共有多少种选择呢？N=5+4+3=12种探究1：你能说说以上两个问题的共同特征吗？你能举一些生活中类似的例子吗？如果完成一件事有三类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法？N=m1+m2+m3都是完成这件事有几类不同的办法的问题，每类办法都能独立完成事情,并且每种方法也相互独立.（一）分类计数原理

有n类办法N＝m1＋m2＋…＋mn第1类办法中有m1种不同的方法第2类办法中有m2种不同的方法第n类办法中有mn种不同的方法……共有多少种不同的方法完成一件事分类加法计数原理使用前提：各类方案中的方法互不相同且都能独立完成这件事情.【问题3】现有高一年级的学生4名，高二年级的学生5名，高三年级的学生3名.从每个年级中选1人进行周一国旗下讲话，有多少种不同的选法？分析该问题的特征：1.从高中每个年级中选一人进行国旗下讲话的方案可分几步完成?2.完成每一步各有几种方法?任何一步能否独立完成这件事情？从中任选1人进行周一国旗下讲话，共有4×5×3=60种不同的方法。每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能能独立完成这件事情，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这件事情。【问题4】在填写高考志愿表时,一名同学了解到,浙江大学，南京大学，上海交大三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

浙江大学

南京大学上海交大

生物学数学环境科学化学会计学地质学医学信息技术学车辆工程物理学法学工程学如果这名同学要在每个大学中选择一个专业填报志愿,那么他共有多少种选择呢？N＝5×4×3＝60探究2：你能说说以上两个问题的共同特征吗？如果完成一件事需要有三个步骤,第1步有m1种不同的方法,第2步有m2种不同的方法，第三步有m3种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法？

完成1件事情需要几个步骤才能完成的问题，每一步不能独立完成事件，只有各个步骤都完成才算完成这件事情.（二）分步计数原理完成一件事第1步有m1种不同的方法第2步有m2种不同的方法第n步有mn种不同的方法N=m1×m2×…×mn

有n个步骤共有多少种不同的方法…→→→→→分步乘法计数原理使用前提：各步中每种方法不能独立完成这件事.【例1】书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同的取法？分析：1、完成什么事情？2、分类还是分步？解：（1）根据分类加法计数原理，不同取法种数为4+3+2=9.

（2）根据分步乘法计数原理，不同取法种数为4×3×2=24.选择运用分类还是分步的关键是能否独立完成事件。练一练：有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？（3）若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？N=3+8+5=16种N=3×13=39种N=3×8×5=120种解题关键：从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”.再根据其对应的计数原理计算.分类用加法原理（不重不漏），分步用乘法原理（步骤完整）.

加法原理

乘法原理联系区别完成一件事情共有n类办法，关键词是“分类”完成一件事情,共分n个步骤，关键词是“分步”每类办法都能独立完成这件事情。每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能能独立完成这件事情，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这件事情。分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。各类办法是互斥的、并列的、独立的各步之间是相关联的分类计数与分步计数原理的区别和联系【例2】要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？【变式】口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出两个球。（1）正好是白球、红球各一个的取法有多少种？（2）正好是两个白球的取法有多少种？（3）至少有一个白球的取法有多少种？（4）两球的颜色相同的取法有多少种？【例3】校运动会上有4名同学选报100米，跳远、跳高三个项目，每人限报一项，有多少种报名方法？

解：每人选报一个项目，都有三种选法，当每个人的项目选定后，这件事才算完成.故由分步计数原理，共有3×3×3×3=81种不同的报名方法【变式】校运动会上有4名同学争夺100米，跳远、跳高三个项目的冠军，有多少种可能的结果？解：每个项目的冠军只有一个，4个人都有可能获得某个项目的冠军，所以每个项目的冠军都有4种可能的结果.由分步计数原理，知共有可能的结果为4×4×4=64种.【例4】给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1~9，最多可以给多少个程序命名？解:

N=13×9×9＝1053【变式】某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注．若这个人要把符合这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？解：N=（15×10×7）×2=2100元数学在身边【例5】温州市平阳县的固定电话号码由8位数字组成，前三位数字固定为637、638，后五位为0至9的数字,你知道平阳最多可以有多少个固定电话？所以平阳最多有200000个电话号码解：完成这件事情先分两类进行前三位数字固定为637分5步进行根据分步计数原理N=10×10×10×10×10=100000【变式】某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“#######0000”到“#######9999”共10000个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字5或8的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）A.2000B.4096C.5904D.8320

C有时候利用逆向思维解决问题很重要小结：利用两个计数原理解决具体问题时的方法技巧1.步中有类情形(先分步后分类）2.类中有步情形（先分类后分步）如图，完成A→D这件事，需经历A→B，B→C，C→D这三个步骤.其中B→C这步又分三类.完成A→D这件事，共有方法数为m1×（m2+m3+m4）×m5.如图，完成A→B这件事，有两类办法，在第1类办法中有3步，第2类办法中有两步.完成A