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文档简介
第四章随机变量的数字特征4.3协方差及相关系数第四章随机变量的数字特征内容摘要:对于二维随机变量(X,Y),我们除了讨论X与Y的数学期望和方差以外,还需研究描述X与Y之间相互关系的数字特征.有关这方面的数字特征有协方差、相关系数和各阶矩.4.3协方差及相关系数4.3.1提出问题
1.
如何分析两个随机变量之间的相互关系呢?
2.如何刻画两个随机变量之间线性相关的程度呢?4.3.2预备知识
1.数学期望,方差,标准差;
2.
线性函数,矩阵及对称矩阵.
定义1量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}称为随机变量X与Y的协方差.记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.(4.3.1)而
称为随机变量X与Y的相关系数.注意:
ρXY是一个无量纲的量.
4.3.3
提出概念证证明:(1)ρX*Y*=Cov(X*,Y*);(2)ρX*Y*=ρXY.例4.3.1
设X*,Y*为X与Y的标准化随机变量,即由对称性得到E(Y*)=0,D(Y*)=1.
先证(1):再证(2):
=E{[X*-E(X*)][Y*-E(Y*)]}=E(X*Y*)
=ρXY.
4.3.4
分析性质
定理1
对于任意两个随机变量X和Y,下列等式成立(设协方差存在):(1)Cov(X,X)=D(X).(2)Cov(X,Y)=Cov(Y,X).(3)若X与Y相互独立,则Cov(X,Y)=0.(4)Cov(X,a)=0,a为常数.利用数学期望的性质知,结论(1),(2),(3)和结论(4)成立.1.
协方差的性质
(8)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y).(4.3.4)(5)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(4.3.3)(6)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常数.(7)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).
证
证明(5):Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E[XY-YE(X)-XE(Y)+E(X)E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
利用协方差和数学期望的性质,易证结论(6),结论(7)和结论(8)成立.
定理2
设随机变量X与Y的相关系数ρXY存在,则有(1)ρXY=ρYX
;(2)|ρXY|≤1;(3)|ρXY|=1的充分必要条件是:存在常数a(a≠0),b,使P{Y=aX+b}=1.2.相关系数的性质及实际意义
讲评
我们常利用结论(5)计算协方差.证
结论(1)可由协方差的性质(2)推知.
现证结论(2).设X*,Y*为X与Y的标准化随机变量,由例4.3.1和定理1中性质(8)得到
0≤D(X*±Y*)=D(X*)+D(Y*)±2Cov(X*,Y*)=D(X*)+D(Y*)±2ρX*Y*=
1+1±2ρXY
=2(1±ρXY).由此可得
由(2)可知D(X*±Y*)=2(1±ρXY),可见,ρXY
=±1的充分必要条件是取可知上式又等价于
P{Y=aX+b}=1.再由
质(5)知,上式等价于及方差的性再证结论(3).
(1)
从这个证明我们还知道,若a>0,有ρXY
=1,这时称X与Y正线性相关;若a<0,有ρXY
=-1,这时称X与Y负线性相关.一般地,若ρXY
>0,则称X与Y正相关;若ρXY
<0,则称X与Y负相关.当ρXY
=0时,我们称X与Y不相关.显然,它等价于X与Y的协方差为零.讲评
相关系数的实际意义是:|ρXY|的
大小反映了X与Y的线性相关程度.当
|ρXY|
较大时,则X与Y的线性相关程度
较好;当|ρXY|较小时,则X与Y的线性相关程度较差.
(2)对于标准化随机变量和有相关系数等于协方差,即
ρXY=ρX*Y*=Cov(X*,Y*).
(5)对于正态分布,若(X,Y)服从正态分布,那么X和Y相互独立的充要条件是相关系数
ρXY
=0.
(4)当X与Y相互独立时,X与Y不相关.但是,若X与Y不相关,X与Y不一定相互独立.
(3)相关系数ρXY刻划的是X与Y之间的线性关系的强弱.
例4.3.2再继续解读例3.3.1和例4.2.2:设二维随机变量(X,Y)的分布律为
XY01p.j12pi.1(1)
计算X与Y的协方差以及相关系数;(2)
问随机变量X与Y是否独立,是否不相关呢?(1)
已知X的数学期望为
解而于是,随机变量X与Y的协方差为随机变量X与Y的相关系数为(2)
由例3.3.1知,随机变量X与Y相互独立.
随机变量X与Y的相关系数ρXY=0,即随机变量X与Y不相关.
应注意:随机变量X与Y“不相关”与“独立”并不等价.参见下例.
由例4.1.2知,随机变量X和Y的数学期望E(X)=0和E(Y)=0.
例4.3.3再继续解读例3.3.2和例4.1.2:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为解已知随机变量X与Y不相互独立,再问连续型随机变量X与Y是否不相关?从而得到Cov(X,Y)=0,即有=0.这表明随机变量X和Y是不相关的,虽然随机变量X与Y不相互独立.分析上述例题,得到如下的两个问题:
问题1是,为什么随机变量X与Y不相互独立呢?感性上可以这样来理解:随机点(X,Y)落入单位圆x2+y2≤1内,X与Y之间存在着制约关系X2+Y2≤1.
因此随机变量X与Y不相互独立.
问题2是,既然随机变量X与Y不相互独立,也就是存在着制约关系,为什么它们又不相关呢?要注意,现在的制约关系是X2+Y2≤1,而不是说“存在线性关系”.
X和Y不相关只是说明二者之间没有线性关系,是否有其他(如平方关系)关系并没有回答.
例4.3.4设二维随机变量
(X,Y)服从二维正态分布,即(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ).试分析各个参数的意义.
结果是:E(X)=μ1,E(Y)=μ2,
D(X)=σ12,D(Y)=σ22,
ρXY=ρ.定理3若(X,Y)服从二维正态分布,那么X与Y相互独立的充要条件是X与Y不相关.4.3.3′矩的概念
这里再介绍随机变量的另外的几个数字特征,它们在后面的数理统计学习中经常用到.
定义2
设X和Y是随机变量,若E(Xk)(k=1,2,…)存在,称它为X的k阶原点矩,简称k阶矩.
若E{[X-E(X)]k}(k=2,3,…)存在,称它为X的k阶中心矩.
若E(XkYl)(k,l=1,2,…)存在,称它为X和Y的k+l阶混合矩.
若E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l
}(k,l=1,2,…)存在,称它为X和Y的k+l阶混合中心矩.
显然,X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩,方差D(X)是X的二阶中心矩,协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.
下面介绍n维随机变量的协方差矩阵.
cij=Cov(Xi,Xj)
=E{[Xi-E(Xi)][Xj-E(Xj)]},
i,
j=1,2,…,
n都存在,则称矩阵为n维随机变量(X1,X2,…,Xn
)的协方差矩阵.由于cij=cji(i≠j,i,j=1,2,…,n),因而上述矩阵是一个对称矩阵.
讲评
一般情况下,n维随机变量的分布是不知道的,或者是太复杂,以致在数学上不容易处理,因此在实际应用中协方差矩阵就显得重要了.4.3.6内容小结
方差D(X)=E{[X-E(X)]2}描述随机变量X与它的数学期望E(X)的偏离程度,我们常用公式
D(X)=E(X2)-[E(X)]2
计算方差,注意E(X2)和[E(X)]2的区别.计算协方差常用公式
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