沪教版高中数学第12章 圆锥曲线 三

沪教版高中数学第12章圆锥曲线（3）

一、选择题（本大题共13小题，共65.0分）

1,若椭圆1上一点P到一个焦点的距离为5,则点尸到另一个焦点的距离为（）

A.5B.6C.4D.1

22

2,已知椭圆t+1⑺>0）的左焦点为尸（一4,0），则爪=（）

25

A.2B.3C.4D.9

3,从椭圆盘+芸=1（£1>6>0）上一点「向方轴作垂线，垂足恰为左焦点6,A是椭圆与x轴正半

轴的交点，8是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB〃OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）

A.立

4

4.中心在原点，焦距为2,离心率为之的椭圆标准方程为（）

丫2~2

B.土+匕=1

43

22

C.±+y2=iD./+匕=1

4y4

5.已知椭圆C：^+'=l（a>6>0）的左、右焦点分别为&、F2,离心率为争过尸2的直线/交

C于A、8两点，若A4aB的周长为4B，则C的方程为（）

A.立+艺=1B.^+y2=lC.互+艺=1D.次+^=1

323z128124

6.设椭圆C：/+2=l（a〉b>0）的左、右焦点分别为尸1、尸2,尸是C上的点,PF?J-F#2,乙PF#2=

30。，则C的离心率为（）

A-TD?

7.已知椭圆C：5+《=l（a>b>0）的左焦点为EC与过原点的直线相交于A,B两点，连接

AF,BF,若|4旬=10,|BF|=8,cos乙4BF=£则C的离心率为（）

A.|B.|C.gD.|

8.设小尸2分别是椭圆三+亡=1的左、右焦点，尸为椭圆上任一点，点/的坐标为（6,4）,则|PM|+

2516

IP&I的最大值为（）

A.13B.15C.16D.25

9.如图6、&是椭圆G：立+必=1与双曲线C2的公共焦点，42分别是G与心在第二、四象限的

4

公共点，若四边形力&BF2为矩形，则。2的离心率是（）

2

10.已知△力BC的顶点8、C在椭圆手+y2=i上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦

点在BC边上，则△力8c的周长是（）

A.2V3B.6C.4V3D.12

11.已知椭圆C：5+A=l（a〉6>0）的离心率为多过右焦点E且斜率为k（k>0）的直线与椭圆

C相交于A、8两点.若加=3而，则上的值为（）

A.1B.V2C.V3D.2

12.已知点&,尸2分别是椭圆G和双曲线的公共焦点，e］，62分别是G和C2的离心率，点P为G和

的一个公共点，且4尸/4=会若026（2,夕），则eI的取值范围是（）

A.（今第B.住，当）C.g君D.仁卓）

22

13.已知点尸，。分别为圆/+（y-3）2=1和椭圆5+二=1上的点，则尸，。两点间的最大距离

2516

是（）

A.6B.7C.8D.9

二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）

14.己知椭圆盘+3=l(a>b>0)的右焦点为尸，若点尸关于直线y="的对称点尸在椭圆上,

则椭圆的离心率为.

22

15.已知椭圆C：二+匕=1,点M与C的焦点不重合.若点M关于C的焦点的对称点分别为A,

94

B,线段MN的中点在C上，贝IJ4N+BN=.

16.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆过+^=1的右焦点重合，则p的值为

62

17.已知6，F2是椭圆。7+卷=l(a>b>0)的左、右焦点，过左焦点6的直线与椭圆C交于4B两

点，且|力0|=\AB\=\BF2\,则椭圆C的离心率为.

22

18.已知椭圆C：器+翥=1(。>人>0)的左焦点为RC与过原点的直线相交于A，B两点，连结

AF,BF.若AB=10,BF=8,coszXBF=支则C的离心率为.

19.过点”(1,1)作斜率为一］的直线与椭圆C：3+4=1(a>6>0)相交于A,8两点，若M是线

段AB的中点，则椭圆C的离心率等于.

20.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为马+马=l(a>0,b>0),右焦点为尸，右准

线为/,短轴的一个端点为2,设原点到直线2尸的距离为尸到/的距离为d2,若d2=&di，

则椭圆C的离心率为.

21.已知P是椭圆C的一个焦点,8是短轴的一个端点，线段2尸的延长线交C于点，且前=2FD,

则C的离心率为.

三、解答题(本大题共9小题，共108.0分)

22

22.如图，在平面直角坐标系xOy中，0,尸2分别是椭圆靠+琶=l(a>b>0)的左、右焦点，顶

点B的坐标为(0,6),连接BF2并延长交椭圆于点4过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,

连接6c

(1)若点C的坐标为且BF2=VL求椭圆的方程;

(2)若FiC1AB,求椭圆离心率e的值.

23.如图，椭圆弓+'=l(a>b>0)的左、右焦点分别为a,F2,过&的直线交椭圆于RQ两点,

(1)若|P6l=2+a,IPF2I=2—a，求椭圆的标准方程;

(2)若1PF/=|PQ|,求椭圆的离心率e.

24.已知椭圆C的方程为：x2+2y2=4.

(1)求椭圆C的离心率;

(2)设O为坐标原点，若点A在直线y=2上，点8在椭圆C上，且0410B,求线段AB长度

的最小值.

25.设出,尸2分别是椭圆及1+马2=1缶>b>0)的左、右焦点，过点尻的直线交椭圆E于4B两

az

点，\AF±\=3|BFJ

(1)若|AB|=4,AABF2的周长为16,求|明|；

(2)若cos乙4F?B=|,求椭圆E的离心率.

26.如图所示，椭圆W+^=l(a>6>0)的左、右焦点分别为&,尸2,过尸2的直线交椭圆于尸，Q

两点，且PQ1Pa.

(I)若|P0|=2+VL|PFzl=2-/，求椭圆的标准方程;

(兀)若|PFi|=|PQ|,求椭圆的离心率e.

27.已知椭圆C：g+g=l(a>/)>0)的离心率为浮过右焦点厂的直线/与C相交于4B两点，

当I的斜率为1时，坐标原点O到/的距离为1.

(I)求椭圆C的标准方程；

(n)c上是否存在点P,使得当/绕厂转到某一位置时，有赤=市+而成立？若存在，求出所

有的尸的坐标与/的方程；若不存在，说明理由.

28.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为与，且经过点

(1)求椭圆的方程；

(2)若不过点A1的直线/：丫=%+血交椭圆于4、5两点，试问直线"A、M3与x轴能否围成等

腰三角形？

2

29.已知A,B,C是椭圆W：上+y2=i上的三个点，。是坐标原点.

4，

(1)当点8是卬的右顶点，且四边形0A8C为菱形时，求此菱形的面积；

(2)当点3不是W的顶点时，判断四边形042。是否可能为菱形，并说明理由.

22

30.已知椭圆C京+3=19>6〉0)上任意一点「(％/)。。0)到椭圆左、右顶点的斜率之积为

1

4,

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若直线y=10+1)与椭圆C相交于A、B两点，若回(MB的面积为求椭圆C的方程.

答案与解析

1.答案：A

解析：

本题主要考查椭圆的定义，属于基础题.

先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义即可得到结论.

解：由椭圆的标准方程知a=5,点尸到两个焦点的距离之和为2a=10.

因为点尸到一个焦点的距离为5,

所以点尸到另一个焦点的距离为10-5=5,

故选A.

2.答案：B

解析：

本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，属于基础题.

利用椭圆［+/=1（根>0）的左焦点为&（—4,0）,可得25—爪2=16,即可求出近

解：•.・椭圆］+/=>0）的左焦点为0（一4,0）,

25—m2=16.

m>0,

■■■m—3.

故选艮

3.答案：C

解析：

本题考查了椭圆的性质及几何意义.

利用椭圆的性质，结合相似三角形，计算得结论.

解：因为力B//OP,P&lx轴于a,所以4P&。s4B04,

因此会=袈，即?—£，解得b=c,

B0b~a

所以a?=炉+©2=2C2,因此£=返

a2

所以该椭圆的离心率是它.

2

故选C.

4.答案：A

解析：

本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，属于容易题.

根据焦距可知c=1,由离心率可知a=2,即可求出A?=3,结合椭圆的焦点位置可求出椭圆的方程.

解：由题意焦距为2,离心率为点可得c=l,a=2,所以匕2=a2—c2=3,

椭圆焦点可能在无轴上，也可能在y轴上，所以椭圆方程为J+9=1或9+?=1.

故选：A

5.答案:A

解析：

本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题.

利用AAFiB的周长为4百，求出a=VI,根据离心率为手，可得c=L求出6,即可得出椭圆的方

程.

解：•・・△4&B的周长为4次，

的周长=\AFr\+\AF2\+\BFr\+\BF2\

=2a+2a=4a,

•••4a=4V

•••a=

•.*离心率为遗,

3

,c_y/3「_1

••———,c—±f

a3

•••b=Va2—c2=v2,

.•椭圆c的方程为立+竺=1.

32

故选A.

6.答案：A

解析：

本题考查椭圆的定义、简单性质，设|P&I=%，在直角三角形P&F2中，依题意可求得|P&|与|西61，

利用椭圆离心率的性质即可求得答案.

解：设仍尸21=X,

■■■PF21FrF2,"&尸2=30°,

|P居|=2x,内尸2|=次支，

又|PFi|+伊司=2a,|F/2|=2C,

2a=3x,2c-»

C的离心率为：e=^=立.

2a3

故选A.

7.答案：B

解析：

本题考查椭圆的简单性质，由题意画出图形，利用余弦定理求出|4F],可得则四边形4FBF'为矩形,

结合椭圆的对称性求得a,c的值，则椭圆的离心率可求.

在A/IFB中，由|4B|=10,|BF|=8,cos^ABF=p

结合余弦定理可得|力用=6,

.•.有|力用2+研2=|明2,

则三角形为RtA,连接2F',BF',则四边形4FBF'为矩形,

・•・2a=6+8=14,2c=10,则Q=7,c=5.

c的离心率为

故选艮

8.答案：B

解析：

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形三边大小关系、两点之间的距离公式，考查了推理能

力与计算能力，属于中档题.

22

首先借助椭圆的标准方程㊂+3=1得到。、b、c,然后借助定义转化为求|PM|-|P&I的最大值即

2516

可.

解：如图所示，

由椭圆一+匕=1可得：<2=5,b=4,c—Va2—b2=3,

2516

FA-3,0),F2(3,0),由椭圆的定义可得：\PF±\+\PF2\=2a=10,

22

|PM|+\PFr\=\PM\+2a-\PF2\=10+(|PM|-\PF2\)<10+\MF2\=10+V3+4=15,

则|PM|+|P&|的最大值为15,

故选艮

9.答案：D

解析：

主要考查椭圆与双曲线的简单性质，求得M6I与是关键，考查分析与运算能力，属于中档题.

2

解：设M6|=x,MF2I=y,,••点A为椭圆G：亍+f=1上的点，

2a=4,b=1,c=V3;

\AFr\+\AF2\=2a=4,即久+y=4；①

又四边形4&BF2为矩形，

2222

IXFJ+\AF2\=内?2/，即/+y2=(2c)=(2V3)=12,②

由①②得：出+工:.解得x=2—&，y=2+&，设双曲线C2的实轴长为2根，焦距为2〃，

贝l]2zn=\AF2\-\AFr\=y—x=2a,2n=2c=2b，

・••双曲线C2的离心率e='=1='.

故选D

10.答案:C

解析：

本题主要考查数形结合的思想和椭圆的基本性质，解题的关键是利用椭圆的第一定义.

设另一个焦点为F根据椭圆的定义可知|AB|+阳口=2a,\AC\+\FC\=2a,最后把这四段线段

相加求得AABC的周长.

解：椭圆^■+*=1的a=b，

设另一个焦点为R则根据椭圆的定义可知

\AB\+\BF\=2a=2b，\AC\+\FC\=2a=2b.

三角形的周长为：|4B|+\BF\+\AC\+\FC\=4V3.

故选C.

11.答案：B

解析：

本题重点考查了椭圆的第二定义、椭圆的几何性质等，属于中档题.

首先，作椭圆的右准线，然后，利用椭圆的第二定义，将距离转化，最后，结合直角三角形中的边

角关系求解斜率.

解：设/为椭圆的右准线，过A、B作垂直于/,名为垂足，

过8作BE14生于E,

|,|=竽田而晋

■：AF=3而，

\AE\|力甸一|幽|

•••8S的E=-

\AB\

3|BF|\BF\「

=£=工=叵

4|BF|2e3

tanZ.BAE=V2,

•••k—V2,

故选：B.

12.答案：D

解析：

本题综合考查椭圆、双曲线的定义，离心率以及余弦定理，关键在于得出椭圆的长半轴长、双曲线

的实半轴长和他们的半焦距之间的关系，进而得出椭圆、双曲线的离心率之间的关系，属于中档题.

97r

熟练掌握椭圆与双曲线的定义和性质是解题的关键；画出示意图，题目已知NF|PB二，于是有

15

Q1

IPFtl2+24c2,即3a/+(^2即不+彳=4,e26(4,7),即可求出答

\PF2\+\PFX\\PF2\==4C2,2

案

97F

解：设因尸|=皿正尸|="，3P&】，

222

知。石？+PF，i-2PFtPF,|«JS'lc

3

2

即|「&|2+\PF2\+\PF1\\PF2\=4c2,

如图：

由椭圆和双曲线定义得m+n=2alfm—n=2a2,

又加2+几2+mn—4c2,

可得：3a/+劭2=4c2,

a1

即彳+彳=4,e?26(4,7),

2_3e?2_(I4\

61-4e2」l-4-吃C(9'5人

故e",判

故选D

13.答案：D

解析：

本题考查椭圆、圆的方程，涉及到二次函数的最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档

题，

求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P,Q两点间的最大距离.

解析：

解：设椭圆上的点为(%,y)，则

•••圆/+(y—3)2=1的圆心为(0,3),半径为1,

二椭圆上的点(久,y)到圆心(0,3)的距离为d=吞2+6—3)2,

将艺+丘=1,即久2=16一丝代入d中，

251625

得d=116—+y2—6y+9=I——6y+25,

*\i25*\l25

因为—5=yW5,函数/(久)=誓一6y+25对称轴为开口向上，

所以当y=-5时，dmax=8,

P,Q两点间的最大距离是8+1=9,

故答案选D.

14.答案：店

3

解析：

本题考查椭圆的简单性质，训练了点关于直线的对称点的求法，是中档题.

求出尸关于直线y尤的对称点尸的坐标，代入椭圆方程，整理可得椭圆C的离心率.

解：椭圆C：/+'=1的右焦点尸（c,0）,

设厂关于、=[%的对称点P（x0,y。），尸尸的中点（竽，葭）

=1xXo+£（x

则：；，解得。3

右=-2（y0=-

P（^，£）,代入椭圆C：1+弓=1,得盥+芸=i,

55，a2b225a225b2

即9b2c2+16a2c2=25a2b2

・•・9(a2-c2)c2+16a2c2=25a2(a2—c2).

整理得:(e2-5)(9e2-5)=0.

解得e2=5(舍)或e2=I，

故答案为渔.

3

15.答案：12

解析：

本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，属于较易题.

画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|4N|+|BN|的值.

解：如图：

1-1

MN的中点为Q,易得QR,,NB，|Q6|=]AN|,

•••Q在椭圆C上，

；•IQ&I+\QF2\=2a=6，

MN|+|BN|=2(|Q&|+IQF2I)=12.

故答案为：12.

16.答案：4-\/2

解析：

本题考查抛物线和椭圆的简单性质，属于基础题.

首先求出抛物线的焦点为©,0),再求出椭圆的右焦点(2奁,0),即可求出p值.

解：抛物线的焦点为0,0),

而椭圆中—a2+b2=8,c=2-\/2,

所以椭圆的右焦点为(2式,0),

所以与=2V2,p=4V2.

17.答案：手

解析:

本题考查椭圆的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，属于中档题.

利用已知条件，画出图形，通过三角形的边长关系，求解椭圆的离心率即可.

解：设IB&I=3/c（k>0）则|力&|=3k,\BF2\=4k,

由椭圆的定义可得由0|+\BF2\=\AF±\+\AF2\=2a,

解得2a=5k,

在AABF2中，由余弦定理可得：=4A：2+~^6fe2=1,

-2x2A-x4

在AAFiB中，由余弦定理可得：

|&&|2=（3k）2+（2k）2—2x3kx2kx工=10k2,

则可得2c=V10k,

此时离心率e=-=^.

2a5

故答案为

18.答案:

解析：

本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率.着

重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题.

解：设椭圆的右焦点为F',连接4F'、BF',

•••4B与FF'互相平分，.•・四边形4FBF'为平行四边形，可得|86=

\AF'\=8,

,4

•・•△ABF中，\AB\=10,\BF\=8,coszXBF=

由余弦定理|4F|2=\AB\2+|BF『_2MBix\BF\COSAABF,

：.\AF\2=102+82-2X10x8X1=36,

\AF\=6,

由此可得，2a=\BF\+\BF'\=14,得a=7,

••・△48F中，\AF\2+\BF\2=100=\AB\2,

-1

AAFB=90°,可得|。尸|=5,即c=5,

因此，椭圆c的离心率0=£=3

a7

故答案为,.

19.答案：返

2

解析：

本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键.

利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为-点即可求出椭圆C的离心率.

解：设4(孙力),8(比2，%)，则1+,=1①,,+"=1②,

•••M是线段A8的中点，

•・丁丁=1，

•.・直线AB的方程是1/--1)+I,

1,、

_%=-9U1一工2,1，

•••过点”(1,1)作斜率为1V的直线与椭圆C：2今2+彳=1(>6>0)相交于43两点，M是线段AB

naz£1

的中点，

・•・①②两式相减可得等+需=0,即总+(-》•V=。，

•••a—V2b,

•••c=yja2—b2=b，

'a2

故答案为赵.

2

20.答案：立

3

解析:

根据"d2=返小”结合椭圆的半焦距,短半轴，长半轴构成直角三角形，再由等面积法可得刈=与,

从而得到。与b的关系，可求得与从而求出离心率.本题主要考查椭圆的几何性质，即通过半焦距,

a

短半轴，长半轴构成的直角三角形来考查其离心率，还涉及了等面积法.

解：如图，准线/：x=—fd=--c=—,

C2CC

由面积法得：册=些,

a

若6（2=连心，则+=nx整理得-ab—逐》？=0,

两边同除以口2,得佃（软+（今—乃=0,解得红,.

本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思

想，属于中档题.

由椭圆的性质求出田产|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出。的横坐标，再由椭圆的

第二定义求出伊。|的值，又由出产|=2|尸。|建立关于服。的方程，解方程求出?的值.

解：如图:

作轴于点。］，则由前=2而，得解=需=|，

所以,|g|=||0尸|=|c,即和=.,

由椭圆的第二定义得|FD|=e(9—苧)=a-葛

又由|BF|=2|FD|,得a=2a-9，a?=3c?,解得e="日,

故答案为业.

3

22.答案：解：(1)因为点。(表9在椭圆上，

161

所以工+2=1，

a2b2

即Hl-t1我6+1京=c9

因为BF22=b2+c2-a2,

所以a?=(V2)2=2,

所以匕2=1,

所以椭圆的方程为9+f=1；

(2)设焦点Fi的坐标为(-c,0),F2的坐标为(c，。)，

因为点B的坐标为(0,b),

所以直线的方程为y^--x+b.

（次+加=1

联立yb2整理得信+与/一.=0,

lIy=--°x+1b7a"c"c

解得久=。或X=2：c.

a2+c2

因为点A的坐标为（券b-券*）,

且A,C关于x轴对称，所以点C的坐标为（篝，等一彷,

2a2b

_^7^一匕22

所以Kacab-bc

2a2c,23

溟Rc3ac+c

因为481Ca,

Mb-be2

所以X=—1,

3a2c+c3

由炉=a2-c2,

即e=g

解析：本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间

的关系，运算量较大.

（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a,6的值；

（2）求出C的坐标，利用6C12B建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值.

23.答案：解：（1）由椭圆的定义，2a=IPF/+IPF2I=2+&+2-a=4,故a=2,

设椭圆的半焦距为c,由已知PF2，P&，因此2c=l&BI=+|PF2y=2百,

即。=V5,从而b=yja2—c2=1,

2

故所求椭圆的标准方程为二+y2=l.

4

(2)连接6Q,由椭圆的定义，|P&|+|P4l=2a,\QF1\+\QF2\=2a,

从而由|P0|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,

有|Q&|=4a—2|PF1|,

又由PQIPFi，IPFJ=\PQ\,知IQFJ=&|P6|=4a—2|P&|,

解得|Pa|=2(2-V2)a,

从而IPF2I=2a-\PFr\=2(V2-l)a,

22

由PF21PF「知2c=\F±F2\=VlPFil+\PF2\,

因此e=£=，“产『=J(2—&)2+(&_i)2=V_V2=V6-V3.

96

解析：本题考查了椭圆的定义2a=|Pa|+|PF2l，椭圆的标准方程，直角三角形的勾股定理，属于

中档题.

(1)由椭圆的定义，2a=IPFJ+〔PF2],求出。，再根据2c=|&尸21=Ji丽再干郎=2百，求

出c,进而求出椭圆的标准方程；

(2)由椭圆的定义和勾股定理，得|Q&|=&|P&|=4a—2|P&|,解得|Pa|=2(2-&)a,从而

\PF2\=2a-\PFr\=2(V2-l)a,再一次根据勾股定理可求出离心率.

29

24.答案：解：(1)椭圆。：久2+2y2=4化为标准方程为土+匕=1,

42

a=2,b=,c=,

•••椭圆C的离心率e=£=四；

a2

(口)设4(t,2),B(x0,y0),。0，则

•・•OA1OB,

・••OA•OB=0，

・•・tx+2yo=0,•>-t=一等，

0XO

•・,XQ+2yo=4,

2

.•・网2=(x0-t)+(y0-2)2=(x0+等)2+仇-2)2=瑶+羽+普+4=就+学+

£^2+4=^+^+4(0<%2<4),

“04x0

因为M+3N4(0〈诏W4),当且仅当M=3即将=4时等号成立，所以|43『28.

••・线段A3长度的最小值为2vL

22

解析：(I)椭圆C/+2必=4化为标准方程为二+匕=1,求出mc,即可求椭圆C的离心率;

(n)先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值.

本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.

25.答案:解:(1):|4B|=4,|4Fi|=3|F/|,

\AFr\=3,|&B|=1,

•••△力8尸2的周长为16,

4a=16,

\AFr\+\AF2\=2a=8,

••­\AF2\=5；

(2)设=k(k>0),则M6I=3k,|AB|=4k,

\AF2\=2a-3k,\BF2\=2a-k,

3

COS/-AF2B=

在△ABF2中，由余弦定理得，

222

\AB\=\AF2\+\BF2\-2\AF2\•\BF2\cos^AF2Bf

(4/c)2=(2a-3/c)2+(2d-fc)2——(2ci-3fc)(2ci—fc),

化简可得(a+fc)(a-3k)=0,

而a+fc>0,

故a—3k,

/.\AF2\=\AFr\=3k,\BF2\=5k,

222

\BF2\=\AF2\+\AB\,

•••AFr1AF2，

••・△266是等腰直角三角形，

解析：本题考查了椭圆的概念及标准方程、几何性质和余弦定理，考查计算能力，属中档题.

(1)利用|4B|=4,A4BF2的周长为16,|4&|=3|aB|,结合椭圆的定义，即可求|4F2k

(2)设|&B|=k也>0),则=3k,\AB\=4k,由COSN/B=利用余弦定理，可得a=3k,

从而△4尻心是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率.

26.答案：解：(I)由椭圆的定义，2a=|P6|+|P&|=2+&+2-&=4，故a=2,

设椭圆的半焦距为c,由已知PF?1PF「因此2c=I&F2I=J|P&|2+|PF2『=2V3,即c=遍，从

而b=Va2—c2=1,

2

故所求椭圆的标准方程为上+必=1.

(H)连接F1Q,由椭圆的定义，仍&|+|PBI=2a,IQF1I+IQF2I=2a,

从而由|PFi|=\PQ\=\PF2\+\QF2\,

有IQ&I=4a-2|P0|,

又由PQIPFi，|PFi|=|PQ|,知IQ&I=&|P6|=4a—2|P0|,解得|P0|=2(2—/)a,从而

\PF2\=2a-\PF1\=2(y[2-l)a,

由PF2-LPF「知2c=I&F2I=J|P6|2+|PF2『,因此e=£=川2K=

J(2—A/2)2+(V2—l)2-V9-6A/2=A/6—A/3-

解析：本题考查了椭圆的定义2a=|P&|+|PF2l，椭圆的标准方程，直角三角形的勾股定理，属于

中档题.

(I)由椭圆的定义，2a=仍6|+|PF2|,求出a,再根据2c=IaF2I=而产i7W齐=2b，求

出c,进而求出椭圆的标准方程；

(口)由椭圆的定义和勾股定理，得IQFJ=&|P0|=4a—2|P6|,解得〔PF/=2(2-/)小从而

\PF2\=2a-\PF1\=2(a-l)a,再一次根据勾股定理可求出离心率.

27.答案:解:(/)离心率为争即有e=t=争

F(c,0),直线/：y=x—c,

由坐标原点到/的距离为1,

则号=1,解得c=鱼.

所以a=2,b=c=V2,

22

则椭圆C的标准方程为七+匕=1；

42

2+

(〃)椭圆C的方程为久2必=4,设4(卬乃),B(x2,y2),

由题意知/的斜率为一定不为0,

故不妨设bx=my+\[2)

代入椭圆的方程中整理得(nt?+2)y2_|_2五my-2=0,

显然△>0.

由韦达定理有：%+力=—盥^，y，2=—W^…①

假设存在点P,使丽=OA+加成立，

则点P的坐标为(%i+x2,y1+为)，

因为点尸在椭圆上，即(的+%2)2+2(%+%)2=4.

整理得(好+2及)+(好+2秃)+2(久1%2+2yly2)=4.

又A,B在椭圆上，即婢+2比=4,好+2羽=4.

故%1%2+2yly2+2=0...②，

z

将=(血力+V2)(my2+V2)=my1y2++y2)+2及①代入②

解得62_2,

所以y[+为=±1，％]+牝=—=?71+2A/2=V2,

叱+2

BPP(V2,±1).

则当爪=加时，P(V2,-1),Z.-x=V2y+V2；

当m=—四时，P(A/X1),I；x=-V2y+V2.

解析：(1)运用椭圆的离心率公式和点到直线的距离公式，计算即可得到a,b,进而得到椭圆方程;

(〃)设力(修,%)，B(x2,y2),不妨设/：x=my+式,代入椭圆方程，运用韦达定理和点满足椭圆方

程，运用向量共线的坐标表示，化简整理，即可得到山，进而得到直线方程和尸的坐标.

本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的

坐标表示，以及直线方程的知识，属于中档题.

28.答案：解：(1)设椭圆方程为5+《=1,因为e=f，所以口2=4川，

又椭圆过点M(4,l),所以关+表=L解得02=5,a2=20,

故椭圆方程为狂+(=1

205

(2)将y—x+m代入器+y=1并整理得5久2+Qmx+4m2—20=0,

再根据△=(8m)2-20(4m2-20)>0,求得5>m>-5.

设直线MA,MB斜率分别为自和电，

设2(*1，%)，B(x2,y2),则比1+久2=一詈，X62=W，

.k+k=yiT|了2_1_(-1-1)(汽2-4)+(丫2