微探究小专题1　根的判别式的应用

第二十一章一元二次方程微探究小专题1根的判别式的应用

判断一元二次方程根的情况1.关于

x

的方程

x2－3

kx

－2＝0的实数根的情况，下列判断正确的是(

B

)A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.有一个实数根【解析】∵

b2－4

ac

＝(－3

k

)2－4×1×(－2)＝9

k2＋8＞0，∴方程有两

个不相等的实数根.B12345678910112.若直线

y

＝

x

＋

a

不经过第二象限，则关于

x

的方程

ax2－3

x

＋1＝0的

实数根的个数为(

C

)A.0个B.1个C.2个D.1个或2个【解析】由直线

y

＝

x

＋

a

不经过第二象限可得

a

＜0，则

ax2－3

x

＋1＝0的Δ＝

b2－4

ac

＝9－4

a

＞0，∴方程有两个不相等的实数根.C12345678910113.小刚在解关于

x

的方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0)时，只抄对了

a

＝1，

b

＝4，解出其中一个根是

x

＝－1，他核对时发现所抄的

c

比原方程的

c

值小2，则原方程的根的情况是(

A

)A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根C.有一个根是

x

＝－1D.有两个相等的实数根A12345678910114.已知

a

，

b

是实数，定义：

a

※

b

＝

ab

＋

a

＋

b

.若

m

是常数，则关于

x

的方程

x

※(

mx

)＝－1，下列说法正确的是(

A

)A.方程一定有实数根B.当

m

取某些值时，方程没有实数根C.方程一定有两个相等的实数根D.方程一定有两个不相等的实数根A1234567891011【解析】由定义可得方程为

mx2＋

x

＋

mx

＝－1，整理成一般形式为

mx2＋(1＋

m

)

x

＋1＝0，∴Δ＝

b2－4

ac

＝(1＋

m

)2－4

m

＝(

m

－1)2≥0.

∴方程有两个实数根.1234567891011

确定方程中字母的取值或范围5.若关于

x

的一元二次方程

x2－2

x

－

k

＝0没有实数根，则

k

的值可以是

(

A

)A.－2B.－1C.0D.1A12345678910116.若关于

x

的方程

x2－2

x

－

m

＝0有实数根，则符合条件的负整数

m

有

(

C

)A.3个B.2个C.1个D.0个【解析】由方程

x2－2

x

－

m

＝0有实数根可得

b2－4

ac

≥0，∴4＋4

m

≥0，解得

m

≥－1.则负整数

m

的值只有－1，故只有1个.C12345678910117.已知一元二次方程3

x2＋2

x

＝0的常数项被墨水污染，当此方程有

实数根时，被污染的常数项可以是(

D

)A.3B.2C.1D.0

D12345678910118.已知关于

x

的一元二次方程(

a

＋1)

x2＋2

bx

＋(

a

＋1)＝0有两个相等的

实数根，则下面说法正确的是(

C

)A.1一定不是方程

x2＋

bx

＋

a

＝0的根B.0一定不是方程

x2＋

bx

＋

a

＝0的根C.－1可能是方程

x2＋

bx

＋

a

＝0的根D.1和－1都是方程

x2＋

bx

＋

a

＝0的根C12345678910119.已知关于

x

的一元二次方程2

x2－3

x

＋

k

＝0有两个不相等的实数根.求

k

的取值范围.

123456789101110.已知关于

x

的一元二次方程

x2－(

k

＋2)

x

＋

k

－1＝0.(1)求证：无论

k

取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(1)证明：∵

a

＝1，

b

＝－(

k

＋2)，

c

＝

k

－1，∴Δ＝

b2－4

ac

＝[－(

k

＋2)]2－4×1×(

k

－1)＝

k2＋8＞0，∴无论

k

取何值，该方程都有两个不相等的实数根.(2)已知5是关于

x

的方程

x2－(

k

＋2)

x

＋

k

－1＝0的一个根，而这个方程

的两个根恰好是等腰△

ABC

的两条边长，求△

ABC

的周长.