4.1.3同角基本关系的综合应用（教学设计）高一数学（北师大版2019）

北师大版必修第二册第四章《三角恒等变换》4.1.3同角基本关系的综合应用（教学设计）【教学目标】1.掌握同角基本关系进行三角函数式的求值、化简；（数学运算）2.掌握同角基本关系进行三角函数式的证明（逻辑推理）【教学重点】同角基本关系进行三角函数式的求值、化简【教学难点】同角基本关系进行三角函数式的证明【教学过程】一、复习回顾，提出问题请同学们复习回顾三角函数的同角基本关系.1.同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1.（2）商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z).2.同角三角函数的基本关系的变形（1）sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.（2）tanα＝eq\f(sinα,cosα)的变形公式：sinα＝cosαtanα；cosα＝eq\f(sinα,tanα)，cos2α=1tan2上节课我们已经学习了“知一求二”，只要知道一个三角函数值，就能求出另外两个三角函数的值，那么这节课，如果已知正切的值，能求出一个三角函数式的值吗？例如已知tanα＝2，如何求出下列代数式的值eq\f(4sinα－2cosα,5cosα＋3sinα).从问题出发，若能将eq\f(4sinα－2cosα,5cosα＋3sinα)化为只含有tanα，那么问题就解决了，如何能将弦化为切呢？用哪个三角函数关系式进行化简呢？请同学们结合商数关系进行联想，分式中各项含三角函数的次数是一致的，若eq\f(4sinα－2cosα,5cosα＋3sinα)每部分都除以cosα的值，化简后是否就只含tanα的值.二、抽象概括，得出概念关于sinα，cosα的齐次式的求值方法（1）关于sinα，cosα的齐次式，就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子，且每一项的次数相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，原式可化为关于tanα的式子，再代入求值.（2）关于三角函数的代数式中不含分母，则可以视其分母为1，灵活地进行1＝sin2α＋cos2α的代换，再将分子、分母同除以cos2α，构造出关于tanα的代数式.三、典例剖析，理解概念例1已知tanα=3，求cosα-2解：由tanα=sinα将分式cosα-2sinαcosα-2例2．已知2sinθ=cosθ，解：由2sinθ=cos所以3sin【当堂训练】1．在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边为x的非负半轴，终边经过点(-1,2).(1)求sinα与tan(2)求sinα+3cos(3)求1+sinα解：（1）点(-1,2)到原点的距离r=(-1)所以sinα=（2）sinα+3（3）1+sin四、迁移应用，掌握概念1.三角函数式的化简三角函数式的化简就是代数式的恒等变形，要求使结果尽可能简单，也就是项数尽可能少，次数尽可能低，函数种类尽可能少，式子中尽量不含根号，能求值的一定要求值.(1)化“切”为“弦”，即把正切函数化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.(2)对于含有根号的式子，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于含高次三角函数式的式子，往往借助因式分解或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.eq\o(,,\s\do4(,))例3．化简：eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(tanα－sinα,tanα＋sinα)).解原式＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(（1－cosα）2,1－cos2α))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(1－cosα,|sinα|)＝eq\f(sinα,|sinα|)＝±1.【当堂训练】1.求1-2sin解：依题意1-2sin2.证明三角恒等式的方法证明三角恒等式的过程实质上是化异为同的过程，常用以下方法：(1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简.(2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一).(3)证左边－右边＝0或eq\f(左边,右边)＝1(右边≠0).(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立eq\o(.,\s\do4(,))课本P149例6求证：cos分析：方法一：式子左边分子分母同乘以cosα，再利用平方关系，变形分子即可得证解：[方法一]：【最优解】左边＝cos2αcosα(1-sinα)＝1-[方法二]：右边＝(1+sinα)(1-sinα)cosα(1-sinα)[方法三]：左边＝cos2右边＝(1+sinα)(1-sinα)(1-sinα)cosα＝[方法四]：∵cosα1-sinα－1+sina∴等式成立.[方法五]：左边＝cosα1-sinα＝cosα(1+sin[方法六]：∵(1－sinα)(1＋sinα)＝1－sin2α＝cos2α，∴cosα1-sin[方法七]：若证cosα1-sinα＝1+sinacosα成立，只需证cosα·cosα＝(1－即证cos2α＝1－sin2α，此式成立，∴原等式cosα1-sinα【方法点拨】方法一：利用平方关系，从左边证到右边，是证明题的通性通法；方法二：利用平方关系，从右边证到左边；方法三：利用左边=中间，右边=中间证出；方法四：利用作差法证出；方法五：利用平方关系，从左边证到右边；方法六：根据平方关系变形证出；方法七：根据分析法证出.课本P149例7求证：1-2sin分析：利用同角的正弦余弦的平方和等于1，可证左边=cosθ-sinθ证明：因为左边==sin右边=cos所以1-2【当堂训练】课本P150A组第3题3．求证：(1)1+2sin(2)tan2(3)cosα-1(4)sin证明：（1）左边=1+2sinx（2）左边=tan2θ-（3）左边=cosα-12（4）左边=sin4x+cos五、当堂检测，巩固达标1．已知cos100°=k，则cos10°=（A．k B．-k C．1-k2 D（多选题）2．已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（

）A．cosx1+sinC．sin53∘-x3．已知锐角α满足6cos2α-cos【参考答案】1．C【详解】cos10°=故选