高考数学（理）一轮讲义第43讲空间向量及其运算

第43讲空间向量及其运算考纲要求考情分析命题趋势1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．2．会推导空间两点间的距离公式.2017·全国卷Ⅲ，162016·山东卷，17空间直角坐标系、空间向量及其运算在高考中主要作为解题工具，解决直线、平面的平行、垂直位置关系的判定等问题.分值：3分1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为__0__的向量0单位向量长度(模)为__1__的向量相等向量方向__相同__且模__相等__的向量a＝b相反向量方向__相反__且模__相等__的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相__平行或重合__的向量a∥b共面向量平行于同一个__平面__的向量2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在实数λ，使得__b＝λa__.推论如图所示，点P在l上的充要条件是eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta.①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，则①可化为eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))＝__(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))__.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝__xa＋yb__，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))或对空间向量任意一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝__eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))__或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))，其中x＋y＋z＝__1__.(3)空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝__λ1e1＋λ2e2＋λ3e3__，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫做这个空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作__〈a，b〉__，其范围是__0≤〈a，b〉≤π__，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则称a与b__互相垂直__，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则__|a||b|cos〈a，b〉__叫做向量a，b的数量积，记作__a·b__，即a·b＝__|a||b|cos〈a，b〉__.(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝__λ(a·b)__；②交换律：a·b＝__b·a__；③分配律：a·(b＋c)＝__a·b＋a·c__.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·b__a1b1＋a2b2＋a3b3__共线a＝λb(b≠0，b∈R)__a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3__垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0__模|a|__eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))__夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(√)(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.(×)(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(×)(4)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角(×)2．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq\o(BM,\s\up6(→))相等的向量是(A)A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c解析eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1M,\s\up6(→))＝－a＋c＋eq\f(1,2)(a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.3．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是(A)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),10)，\f(2\r(2),5)，－\f(\r(2),2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(2),10)，－\f(2\r(2),5)，\f(\r(2),2)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),10)，\f(2\r(2),5)，－\f(\r(2),2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(2),10)，－\f(2\r(2),5)，\f(\r(2),2)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),10)，\f(2\r(2),5)，\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(2),10)，－\f(2\r(2),5)，－\f(\r(2),2)))解析因为与向量a共线的单位向量是±eq\f(a,|a|)，又因为向量(－3，－4,5)的模为eq\r(－32＋－42＋52)＝5eq\r(2)，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±eq\f(1,5\r(2))(－3，－4,5)＝±eq\f(\r(2),10)(－3，－4,5)，故选A．4．如图，在四面体O－ABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq\o(OE,\s\up6(→))＝__eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c__(用a，b，c表示)．解析eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.5．已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为__1或－3__.解析∵|a|＝eq\r(22＋42＋x2)＝6，即x＝±4，又∵a⊥b，即a·b＝0，即4＋4y＋2x＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝1，))故x＋y＝1或x＋y＝－3.一空间向量的线性运算用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．【例1】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量．(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).解析(1)∵P是C1D1的中点，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中点，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M是AA1的中点，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.二共线定理、共面定理的应用(1)证明点共线的方法：证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A，B，C三点共线，即证明eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共线，亦即证明eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ≠0)．(2)证明点共面的方法：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))或对空间任一点O，有eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．【例2】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))．证明(1)如图，连接BG，则eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→)).由共面向量定理的推论知：E，F，G，H四点共面．(2)因为eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，所以EH∥BD．又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG，如图所示．由(2)知eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，同理eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，所以eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(FG,\s\up6(→))，即EHFG，所以四边形EFGH是平行四边形．所以EG，FH交于一点M且被M平分．故eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OG,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→))))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OC,\s\up6(→))＋\o(OD,\s\up6(→))))＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))．三空间向量数量积的应用数量积的应用(1)求夹角，设向量a，b所成的角为θ，cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，进而可求两异面直线所成的角．(2)求长度(距离)，运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．(3)解决垂直问题，利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．【例3】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．(1)求证MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．解析(1)证明：设eq\o(AB,\s\up6(→))＝p，eq\o(AC,\s\up6(→))＝q，eq\o(AD,\s\up6(→))＝r.由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(q＋r－p)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(q＋r－p)·p＝eq\f(1,2)(q·p＋r·p－p2)＝eq\f(1,2)(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0.∴eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，即MN⊥AB．同理可证MN⊥CD．(2)由(1)可知eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(q＋r－p)，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)(q＋r－p)2＝eq\f(1,4)[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]＝eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2＋a2＋a2＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2)－\f(a2,2)－\f(a2,2)))))＝eq\f(1,4)×2a2＝eq\f(a2,2).∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(2),2)a.∴MN的长为eq\f(\r(2),2)a.(3)设向量eq\o(AN,\s\up6(→))与eq\o(MC,\s\up6(→))的夹角为θ.∵eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(q＋r)，eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝q－eq\f(1,2)p，∴eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(q＋r)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q－\f(1,2)p))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q2－\f(1,2)q·p＋r·q－\f(1,2)r·p))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－\f(1,2)a2cos60°＋a2cos60°－\f(1,2)a2cos60°))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－\f(a2,4)＋\f(a2,2)－\f(a2,4)))＝eq\f(a2,2).又∵|eq\o(AN,\s\up6(→))|＝|eq\o(MC,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)a，∴eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))＝|eq\o(AN,\s\up6(→))||eq\o(MC,\s\up6(→))|cosθ＝eq\f(\r(3),2)a×eq\f(\r(3),2)a×cosθ＝eq\f(a2,2).∴cosθ＝eq\f(2,3).∴向量eq\o(AN,\s\up6(→))与eq\o(MC,\s\up6(→))的夹角的余弦值为eq\f(2,3)，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为eq\f(2,3).1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，如果a与b为共线向量，则(C)A．x＝1，y＝1 B．x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,6)，y＝－eq\f(3,2) D．x＝－eq\f(1,6)，y＝eq\f(3,2)解析∵a＝(2x,1,3)与b＝(1，－2y,9)共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝2λx，,－2y＝λ，,9＝3λ，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,6)，,y＝－\f(3,2).))2．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E＝2EB，CF＝2AF，则EF与平面A1B1CD的位置关系为__EF∥平面A1B1CD__解析以D为原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，由A1E＝2EB，CF＝2AF，则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2,3)，\f(1,3)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)，0))，C(0,1,0)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，－\f(1,3)，－\f(1,3)))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(－1,0，－1)，设n＝(x，y，z)为平面A1B1CD的法向量，则有n⊥eq\o(A1B1,\s\up6(→))，n⊥eq\o(A1D,\s\up6(→))，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,－x－z＝0，))令x＝1，得z＝－1，即n＝(1,0，－1)，eq\o(EF,\s\up6(→))·n＝，∴eq\o(EF,\s\up6(→))⊥n，∴EF∥平面A1B1CD．3．三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))表示eq\o(MG,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→)).解析eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→))－\o(OA,\s\up6(→))))＝－eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).4．(2018·湖南张家界模拟)如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60(1)求AC1的长；(2)求证：AC1⊥BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值．解析(1)记eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA,\s\up6(→))1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)＋\f(1,2)))＝6，∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，即AC1的长为eq\r(6).(2)证明：∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b－a，∴eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(a＋b＋c)(b－a)＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝b·c－a·c＝|b|·|c|cos60°－|a||c|cos60°＝0.∴eq\o(AC1,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，∴AC1⊥BD．(3)由题意知eq\o(BD1,\s\up6(→))＝b＋c－a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，则|eq\o(BD1,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.∴cos〈eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BD1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BD1,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(6),6).∴AC与BD1夹角的余弦值为eq\f(\r(6),6).易错点空间向量概念不清致误错因分析：将a，b同向和a∥b混淆，没有搞清a∥b的意义是a，b方向相同或相反．【例1】已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为________.解析由题意知a∥b，所以eq\f(x,1)＝eq\f(x2＋y－2,2)＝eq\f(y,3)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x，①,x2＋y－2＝2x，②))把①代入②得x2＋x－2＝0，(x＋2)(x－1)＝0，解得x＝－2或x＝1，当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－6))时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，两向量a，b反向，不符合题意，所以舍去．当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3))时，b＝(1,2,3)＝a，a与b同向，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3.))答案1,3【跟踪训练1】(2018·湖北宜昌一中模拟)已知四边形ABCD满足：eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>0，eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))>0，eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))>0，eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))>0，则该四边形为(D)A．平行四边形 B．梯形C．长方形 D．空间四边形解析由已知得eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＜0，eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＜0，eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＜0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＜0，由夹角的定义知∠B，∠C，∠D，∠A均为钝角，故A，B，C项不正确．课时达标第43讲[解密考纲]空间向量及其应用的考查以解答题为主，多作为解答题的第二种解法(第一种解法为几何法，第二种解法为向量法)，难度中等．一、选择题1．点M(－8,6,1)关于x轴的对称点的坐标是(A)A．(－8，－6，－1) B．(8，－6，－1)C．(8，－6,1) D．(－8，－6,1)解析结合空间直角坐标中，点关于x轴对称的点的坐标特点知选项A正确．2．O为空间任意一点，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，则A，B，C，P四点(B)A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．无法判断解析∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，且eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝1，∴A，B，C，P四点共面．3．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)x－2a，则x＝(B)A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)解析∵b＝eq\f(1,2)x－2a，∴x＝4a＋2b即x＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)4．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(B)A．9 B．－9C．－3 D．3解析由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝7，,x＋2y＝6，,－3x＋3y＝λ，))解得λ＝－9.5．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(C)A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确解析由n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，∵n1和n2不平行，∴α与β不平行；又∵n1·n2＝－6－3－20＝－29≠0，∴α与β不垂直．6．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))两两夹角均为60°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AA1,\s\up6(→))|＝3，则|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝(A)A．5 B．6C．4 D．8解析由题可得，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))，故eq\o(AC1,\s\up6(→))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(AA1,\s\up6(→))2＋2(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝1＋4＋9＋2(1×2＋1×3＋2×3)cos60°＝25，故|AC1|＝5.二、填空题7．在空间直角坐标系中，点P(1，eq\r(2)，eq\r(3))，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为__(0，eq\r(2)，eq\r(3))__.解析依题意知，垂足Q为点P在平面yOz上的投影，则点Q的纵、竖坐标与点P的纵、竖坐标相等，横坐标为0.8．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(OC1,\s\up6(→))，则eq\o(OC1,\s\up6(→))＝__eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))__.解析由题意知eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)).9．已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，则|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝__eq\f(\r(77),3)__.解析设P(x，y，z)，故eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－1，y－2，z－1)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－1－x,3－y,4－z)，又eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝2－1－x，,y－2＝23－y，,z－1＝24－z，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,3)，,y＝\f(8,3)，,z＝3，))∴P(－eq\f(1,3)，eq\f(8,3)，3)，∴|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)－1))2＋3－12)＝eq\f(\r(77),3).三、解答题10．如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1F⊥C1E(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→)).解析(1)E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．(2)证明：∵A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，∴eq\o(A1F,\s\up6(→))＝(－x，a，－a)，eq\o(C1E,\s\up6(→))＝(a，x－a，－a)，∴eq\o(A1F,\s\up6(→))·eq\o(C1E,\s\up6(→))＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，∴eq\o(A1F,\s\up6(→))⊥eq\o(C1E,\s\up6(→))，∴A1F⊥C1E.(3)证明：∵A1，E，F，C1四点共面，∴eq\o(A1E,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))共面．选eq\o(A1E,\s\up6(→))与eq\o(A1C1,\s\up6(→))为一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使eq\o(A1F,\s\up6(→))＝λ1eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋λ2eq\o(A1E,\s\up6(→))，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＝－aλ1，,a＝aλ1＋xλ2，,－a＝－aλ2，))解得λ1＝eq\f(1,2)，λ2＝1.于是eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→)).11．如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求证：平面PAD⊥平面PDC．证明以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(