北京市第一○一中学2025届高三上学期开学检测数学试题（解析）

北京一零一中2025届高三数学统考一一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，结合交集的定义与运算即可求解.【详解】由题意知，，又，所以.故选：B2.若，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质可得，排除ABD，再根据不等式性质判断C即可.【详解】对ABD，因为，故，又，故，故，即，故ABD错误；对C，，故，又，因为，且，故，故，即，则，故C正确；故选：C3.在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点的初始位置坐标为，则运动到分钟时，动点所处位置的坐标是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算出运动分钟时动点转动的角，再利用诱导公式可求得结果.【详解】每分钟转动一周，则运动到分钟时，转过的角为.设点的初始位置的坐标为，则，，运动到3分钟时动点所处位置的坐标是.由诱导公式可得，，所以，点的坐标为.故选：C.【点睛】本题考查点的坐标的求解，考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是（）A.0.999 B.0.981 C.0.980 D.0.729【答案】B【解析】【分析】求出开关1、2均正常工作的概率及开关3正常工作的概率，由相互独立事件概率公式、对立事件的概率公式即可得解.【详解】由题意，开关1、2在某段时间内均正常工作的概率，开关3正常工作的概率，故该系统正常工作的概率,所以该系统的可靠性为.故选：B.5.若函数y＝(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则loga＋loga＝()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】先分析得到a＞1，再求出a=2,再利用对数的运算求值得解.【详解】由题意可得a－ax≥0，ax≤a，定义域为[0，1]，所以a>1，y＝在定义域为[0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f(0)＝＝1，f(1)＝0，所以a＝2，所loga＋loga＝log2＋log2＝log28＝3.故选C【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6.若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意得，即求，利用基本不等式，可解得，进而得到，进而可求解.【详解】至少存在一组使得成立，即，又由两个正实数满足，可得，当且仅当，即时，等号成立，，故有，解得，故，所以实数的取值范围是故选：C.7.设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当时，的解析式为（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当时，由可得出的表达式；当时，由函数的周期性和奇偶性可得出.综合可得结果.【详解】当时，，，当时，，，因为函数为偶函数，则，综上所述，当时，.故选：C.8.2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强､视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用､城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处点的高度，小王在场馆内的两点测得的仰角分别为（单位：），且，则大跳台最高高度（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别在和中，求得OB，OA，然后在中，利用余弦定理求解.【详解】解：在中，，在中，，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，故选：C9.若函数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据题意分析可知为奇函数且在R上单调递增，分析可知等价于，即可得结果.【详解】由题意可知：的定义域为R，且，若，则，可知，若，同理可得，所以为奇函数，作出函数的图象，如图所示，由图象可知在R上单调递增，若，等价于，等价于，等价于，所以“”是“”的充要条件.故选：C.10.已知,,若存在,使得,则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由题意可知，且f(x)在R上单调递减，所以函数f(x)只有一个零点2.即，得．函数在区间(1,3)上存在零点，由=0，得令，，所以h(x)在区间(1,2)上单调递增，在区间（2,3）上单调递减，,，所以只需即有零点．选B.【点睛】要学会分析题中隐含的条件和信息，如本题先观察出f(x)的零点及单调性是解题的关键，进一步转化为函数在区间(1,3)上存在零点，再进行参变分离，应用导数解决．二、填空题共5小题.11.已知复数，则______．【答案】2【解析】【分析】由复数的运算和共轭复数的定义计算求出结果即可.【详解】由题意可得，所以，所以，故答案为：2.12.已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中项的系数为20，则实数的值为__________.【答案】##0.5【解析】【分析】根据二项展开式中二项式系数的特点得到，然后利用二项式的通项列方程，解方程即可得到.【详解】因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以，二项式的通项为，令，解得，所以展开式中项为，，解得.故答案为：.13.设D为内一点，且，则与的面积比为__________.【答案】【解析】【分析】先由已知求得，接着以为邻边作平行四边形，连接交于点，于是有，从而推出，再结合和三角形同高即可得解.【详解】由题得，所以，所以即，如图所示，以为邻边作平行四边形，连接交于点，则，所以即，又和高相等，所以.故答案为：.14.等比数列的前项和为，能说明“若为递增数列，则”为假命题的一组和公比的值为_______，_______．【答案】①.②.（答案不唯一）【解析】【分析】由题意，等比数列为递增数列，且，取一组符合条件的和公比即可.【详解】“若为递增数列，则”为假命题，所以若为递增数列，则，，则，等比数列为递增数列，且，则和公比，满足题意.故答案为：；15.已知正项数列满足，，则在下列四个结论中，①；②是递增数列；③；④.其中所有正确结论的序号是______.【答案】②③④【解析】【分析】利用递推公式计算可得①错误；由的结果可得②正确；把的结果进行放大和缩小可得③④正确.【详解】对于①：由已知可得，解得，因为，所以，故①错误；对于②：，又，所以，即是递增数列，故②正确；对于③：由②可得，因为，所以，故③正确；对于④：因为，所以，所以，即，故④正确；故答案为：②③④.三、解答题共6小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知{an}等差数列，满足，，数列{bn}满足，，且是等比数列.（1）求数列{an}（2）求数列{bn}的前【答案】（1），；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列{bn}试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得d===3．∴an=a1+（n﹣1）d=3n设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则q3===8，∴q=2，∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1，∴bn=3n+2n﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=3n+2n﹣1，∵数列{3n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为1×=2n﹣1，∴数列{bn}的前n项和为；考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和．17.已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题．（1）求的值；（2）若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围．条件①：对任意的，都有成立；条件②：；条件③：．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）根据所选条件分别计算能否使fx成立，从而可求解（2）根据（1）中可得，再利用整体代换法得，从而可求得，再结合m>0，从而可求解.【小问1详解】由，若选条件①：可知当时，，因为，即，且对任意，都有恒成立，故选条件①时fx存在，故可选①；若选条件②：，解得或，，因为，所以与条件矛盾，故不选②；若选条件③：，所以，因为，可得，故条件③能使fx成立，故可选③；综上所述：故可选择条件①或③，此时.【小问2详解】由（1）知，当时，，且fx的最小值为，所以可得，解得，又m>0，所以，所以的取值范围为.18.在中，，.求：（1）的值；（2）和面积的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用辅助角公式将题设化成，根据内角范围求出角即得；（2）由正弦定理求得，结合条件确定依次求出角和边、.【小问1详解】由可得，即.又则故或解得或因，则不是最大角，故得，所以【小问2详解】由正弦定理，可得.则因为，由余弦定理，，则故则19.某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷.规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会.现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表：2022年2023年通过未通过通过未通过第一次60人40人50人50人第二次70人30人60人40人第三次80人20人人人假设每次考试是否通过相互独立.（1）从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率；（2）小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率；（3）若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则的最小值为下列数值中的哪一个？（直接写出结果）的值838893【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据相互独立的事件的概率求解即可；（2）根据相互独立的事件的概率求解即可；（3）分别求出2022年和2023年考生成绩的合格率，列出不等式即可求解.【小问1详解】记事件：“2022年第次参加考试的考生通过考试”，，记事件：“2023年第次参加考试的考生通过考试”，，则，，从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率为；【小问2详解】，，，小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率为；【小问3详解】2022年考生成绩合格的概率为,2023年考生成绩合格的概率为，要使2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则，解得.故的最小值为.20.设函数，.曲线在点处的切线方程为.（1）求a的值；（2）求证：方程仅有一个实根；（3）对任意，有，求正数k的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据切点在曲线和切线上可得；（2）分，，，利用导数讨论单调性，通过单调性讨论即可得证；（3）令，分，两种情况，利用导数讨论最值即可得解.【小问1详解】解：因为，所以，又点在切线上，所以，所以，即.【小问2详解】证明：欲证方程仅有一个实根，只需证明仅有一个零点，令，则，令，则，讨论：（1）当时，，所以hx在0,+∞上单调递增，所以，即，所以在0,+∞上单调递增，，即此时无零点；（2）当时，，即此时有一个零点；（3）当时，所以，当时，gx<0综上可得，仅有一个零点，得证.【小问3详解】当x∈0,+∞时，，即令，则，由（Ⅱ）可知，x∈0,+∞所以，讨论：（1）当时，因为，所以，即，所以，即当时，，所以在x∈0,+所以恒成立，即满足条件，（2）当时，由可知，又，所以存在，使得，所以，当x∈0,x0时，当x∈x0,+∞所以，即不能保证恒成立，综上可知，正数k的取值范围是.【点睛】思路点睛：根据不等式恒成立求参数范围常用方法：（1）参变分离，将问题转化函数最值问题；（2）根据参数分类讨论，利用导数求函数最值即可求解.21.定义为有限项数列的波动强度.（1）当时，求；（2）若数列满足，求证：；（3）设各项均不相等，且交换数列中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列一定是递增数列或递减数列【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据绝对值的定义可得；（2）要证明题设不等式，可通过作差，去掉绝对值可得，同理当也类似讨论可得结论；（3）我们首先对（2）重新认识，由（2）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变．（将此作为引理），递增与递减只要证一个，另一个同理可得，如我们证递减，当时，先证明，再用反证法即可证明.【小问1详解】【小问2详解】证明：因为，，所以因为，所以，或.