安徽省合肥市第四中学2025届高三上学期教学诊断检测（二）数学试题（解析版）

第1页/共1页合肥四中2022级高三同步诊断（二）数学学科一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，若，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的包含关系直接得到参数的取值范围；【详解】解：因为，且，所以；故选：A2.“”的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由集合的包含关系直接判断即可.【详解】，因为，所以是的必要不充分条件.故选：B.3.函数在区间上的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】利用导数分析函数在区间上的单调性，进而可求得函数在区间上的最大值.【详解】对于函数，.当时，；当时，.所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以，.故选：C.【点睛】利用导数求解函数在区间上的最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数在内所有使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．4.已知命题p：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（）.A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由命题为真命题，则，解不等式得出实数的取值范围即可．【详解】命题为假命题，所以为真命题，则，解得故选：D5.若对于任意实数都有,则A.3 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】由对于任意实数都有，令得到的方程组，求出，由此能求出的值．【详解】解：对于任意实数都有，，解得，．故选．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和符号性逐项分析判断.【详解】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，故AC错误；又因为当时，则，可知，此时的符号性与的符号性一致，故D错误；故选：B.7.已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由可得，故可得在上单调递增，然后分，和三种情况进行求范围即可【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是，所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以，对任意的，，且，都有成立，所以，令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增，由是上的奇函数可得是上的偶函数所以在上单调递减，当时，不等式得到，矛盾；当时，转化成即，所以；当时，转化成，，所以，综上所述，不等式的解集为故选：D8.若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设切点，根据导数的几何意义求得切线方程，再根据切线过点，结合韦达定理可得的关系，进而可得的关系，再利用导数即可得出答案.【详解】设切点，则切线方程为，又切线过，则，有两个不相等实根，其中或，令或，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，，，当时，，当时，，所以，即.故选：D.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知实数、满足，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用特殊值法可判断AC选项；利用函数的单调性可判断B选项；利用函数的单调性可判断D选项.【详解】因为实数、满足，对于A选项，取，，则，A错；对于B选项，对于函数，该函数的定义域为，，当且仅当时，等号成立，所以函数在上为增函数，因为，则，则，B对；对于C选项，取，，则，C错；对于D选项，对于函数，该函数的定义域为，，当且仅当时，等号成立，所以，函数在上为增函数，因为，则，即，D对.故选：BD.10.下列选项中，正确的是（）A.若，则.B.若不等式的解集为，则C.若，且，则的最小值为9D.函数且的图象恒过定点【答案】AC【解析】【分析】根据命题的否定即可判断选项A正误，根据一元二次不等式解集和一元二次方程根之间的关系，再利用韦达定理，即可判断选项B正误，根据“1”的代换，即可得选项C正误，根据恒过0,1，即可得选项D的正误.【详解】由题知,“”的否定是“”，故选项A正确;若不等式的解集为，则的两根为且，根据韦达定理有:，解得，所以，故选项B错误;因为,所以,当且仅当,即时等式成立，故的最小值为9，故选项C正确.因为恒过0,1，所以恒过，故选项D错误;故选：AC.11.已知函数，则（）A.的图象关于对称B.C.D.在区间上的极小值为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，通过计算，比较与的关系进行判断，对于B，结合基本不等式分析判断，对于C，举例判断，对于D，对函数求导后，求出其单调区间，进而求出极值判断.【详解】对于A，因为，所以的图象关于对称，所以A正确，对于B，，当且仅当，即时取等号，所以B正确，对于C，因为，所以C错误，对于D，由，得，当时，，所以，当时，，令，则，所以在上递减，当时，，所以，所以，所以，当时，，所以，所以，所以，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值，所以的极小值为，所以D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：此题考查诱导公式的应用，考查利用导数求函数的极值，解题的关键是对函数求导后，对其变形，再次构造函数，利用导数判断其单调性，考查计算能力，属于较难题.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.方程的一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】利用一元二次方程根的分布与系数的关系，结合二次函数的性质即得．【详解】∵方程的一根大于1，另一根小于1，

令，

则，解得.故答案为：.13.已知函数的定义域为，且函数为奇函数，若，则___________.【答案】【解析】【分析】由函数为奇函数，对进行赋值即可得到答案.【详解】已知函数为奇函数，则，即，又，则.又，，故.故答案为：.14.若不等式恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】将不等式变形为，构造函数，得到在上单调递增，从而将问题转化为恒成立，令，利用导数求出的最大值即可求解.【详解】由，则等价于，两边加，可得，即，令，则等价于，因为，所以在上单调递增，所以等价于，即，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；故，所以，即，故实数的取值范围是，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将已知不等式变形为，构造函数研究单调性和最值.四､解答题：本题共4小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知幂函数在上单调递减.（1）求实数的值；（2）若，求实数取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性即可求得.（2）构造函数，根据其单调性即可求出实数的取值范围.【小问1详解】因为幂函数，所以，即，解得或，又因幂函数在上单调递减，所以，即，则（舍去），所以.【小问2详解】因为，，则，因为在上单调递增，所以，则，所以实数的取值范围为.16.经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量（升与速度（千米每小时）的关系可近似表示为：（1）该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？（2）已知，两地相距120公里，假定该型号汽车匀速从地驶向地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？【答案】(1)65km/h(2)当速度为120km/h时，总耗油量最少．【解析】【分析】（1）分类讨论，求出函数的最小值，比较可得结论；（2）分类讨论，利用基本不等式、函数的单调性，即可得出结论．【详解】解：（1）当时，，，有最小值当，函数单调递减，故当时，有最小值10因，故时每小时耗油量最低（2）设总耗油量为由题意可知①当时，当且仅当，即时，取得最小值16②当时，为减函数当，取得最小值10，所以当速度为120时，总耗油量最少．【点睛】本题主要考查函数最值的应用，考查函数模型的建立，考查函数的单调性，利用基本不等式是解决本题的关键．17.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可.小问1详解】当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即.【小问2详解】解法一：因为的定义域为R，且，若，则对任意x∈R恒成立，可知在R上单调递增，无极值，不合题意；若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，由题意可得：，即，构建，则，可知在0,+∞内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为1,+∞解法二：因为的定义域为R，且，若有极小值，则有零点，令，可得，可知与有交点，则，若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，符合题意，由题意可得：，即，构建，因为则在0,+∞内单调递增，可知在0,+∞内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为1,+∞18.某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第次传球传给甲运动员的概率为.（1）求，；（2）求的表达式；（3）设，证明：.【答案】（1），（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题