2025届新高三开学摸底联合教学质量检测解析版

2025届新高三开学摸底联合教学质量检测解析版数学试卷满分150分，考试用时120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C．0,1 D．2,3【答案】A【详解】因为，，所以，所以，即图中阴影部分表示的集合为.故选：A2．若且，则x取值的集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，因，则，即，可得，，解得，或7．故选：C．3．已知首项为1的等比数列的前项和为Sn，若，则（

）A．24 B．12 C．20 D．15【答案】D【详解】设等比数列an的公比为，显然，否则，此等式不成立，则，由，整理得，即，因此，所以.故选：D4．设向量，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】在方向上的投影向量为.故选：C.5．已知随机变量服从正态分布，若，则（

）A．0.1 B． C． D．【答案】A【详解】因为随机变量服从正态分布，所以随机变量的均值,所以随机变量的密度曲线关于对称，所以，又，所以，因为，所以，故选：A.6．已知某圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，高为，由题意可得：，解得，设该圆锥的母线与底面所成的角为，则，可得，所以该圆锥的母线与底面所成的角为.故选：C.7．设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，，，则（

）A．1 B．2 C．4 D．22【答案】B【详解】设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，设直线的方程为，Ax1,y1联立，可得，所以，，则．因为，，所以，，则，解得或．因为，所以．故选：B8．已知，，设函数，若，则的最小值为（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】B【详解】由可得，，即，也即，因，①当时，可得，即得；②当时，可得，即得，综上可得，，即，因故由，当且仅当时，取得最小值,等于4.故选：B.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．若随机变量，且，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】因为，所以，整理得，解得，则，，.故选：AC10．如图，函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ≤π2的图象与轴的其中两个交点为，，与轴交于点，为线段的中点，，，，则（

）A．的图象不关于直线对称B．的最小正周期为C．f-x+2D．在5,7单调递减【答案】ACD【详解】由题可，，，则，有，，，把代入上式，得，解得（负值舍去），，，由，解得，解得，，对A，，故A正确；对B：的最小正周期为，故B错误；对C：，为奇函数，故C正确；对D：当时，，在单调递减，为奇函数，故D正确.故选：ACD.11．如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接，N为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（

）

A．不存在某个位置，使得B．翻折过程中，CN的长是定值C．若，则D．若，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积是【答案】ABD【详解】对于A，取AD的中点为E，连接CE交MD于F，则四边形为平行四边形，如图，

F为MD的中点，由于N为的中点，则，如果，则，由于，则，由于共面且共点，故不可能有，同时成立，即不存在某个位置，使得，A正确对于B，结合A的分析可知，且，在中，，由于均为定值，故为定值，即翻折过程中，CN的长是定值，B正确；对于C，如图，取AM中点为O，由于，即，则，

若，由于平面，故平面，平面，故，则，由于，故，，则,故，与矛盾，故C错误；对于D，由题意知，只有当平面平面时，三棱锥的体积最大；设AD中点为E，连接，由于，则，且，而平面平面，平面，故平面，平面，故，则，从而，则,即AD的中点E即为三棱锥的外接球球心，球的半径为1，故外接球的表面积是，D正确，故选：ABD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为．【答案】/【详解】，，，，，∴，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：13．设是双曲线C:的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为.【答案】3【详解】由题意得双曲线中，，则其焦点坐标，根据双曲线对称性，不妨假设点在第一象限，设，其中，因为，则，根据勾股定理知，即，解得（负舍），则，则面积为.故答案为：3.14．对于任意的，函数满足，函数满足.若，，则.【答案】2【详解】令，得，则或（与矛盾舍去）.令，得，则，则，则，则.又因为，所以，则，从而.故答案为：2四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知．(1)求角的大小；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）由余弦定理以及，则，，；（2）由正弦定理，以及，，，可得；（3）由，及，可得，则，，．16.（本小题15分）某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额．(1)若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率；(2)若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差．【答案】(1)(2)期望为；方差为【详解】（1）记事件：员工所获得的红包数额不低于90元，事件：取到面值为60元的球，因为球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元，且，，，所以，又，所以．（2）设X为员工取得的红包数额，则可能取值为，

所以，，，，

所以，

．17.（本小题15分）如图，在三棱锥中，，，．(1)证明：平面；(2)若，E是棱上一点且，求平面与平面的夹角．【答案】(1)证明见解析(2)．【详解】（1）连接，因为，，所以，因为，，所以，

因为，所以，则，所以，

因为，平面，所以平面．（2）易知，O为的中点，所以，由（1）可知，两两垂直，以O为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，因为，所以为正三角形，所以，，，因为，所以，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，又平面的一个法向量为，

所以，即平面PAE与平面PAC的夹角为．18.（本小题17分）已知函数，，．(1)讨论：当时，的极值点的个数；(2)当时，，使得，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)．【详解】（1），，

①当时，为增函数，因为时，；时，，所以有唯一的零点，当时，，当时，，所以有一个极小值点，无极大值点．

②当时，令，则，

令，得，

当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以，即，所以的极值点的个数为0．综上所述，当时，的极值点个数为1，当时，的极值点个数为0．（2），由，得，由，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以在上单调递减，在上单调递增，所以，

因为当时，，使得，所以只需成立，即不等式成立．

令，则，则，则在上恒成立，故在上单调递增，

又，所以，故实数a的取值范围为．19.（本小题17分）已知椭圆过点，且．(1)求椭圆ω的方程；(2)设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与