2024秋季深圳外国语高三数学入学考试试卷答案

深圳外国语学校高中园2025届高三入学摸底考试数学参考答案：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【详解】，A、B错误；，C正确；不正确，D错误.故选：C.2．D【详解】由，所以，故选：D.3．A【详解】令，则，所以，故选：A.4．B【详解】因为所以，又不能推出或；但若“或”，则一定有，所以“”是“或”的必要不充分条件，故选：B.5．B【详解】因为是各项均为正数的等比数列，，所以，即，则记，则，两式相加得，所以，即.故选：B.6．A【详解】，设，则，所以，则，故，所以，则直线的倾斜角，所以直线的斜率，所以直线的方程为，联立，消得，，设，则，所以.

故选：A.7．D【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：D．

8．B【详解】由题意可得，即，所以，又，所以在上单调递增，即，所以，且，令，，则，其中，令，则，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，有极大值，即最大值，所以，，所以.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．BCD【详解】对于A，，故，所以在和上，，函数单调递增；在上，，函数单调递减，故A错误；对于D，由A知，函数的极大值为，极小值，则，故D正确；对于B，，结合函数在的单调性可知：，故B正确；对于C，，所以，故函数图象关于点中心对称，故C正确.故选：BCD10．BCD【详解】所有可能的方法有种，A错误.对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则有种安排方法，B正确.对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确.对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确.故答案为：BCD11．ABD【详解】对于A，根据题意，，设直线，又因为直线与圆相切于点，所以，A正确；对于B，根据题意可知，可得，所以直线是的一条渐近线，B正确；对于C，若，根据题意，联立，解得，同理联立，解得，由于，故，即，化简得，则的离心率为，C错误；对于D，设，依题意知，则，故，得，故，代入，得，所以，则，得，则的渐近线方程为，D正确；故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（为正整数）【详解】由递推关系得，又，（为正整数）．故答案为：（为正整数）．13．【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，图象所对应解析式为：，因为图象关于轴对称，所以，，可得，，又，所以，即，要使在上的最小值为，则在上的最小值为，当时，，又，所以，解得，即的最大值是.故答案为：14．【详解】由函数，令，可得，即，因为，所以，所以，可得或，即或，令，，可得，，当时，可得，在单调递增，且；当时，且；当时，可得，在单调递减；当时，可得，在单调递增，且，又当时，，，当时，且；作出函数的图象，如图所示，要使得有两个实数根，即有两个不同的零点，结合图象，可得或，即实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：．（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因为，所以，故，又，所以，，而，所以，故．16．【详解】（1）取中点，连接、，如图所示：，点是的中点，，又是的中点，，又在直三棱柱中，有，平面，平面，平面，且面，平面平面，，平面，且平面，，又，且、平面，平面，又，平面，又ME⊂平面，面平面.（2）由（1）知平面，则，设，则，，，，由基本不等式知，当且仅当时等号成立，即三棱锥的体积最大，此时，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：则有，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则有，取，解得，设直线与平面所成的角为，，故直线与平面所成角的正弦值为.17．【详解】（1）记“输入的数据集质量高”为事件，“一次数据能被软件准确分析”为事件，由题意可知：，则，所以．所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75．（2）由（1）可知：，①依题意，，所以的方差；②可知，令，则，令，解得，可知当，可得；令，解得，可知当，可得；于是所以当时，最大，即时，的值最大．18．【详解】（1）易知点、，故，因为椭圆的离心率为，故，，因此，椭圆的方程为；（2）设点为椭圆上一点，先证明直线的方程为，联立，消去并整理得，，因此，椭圆在点处的切线方程为.在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，直线的斜率为，所以，直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，因为，则，即，整理可得，所以，，因为，，故，，所以，直线的方程为，即.19．【详解】（1），所以当，所以当，所以的2次近似值为.（2）（ⅰ）因为