四川省眉山市2024年中考数学试卷

四川省眉山市2024年中考数学试卷阅卷人一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑．得分1．下列四个数中，无理数是（）A．−3.14 B．−2 C．122．下列交通标志中，属于轴对称图形的是（）A． B．C． D．3．下列运算中正确的是（）A．a2−a=a C．(a2)4．为落实阳光体育活动，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1，1.5，1.4，2，1.5，这组数据的中位数和众数分别是（）A．1.5，1.5 B．1.4，1.5 C．1.48，1.5 D．1，25．如图，在□ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O，下列结论：①AB∥DC；②EO=ED；③∠A=∠C；④S四边形ABOEA．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．不等式组2x+1>x+2x+3≥2x−1A．x>1 B．x≤4 C．x>1或x≤4 D．1<x≤47．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，分别以点A，点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连结BD，则A．7 B．8 C．10 D．128．眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为（）A．670×(1+2x)=780 B．670×C．670×(1+x2)=7809．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos∠CEFA．74 B．73 C．34 10．定义运算：a⊗b=(a+2b)(a−b)，例如4⊗3=(4+2×3)(4−3)，则函数y=(x+1)⊗2的最小值为（）A．−21 B．−9 C．−7 D．−511．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（）A．24 B．36 C．40 D．4412．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，下列四个结论：①bc<0；②3a+2c<0；③ax2A．1个 B．2个 C．3个 D．4阅卷人二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上．得分13．分解因式：3a314．已知方程x2+x−2=0的两根分别为x1，x2，则15．如图，斜坡CD的坡度i=1:2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为16．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连结AE分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为．17．已知a1=x+1（x≠0且x≠−1），a2=118．如图，△ABC内接于⊙O，点O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于D，连结BD．若AB=10，BD=25，则BC的长为阅卷人三、解答题：本大题共8个小题，共78分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上．得分19．计算：(320．解不等式：x+1321．为响应国家政策，保障耕地面积，提高粮食产量，确保粮食安全，我市开展高标准农田改造建设，调查统计了其中四台不同型号的挖掘机（分别为A型，B型，C型，D型）一个月内改造建设高标准农田的面积（亩），并绘制成如图不完整的统计图表：改造农田面积统计表型号ABCD亩数1620m12利用图中的信息，解决下列问题：（1）①m=；②扇形统计图中α的度数为．（2）若这四台不同型号的挖掘机共改造建设了960亩高标准农田，估计其中B型挖掘机改造建设了多少亩？（3）若从这四台不同型号的挖掘机中随机抽调两台挖掘机参加其它任务，请用画树状图或列表的方法求出恰好同时抽到A，B两种型号挖掘机的概率．22．如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC=∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连结DE．（1）求证：CA是⊙O的切线；（2）当AC=8,CE=4时，求23．眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同．每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元．（1）求A，B两款文创产品每件的进价各是多少元？（2）已知A，B文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？24．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于点A(1,6)，B(n,2)，与x（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，请直接写出点P的坐标；（3）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当EF=12AB25．综合与实践问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心O处，并绕点O旋转，探究直角三角板与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况．操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点O处，在旋转过程中：（1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为．（2）若正方形的面积为S，重叠部分的面积为S1，在旋转过程中S1与S的关系为（3）类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点O重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于E，F两点，小宇经过多次实验得到结论BE+DF=2（4）拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中60°角的顶点与点O重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交AB于点M，斜边交BC于点N，且BM=BN时，请求出重叠部分的面积．（参考数据：sin15°=6−2426．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−3,0)和点B，与y（1）求该抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、-3.14是有理数，故A不符合题意；

B、-2是有理数，故B不符合题意；

C、12是有理数，故C不符合题意；

D、2是无理数，故D符合题意；

故答案为：D.

2．【答案】A【解析】【解答】A、此标志图案是轴对称图形，故A符合题意；

B、此标志图案不是轴对称图形，故B不符合题意；

C、此标志图案不是轴对称图形，故C不符合题意；

D、此标志图案不是轴对称图形，故D不符合题意；

故答案为：A.

【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.3．【答案】B【解析】【解答】解：A、a2-a不能合并，故A不符合题意；

B、a·a2=a3，故B符合题意；

C、（a2）3=a6，故C不符合题意；

D、（2ab2）3=8a3b6，故D不符合题意；

故答案为：B.

【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对C作出判断；利用积的乘方法则，可对D作出判断.4．【答案】A【解析】【解答】解：将已知数从小到大排列为：1，1.4，1.5，1.5，2，

处于最中间的数是1.5，∴这组数据的中位数是1.5，

∵1.5出现了2次，是这组数据中出现次数最多的数，

∴这组数据的众数是1.5.故答案为：A.

【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，即可求解.5．【答案】C【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，

∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∠A=∠C，故①③正确；

∴∠EDO=∠FBO，

∵点O是BD的中点，

∴OD=OB，

在△DOE和△BOF中

∠EDO=∠FBOOB=OD∠BOF=∠DOE

∴△DOE≌△BOF（ASA）

∴S△DOE=S△BOF，

∴OE=OF，ED=BF，故②错误；

∵△ABD≌△BCD，

∴S△ABD=S△BCD，

∴S△ABD-S△DOE=S△BCD-S△BOF，

∴S四边形ABOE=S四边形CDOF故答案为：C.

【分析】利用平行四边形的性质可证得AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∠A=∠C，可对①③作出判断；利用平行线的性质可推出∠EDO=∠FBO，同时可证得OB=OD，利用ASA可证得△DOE≌△BOF，利用全等三角形的对应边相等，可对②作出判断；同时可证得S△DOE=S△BOF，易证S△ABD=S△BCD，根据∴S△ABD-S△DOE=S△BCD-S△BOF，可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数.6．【答案】D【解析】【解答】解：2x+1>x+2①x+3≥2x−1②

由①得：x＞1，

由②得x≤4，

∴不等式组的解集为1＜x≤4.

故答案为：D.

7．【答案】C【解析】【解答】解：由作图可知，EF垂直平分AB，

∴AD=BD，

∴△BCD的周长为：BD+BC+CD=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.故答案为：C.

【分析】由作图可知，EF垂直平分AB，利用垂直平分线的性质，可证得AD=BD；再证明△BCD的周长等于AC+BC，代入计算可求解.8．【答案】B【解析】【解答】解：该村水稻亩产量年平均增长率为x，根据题意得

670（1+x）2=780.

故答案为：B.

【分析】此题的等量关系为：2021年水稻亩产量×（1+增长率）2=2023年水稻亩产量，据此列方程即可.9．【答案】A【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，

∴AD=BC=8，∠B=∠D=90°

∵把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，

∴AD=AF=8，∠AFE=∠D=90°，

∴BF=AF2-AB2=82-62=27，10．【答案】B【解析】【解答】解：y=(x+1)⊗2=（x+1+4）（x+1-2）=（x+5）（x-1）

∴y=x2+4x-5=（x+2）2-9，

∵a=1＞0，

∴当x=-2时y的最小值为-9.

故答案为：B.

【分析】利用定义新运算，可得到y=（x+2）2-9，再利用二次函数的图象及性质，可得y的最小值.11．【答案】D【解析】【解答】解：设直角三角形的较长的直角边为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，

∵图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，

∴a2+b2=c2=24，（a-b）2=a2-2ab+b2=4

∴24-2ab=4

解之：ab=10；

图2中大正方形的面积为：c2+4×12ab=24+4×12×10=44.

故答案为：D.

【分析】设直角三角形的较长的直角边为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用勾股定理及已知条件可得到a2+b2=c2=24，（a-b）2=a2-2ab+b2=4，代入计算求出ab的值；观察图2，可知其面积=c2+4×12．【答案】C【解析】【解答】解：①∵函数图象开口方向向上，∴a>0；∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴b<0，∴抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c<0，∴bc>0，故①错误；②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(3,0)，与y∴−b∵b=−2a，∴x=−1时，y=0，∴a−b+c=0，∴3a+c=0，∴3a+2c<0，故②正确；③∵对称轴为直线x=1，a>0，∴y=a+b+c最小值，ax2+bx+c≥a+b+c④∵−2<c<−1，∵x∴c=−3a，∴−2<−3a<−1，∴1∵b=−2a，∴a+b+c=a−2a−3a=−4a，∴−8故④正确；综上所述，正确的有②③④，故选：C．【分析】利用抛物线的开口方向可得到a的取值范围，利用对称轴的位置可确定出b的取值范围，再根据抛物线与y轴的交点情况，可确定出c的取值范围，据此可对①作出判断；利用抛物线与x轴的交点坐标及对称轴，可得到b=-2a，a-b+c=0，据此可得到3a+c的值，可对②作出判断；利用函数图象及对称轴，可得到函数的最小值为a+b+c，据此可对③作出判断；利用一元二次方程根与系数，可得到c=-3a，利用c的取值范围，可得到a的取值范围，再求出a+b+c=-4a，据此可得到a+b+c的取值范围，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.13．【答案】3a(a+2)(a−2)【解析】【解答】解：原式=3a（a2-4）=3a（a+2）（a-2）.

故答案为：3a（a+2）（a-2）.

【分析】观察此多项式的特点：含有公因式3a，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式.14．【答案】1【解析】【解答】解：∵方程x2+x−2=0的两根分别为x1，x2，

∴x1+x2=-1，x1x2=-2，

∴1x1+1x2=x1+x2x15．【答案】(4【解析】【解答】解：过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，

∵EF∥CG，

∴∠DCG=∠DEF，

∵斜坡CD的坡度i=1:2，

∴i=BFEF=12，

设BF=x，则EF=2x，

∴BE=BF2+EF2=x2+4x2=5x=10

解之：x=25

∴BF=25，EF=45，

16．【答案】4【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，

∴AD=BC=CD=6，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，

∴∠ADC=∠DCE=180°-120°=60°，

∵DE⊥BC，

∴∠DEC=∠ADE=90°，

∴∠EDC=90°-∠DCE=90°-60°=30°，

∴CE=12CD=3，

∴DE=CEtan∠DCE=CEtan60°=33

∴BE=BC+CE=6+3=9，

∴AE=AD2+DE2=62+332=37

∵AD∥BE，

∴△AFD∽△EFB，

∴AFFE=ADBE即AF37-AF=69

解之：17．【答案】-【解析】【解答】解：∵a1=x+1，

∴a2=11-x-1=-1x，

a3=11+1x=xx+1

a4=11-xx+1=x+1

a5=-18．【答案】8【解析】【解答】解：延长AC，BD交于E，∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，∴∠ADB=∠ADE=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAE，在△ADE和△ABD中

∠ADE=∠ADBAD=AD∠BAE=∠BAD

∴BD=DE=25∴BE=45∵AB=10，BD=25∴AD=1∵∠DAC=∠CBD，∵∠ADB=∠BCE=90°，∴△ABD∽△BCE，∴BE∴4∴BC=8．故答案为：8．【分析】延长AC，BD交于E，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ADB=∠ADE=90°，利用角平分线的定义可证得∠BAD=∠DAE，利用ASA可证得△ADE≌△ABD，利用全等三角形的性质可求出DE的长，利用勾股定理求出AD的长；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABD∽△BCE，利用相似三角形的性质可求出BC的长.19．【答案】解：(=1+4+2×=1+4+=6．【解析】【分析】先算乘方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后合并即可.20．【答案】解：x+132(x+1)−6≤3(2−x)，2x+2−6≤6−3x，2x+3x≤6+6−2，5x≤10，x≤2，其解集在数轴上表示如下：【解析】【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集.21．【答案】（1）32；72°（2）解：根据题意得：960×20答：估计其中B型挖掘机改造建设了240亩；（3）解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，同时抽到A，B两种型号挖掘机的有2中情况，∴同时抽到A，B两种型号挖掘机的概率为：212【解析】【解答】解：（1）12÷54°360°=80，

∴m=80-16-20-12=32；

②扇形统计图中α的度数为360°×16故答案为：32，72°.

【分析】（1）①利用统计表和统计图可求出总面积，再求出m的值；②利用α的度数为360°×A所占的百分比，列式计算即可.（2）根据题意可知用960×B型所占的百分比，列式计算.

（3）由题意可知此事件是抽取不放回，列出树状图，利用树状图可求出恰好同时抽到A，B两种型号挖掘机的概率.22．【答案】（1）证明：连接OA，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE=90°，∴∠BAO+∠OAE=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠BAO，∵∠EAC=∠ABC，∴∠CAE=∠BAO，∴∠CAE+∠OAE=90°，∴∠OAC=90°，∵OA是⊙O的半径，∴CA是⊙O的切线；（2）解：∵∠EAC=∠ABC，∠C=∠C，∴△ABC∽△EAC，∴AC∴8BC=∴BE=BC−CE=12，连接BD，

∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠EAD，∴BD∴BD=DE，∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE=90°，∴DE=BD=2【解析】【分析】（1）连接OA，利用圆周角定理可证得∠BAE=90°，再利用等腰三角形的性质去证明∠CAE+∠OAE=90°，可推出OA⊥AC，利用切线的判定定理可证得结论.（2）利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△EAC，利用相似三角形的性质可求出BC的长，然后求出BE的长；连接BD，利用角平分线的定义及圆心角，弧，弦的关系定理可证得BD=DE，利用圆周角定理可知∠BDE=90°，然后利用解直角三角形求出DE的长.23．【答案】（1）解：A款文创产品每件的进价a元，则B文创产品每件的进价是(a−15)元，根据题意得：960a解得：a=80，经检验，a=80是原分式方程的解，80−15=65．答：A款文创产品每件的进价80元，则B文创产品每件的进价是65元．（2）解：设购进A款文创产品x件，则购进B款文创产品(100−x)件，总利润为W，根据题意得：80x+65(100−x)≤7400，解得：x≤60，∴W=(100−80)x+(80−65)(100−x)=5x+1500，∵k=5>0，w随x的增大而增大，∴当x=60时，利润最大，W最大答：购进A款文创产品60件，购进B款文创产品40件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是1800元．【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：每件A款文创产品进价=每件B款文创产品进价+15；960÷每件A款文创产品进价=780÷每件B款文创产品进价，再设未知数，列方程，求解即可.（2）此题的等量关系为：A文创产品的数量+B文创产品的数量=100；购进这两款文创产品共100件的总费用≤7400；设未知数，列不等式，可求出x的取值范围；设总利润为W，可得到W关于x的函数解析式，利用一次函数的性质可求解.24．【答案】（1）解：∵一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于点A(1∴m1=6∴反比例函数的表达式为y=6∴2=6n，∴B(3,2)，解得k=−2b=8∴一次函数的表达式为y=−2x+8；（2）(0（3）解：将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，∴直线EF的解析式为y=−2x+8−a，∴E(8−a2,∵EF=1∴(解得a=6或a=10．【解析】【解答】解：（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接EB交y轴于P，则此时，△PAB的周长最小，∵点A(1,6)，设直线BE的解析式为y=mx+c，∴−m+c=6解得m=−1c=5∴直线BE的解析式为y=−x+5，当x=0时，y=5，∴点P的坐标为(0,5)；【分析】（1）利用点A，B的坐标，可求出m和n的值，可得到反比例函数解析式；将点A，B的坐标分别代入一次函数解析式，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式.

（2）作点A关于y轴的对称点E，连接EB交y轴于P，可知此时，△PAB的周长最小，同时可得到点E的坐标，利用待定系数法求出直线BE的函数解析式，由x=0求出对应的y的值，可得到点P的坐标.

（3）利用一次函数图象平移规律，可得到直线EF的解析式为y=−2x+8−a，可表示出点E，F的坐标，再根据EF=125．【答案】（1）4；4（2）S（3）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB=OC=OD=OA，∠BCD=∠OCD=45°，∵∠FOE=∠BOC，∴∠EOB=∠FOC，∴△EOB≌△FOC(ASA)，∴BE=CF，∴BE+DF=CF+DF=CD，∵CD=2∴BE+DF=2（4）解：过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥BC于点H．同（2）可知四边形OGBH是正方形，∴BG=BH，OG=OH，∵BM=BN，∴GM=NH，∵∠OGM=∠OHN=90°，∴△OGM≌△OHN(SAS)，∴S△OGM=∵∠MON=60°，∴∠GOM=1由（1）可知OG=2，S正方形OGBH∴tan∴GM=2×(2−3∴S∴重叠部分的面积==4−2×(4−2=43【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为S△BOC当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，∴∠OMC=∠MON=∠BCD=90°，∴四边形MONC是矩形，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=45°，OA=OC，∴∠MOC=∠MCO，∴OM=MC，∴四边形OMCN是正方形，∴OM=1∴四边形OMCN的面积是4，故答案为：4，4；（2）如图，过点O作OG⊥CB于点G，OH⊥DC于点H．∵O是正方形ABCD的中心，∴OG=OH，∵∠OGC=∠OHC=∠C=90°，∴四边形OGCH是矩形，∵OG=OH，∴四边形OGCH是正方形，∴∠GOH=∠EOF=90°，∴∠EOG=∠FOH，∵∠OGE=∠OHF=90°，∴△OGE≌△OHF(ASA)，∴S∴S∴S故答案为：S1【分析】（1）利用正方形的性质可证得∠BOC=90°，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为正方形面积的四分之一，据此可求出重叠部分的面积；当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，易证四边形MONC是矩形，利用正方形的性质去证明∠MOC=∠MCO，可得到OM=CM，可证四边形OMCN是正方形，可求出OM的长，然后求出四边形OMCN的面积.

（2）过点O作OG⊥CB于点G，OH⊥DC于点H．易证OH=OG，利用有三个角是直角的四边形是矩形可证得四边形OGCH是矩形，由此可推出四边形OGCH是正方形，利用正方形的性质去证明∠EOG=∠FOH，利用ASA证明△OGE≌△OHF，利用全等三角形的面积相等可得到S△OGE=S△OHF，由此可证得结论.

（3）利用正方形的性质去证明∠EOB=∠FOC，利用ASA证明△EOB≌△FOC，利用全等三角形的性质可证得BE=CF，可推出BE+DF=CD，由CD=2OC，可证得结论.

（4）过点O作OG⊥AB于点G，26．【答案】（1）解：把A(−3,0)，C(0,−9−3b+c=0c=3解得b=−2c=3∴抛物线的解析式为y=−x（2）解：过D作DK∥y轴交AC于K，如图：由A(−3,0)，C(0,3)得直线设D(t,−t