山东省泰安市2024年中考数学试卷

山东省泰安市2024中考数学试卷阅卷人一、选择题（本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分)得分1．−5A．65 B．−65 C．52．下列运算正确的是（）A．2x2y−3xC．(x−y)(−x−y3．下面图形中，中心对称图形的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．据泰山景区2024年1月4日消息，2023年泰山景区累计接待进山游客超860万人次，同比增长301.A．8.60×107 B．86.0×15．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是（）A．45° B．39° C．26．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD=50°，则∠A的度数为（）A．65° B．55° C．57．关于x的一元二次方程2x2−3x+k=0A．k<98 B．k⩽98 C．8．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若⋯,若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组：x+y=1000,A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱9．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以顶点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于12HG的长为半径画弧、两弧交于点P②AP垂直平分线段BF；③CE=2BE；④S△BEF其中，正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个直径端点与半圆OA．43π−3 B．43π C．11．如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x=1，图象与y轴交点的纵坐标是2.则下列结论：①2a+b=0；②方程ax2+bx+c=0一定有一个根在-2和-1之间；③方程ax2+bx+c−312．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E是AB边上的点，AE=4,BE=8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为A．2 B．43−2 C．23阅卷人二、填空题(本大题共6小题、满分24分.只要求填写最后结果,每小题填对得4分)得分13．单项式−3ab2的次数是14．某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动.小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颖准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是.15．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度.他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机.如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC16．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是平方米.17．如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为AC的中点，连结BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F.若DF=1,tanB=118．如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”.按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍.阅卷人三、解答题(本大题共7小题,满分78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)得分19．（1）计算：2tan（2）化简：(x−2x−120．某超市打算购进一批苹果.现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径(单位：mm)，并制作统计图如下：根据以上信息，解答下列问题：（1）统计量供应商平均数中位数众数甲8080b乙ma76则m=，a=，b=.（2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，供应商供应的苹果大小更为整齐。(填“甲”或“乙”)（3）超市规定直径82mm(含82mm)以上的苹果为大果.超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个?21．直线y1=kx+b(k≠0)与反比例函数y2=−（1）求直线y1（2）若y1>y（3）过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积.22．随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间.某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人.甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品.已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍.求甲、乙两组各有多少名工人?23．综合与实为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动.（1）【探索发现】同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，将纸片展平，连结BG.EF与BG相交于点H.同学们发现图形中四条线段成比例，即EFBG（2）【拓展延伸】同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF.将纸片展平，连结EG，FH，FG.同学们探究后发现，若FG//CD，那么点G恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”，即24．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB=CB，点D，E分别在AB，CB上，（1）求证：CD=2BF，CD⊥BF；（2）将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置.①请直接写出BF与CD的位置关系；②求证：CD=2BF.25．如图，抛物线C1:y=ax2+43x−4（1）求抛物线C1（2）将拋物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到拋物线C2，求拋物线C2的表达式，并判断点D是否在拋物线C（3）在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形.若存在，请求出点P

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：−56故答案为：C.【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可求解.2．【答案】D【解析】【解答】解：A、2x2y−3xy2，不能合并，原选项错误，不合题意；

B、4x8y2故答案为：D.【分析】本题考查整式运算，熟练掌握整式加减，单项式除以单项式，多项式乘以多项式，幂的乘方，积的乘方等知识，是解题关键，根据法则对选项逐一判断，可得答案.3．【答案】C【解析】【解答】解：第1个、第2个、第3个是中心对称图形，共3个.故答案为：C.【分析】本题考查中心对称图形的概念，根据概念及特点可得答案.4．【答案】D【解析】【解答】解：860万=8600000=8.60×106故答案为：D.【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.5．【答案】B【解析】【解答】解：∵等边三角形ABC

∴∠ABC=∠ACB=60°∵直线l∥m

∴∠EBC+∠DCB=180°

∴∠ABE+∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°

即21°+60°+60°+∠ACD=180°

∴∠ACD=39°

故答案为：B.【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键；由等边三角形ABC得∠ABC=∠ACB=60°；根据直线l∥m得∠EBC+∠DCB=180°，可得∠ACD=39°.6．【答案】A【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径

∴∠C=90°

∵∠AOD=50°

∴∠ABD=12∠AOD=25°

∵BA平分∠CBD

∴∠ABC=∠ABD=25°故答案为：A.【分析】由直径所对的圆周角是直角得∠C=90°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠ABD=127．【答案】B【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2−3x+k=0有实数根

∴∆=b2-4ac故答案为：B.【分析】本题考查一元二次方程的根的情况，由根的判别式∆=b2-4ac与0的关系决定；当∆=b2-4ac＞0，一元二次方程有两个不相等的实数根；当8．【答案】D【解析】【解答】解：设买甜果x个，买苦果y个，由x+y=1000,119x+4故答案为：D.【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理清题目的数量关系，购买总数，购买总价，可得答案.9．【答案】D【解析】【解答】解：由题意知：MN为线段AC的垂直平分线，AP为∠BAC的角平分线，

∴EA=EC，FA=FC=12AC，∠EAC=∠EAB=12∠BAC，

∴∠EAC=∠C=∠EAB

∵∠ABC=90°

∴∠BAC+∠C=90°

∴∠C=30°，故①正确；

∴AB=12AC=AF，

∴AP垂直平分BF，故②正确；

∴BE=FE

∴CE=2BE，故③正确；

过F作FH⊥BC于H，如图

则FH为∆ABC的中位线

∴FH=12AB

∴S△BEF=12BE×FH=12×12BC×12AB=16BC×AB=110．【答案】A【解析】【解答】解：如图，由题知：OA=OO'=AO'=2∴∆AOO'是等边三角形

∴S∆AOO'=34×22【分析】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质及面积，熟练掌握扇形面积公式（S扇=nπr2360，n为圆心角度数，r为半径）及等边三角形面积公式（S等边∆=11．【答案】B【解析】【解答】解：如图可知：c=2，对称轴为直线x=1，∴-b2a=1，则2a+b=0，故①正确；

由图象知：二次函数与x轴有2个交点，则对应方程ax2+bx+c=0有2个根，一个根在2和3之间，由对称性知另一根在-1和0之间，故②错误；

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=32有2个交点，则对应方程ax2+bx+c−32【分析】本题考查二次函数的图象与性质，与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，与x轴，y轴的交点，与一元二次方程关系等知识是解题关键；根据图象得c=2，对称轴为直线x=-b2a=1，与x轴有2个交点，则对应方程ax2+bx+c=0有2个根，一个根在2和3之间，由对称性知另一根在-1和0之间，可知12．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示，过点E作EP⊥BC于P，过点P作PK⊥AB于K，连接PG并延长，过点A作AH⊥GP于H∴∠EPF=90°

∴∠EPF+∠EGF=180°

∴点E、G、F、P四点共圆

∴∠EPG=∠EFG=30°

∵∠B=60°，BE=8

∴∠BEP=30°，BP=4，EP=43

∴∠BEP=∠EPG，PK=23

∴AB∥PH

∴AH=PK=23

∴AG≥AH

∴线段AG的最小值是【分析】本题考查菱形的性质，30°直角三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形性质，平行线的判定与性质，垂线段最短等知识，熟练掌握以上知识，添加正确的辅助线是解题关键。过点E作EP⊥BC于P，过点P作PK⊥AB于K，连接PG并延长，过点A作AH⊥GP于H，证点E、G、F、P四点共圆

∴∠EPG=∠EFG=30°，证AB∥PH，得AH=PK=23，由AG≥AH，线段AG的最小值是213．【答案】3【解析】【解答】解：单项式−3ab故答案为：3.【分析】本题考查单项式的次数，单项式中所有字母指数的和是单项式的次数，据此可得答案.14．【答案】2【解析】【解答】解：小明和小颖随机选择一本书籍的所有情况共有9种，其中，小明和小颖恰好选中书名相同的书的情况有2种，则小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是29.故答案为：29【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率，掌握列表法或树状图法求概率的方法是关键.15．【答案】74【解析】【解答】解：如图，过点P作PH⊥AB于H，过点C作CK⊥PH于K

∴∠PHB=∠B=∠CKH-90°

∴四边形CBHK为矩形

∴BC=KH，CK=BH

由题知：∠A=50°，∠PCK=63.6°，PH=60米，BC=12米

∴PK=PH-KH=48米，KH=12米

在Rt∆APH中，tan∠A=tan50°=PHAH

∴AH=60tan50°

在Rt∆PCK中，tan∠PCK=tan63.6°=PKCK

∴CK=48tan63.6°

∴BH=48tan63.6°

∴AB=AH+BH=60tan50°+48tan63.6°由tan∠PCK=PKCK得CK=4816．【答案】450【解析】【解答】解：设围成菜园的宽为x米，则长为（60-2x）米，根据题意得：

60-2x≤4060-2x＞0，

解得10≤x＜30

则菜园面积S=x（60-2x）=-2x2+60x=-2(x-15)2∴x=15时，菜园的最大面积是450平方米.

故答案为：450.【分析】本题考查二次函数的实际应用—面积问题，根据题意，设围成菜园的宽为x米，则长为（60-2x）米，结合所给范围及实际情况，可得10≤x＜30，由S=-2(x-15)2+450，可得x=15时，菜园的最大面积是450平方米.17．【答案】5【解析】【解答】解：∵AH为⊙O的切线

∴∠FAB=90°

即∠FAD+∠DAB=90°

∵AB为⊙O的直径

∴∠ADB=90°

∴∠DAB+∠B=90°

∴∠FAD=∠B

∵点D为AC的中点

∴DC⌢=AD⌢

∴∠DAC=∠B

∴∠FAD=∠B=∠DAC

∵DF=1，

∴tan∠FAD=12=DFAD，tan故答案为：5.【分析】本题考查圆的直径，切线性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题关键。由AH为⊙O的切线得∠FAD+∠DAB=90°；由AB为⊙O的直径得∠DAB+∠B=90°，由点D为AC的中点得∠DAC=∠B，得∠FAD=∠B=∠DAC，根据tan∠FAD=12=DF18．【答案】12【解析】【解答】解：第（1）个“小屋子”中图形“○”个数是1个；“●”的个数是4个，4=2×1+2；

第（2）个“小屋子”中图形“○”个数是3个，1+2=3；“●”的个数是6个，6=2×2+2；

第（3）个“小屋子”中图形“○”个数是6个，1+2+3=6；“●”的个数是8个，8=2×3+2；

第（4）个“小屋子”中图形“○”个数是10个，1+2+3+4=10；“●”的个数是10个，10=2×4+2；

第（5）个“小屋子”中图形“○”个数是15个，1+2+3+4+5=15；“●”的个数是12个，12=2×5+2；

以此类推，第（n）个“小屋子”中图形“○”个数是1+2+3+4+5+6+···（n-1）+n=n（n+1）2个，；“●”的个数是2n+2；

当小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍时，则n（n+1）2=3（2n+2）；故答案为：12.【分析】本题考查图形规律及一元一次方程，找出图形规律是解题关键；由每个图形的“○”个数的变化得和“●”的个数的变化，则规律是第（n）个“小屋子”中图形“○”个数是1+2+3+4+5+6+···（n-1）+n=n（n+1）219．【答案】（1）解：2tan60°（2）解：(x−2x−1x)÷x2−1【解析】【分析】本题考查实数的混合运算及分式的化简，掌握特殊三角函数值，负整数指数幂，绝对值，二次根式的性质，因式分解的方法，完全平方公式，平方差等知识是解题关键。

（1）计算tan60°，（12）-2=4，-1220．【答案】（1）80；79.5；83（2）甲（3）解：2000×310=600（个）

【解析】【解答】解：（1）平均数m=75+76×3+79+80+81+83+86+8810=80；

把乙组的数据按从小到大的顺序排列，处于中间位置的两个数是79和80，79+802=79.5，则中位数a=79.5；

甲组数据中，83出现了3次，次数最多，则众数b=83；

故答案为：80；79.5；83；

（2）解：甲的方差=110(76-80)2+(77-80)2+(78-80)2+(79-80)2+2(80-80)2+(81-8021．【答案】（1）解：∵点A（-2，m），点B（n，-1）在反比例函数y2=−8x的图象上

∴-2m=-8，-n=-8

∴m=4，n=8

∴点A（-2，4），点B（8，-1）

∵点A（-2，4），点B（8，-1）在直线y1=kx+b(k≠0)上

∴（2）解：∵直线y1=−12x+3与反比例函数y2=−8x的图象交于点A（-2，4），点B（8，-1）

∴x＜-2，y1（3）解：∵直线y1=−12x+3

∴x=0，y=3

∴点C（0，3）

∵过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D

∴D的纵坐标为3，横坐标为-83

∴CD=83

∴S△ACD【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数与反比例函数解析式，函数与不等式的关系，与坐标轴的交点坐标，求三角形面积等知识，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键；

（1）由反比例函数y2=−8x可得A（-2，4），点B（8，-1），代入直线y1=kx+b(k≠0)，得k=-12，b=3；可得直线y1=−12x+3；

（2）由函数图象可得x＜-2，22．【答案】解：设甲组有x名工人，乙组有（35-x）名工人.根据题意得：

1.2×3000x=270035-x

解得：x=20

【解析】【分析】本题考查分式方程的应用，由题意，理清数量关系是关键；设甲组有x名工人，乙组有（35-x）名工人，根据“乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍”列出方程，可得答案，注意检验.23．【答案】（1）解：同学们的发现正确.

如图，过点E作EP⊥BC于P，则∠EPF=90°，∠PEF+∠EFP=90°

∵四边形ABCD为矩形

∴∠ABC=∠C=90°，四边形ABPE为矩形

∴∠EPF=∠C，∠CBG+∠BGC=90°，AB=EP

∵把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，

∴EF垂直平分BG

∴∠BHF=90°

∴∠CBG+∠EFP=90°

∴∠EFP=∠BGC

∴∆EFP~∆BGC

∴EFBG=EPBC

（2）解：正确

由折叠知：AB=BG，∠1=∠2

∵平行四边形ABCD

∴CD=AB=BG

∵FG∥CD

∴BGGD=GFDC，∠2=∠3

∴∠1=∠3

∴GF=GD

∴BGGD=GDBG【解析】【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是关键；

（1）过点E作EP⊥BC于P，∠EPF=90°，得∠EPF=∠C，AB=EP，证∠EFP=∠BGC，证∆EFP~∆BGC，得EFBG=EPBC，则EFBG=AB24．【答案】（1）证明：∵AB=CB，∠ABE=∠CBD=90°，EB=DB

∴∆ABE≅∆CBD，∠ABF+∠FBE=90°

∴AE=CD，∠BAE=∠BCD

∵F为AE的中点

∴AE=2BF，AF=BF

∴CD=2BF，

∠BAE=∠ABF

∴∠BCD+∠FBE=90°

∴CD⊥BF（2）解：①BF⊥CD

②如图，延长BF到M，使BF=FM，连接AM，则BM=2BF

∵F为AE中点

∴EF=AF

∵∠EFB=∠AFM

∴∆EFB≅∆AFM（SAS）

∴EB=AM，∠MAF=∠BEF

∴AM∥BE

∴∠MAB+∠ABE=180°

∵∠ABE+∠DBC=180°

∴∠MAB=∠DBC

∵BE=BD

∴AM=BD

∵AB=BC

∴∆MAB≅∆DBC（SAS）

∴BM=CD

∴CD=2BF【解析】【解答】解：（2）①如图，延长BF到M，使BF=FM，连接AM，则BM=2BF，过A作AP⊥CD于P，

∴∠APC=∠ABC=90°

∴∠BCD=∠BAP

∵F为AE中点

∴EF=AF

∵∠EFB=∠AFM

∴∆EFB≅∆AFM（SAS）

∴EB=AM，∠MAF=∠BEF

∴AM∥BE

∴∠MAB+∠ABE=180°

∵∠ABE+∠DBC=180°

∴∠MAB=∠DBC

∵BE=BD

∴AM=BD

∵AB=BC

∴∆MAB≅∆DBC（SAS）

∴∠ABM=∠BCD

∴∠ABM=∠BAP

∴BF∥AP

∴BF⊥CD；

【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，平行线的性质与判定，熟练掌握全等的判定与性质，正确添加辅助线是解题关键；

（1）用SAS证△ABE≌△CBD，得AE=CD，∠BAE=∠BCD；