山东省济宁市2024年中考数学试卷

山东省济宁市2024年中考数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．﹣3的绝对值是（）A．3 B．13 C．﹣3 D．2．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（）A．人 B．才 C．强 D．国3．下列运算正确的是（）A．2+3=5 B．2×54．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形的边长为（）A．6 B．8 C．10 D．125．为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（）A．班主任采用的是抽样调查B．喜爱动画节目的同学最多C．喜爱戏曲节目的同学有6名D．“体育”对应扇形的圆心角为72°6．如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为（）A．1 B．2 C．2 D．37．已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y=kx（k＜0）的图象上，则y1，y2，yA．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y18．解分式方程1-1A．2﹣6x+2＝﹣5 B．6x﹣2﹣2＝﹣5C．2﹣6x﹣1＝5 D．6x﹣2+1＝59．如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（）A．42° B．41°20' C．41° D．40°20'10．如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（）A．90 B．91 C．92 D．93二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。11．我国自主研发的500m口径球面射电望远镜（FAST）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为250000m2．将数250000用科学记数法表示为12．已知a2﹣2b+1＝0，则4ba2+113．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．14．将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是．15．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．⑴以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F．⑵以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G．⑶以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H．⑷画射线AH．⑸以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M．⑹连接MC，MB．MB分别交AC，AD于点N，P．根据以上信息，下面五个结论中正确的是.（只填序号）①BD＝CD；②∠ABM＝15°③∠APN＝∠ANP；④AMAD=32；⑤MC2＝三、解答题：本大题共7小题，共55分。16．先化简，再求值：x（y﹣4x）+（2x+y）（2x﹣y），其中x=12，17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（3，4），C（1，4）．（1）将△ABC向下平移2个单位长度得△A1B1C1．画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标；（2）将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°得△A2B1C2．画出旋转后的图形，并求点C1运动到点C2所经过的路径长．18．为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．【收集数据】八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．【描述数据】八年级（1）班20名学生成绩统计表分数80859095100人数33ab3【分析数据】八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表统计量班级平均数中位数众数方差八年级（1）班mn9541.5八年级（3）班9190p26.5【应用数据】根据以上信息，回答下列问题．（1）请补全条形统计图；（2）填空：m＝，n＝；（3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．19．如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，AD＝AC．E是⊙O外一点，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB，连接BE．（1）若AB＝8，求AE的长；（2）求证：EB是⊙O的切线．20．某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．（1）求这段时间内y与x之间的函数解析式；（2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？21．综合与实践某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形ABCD中，AB＞AD且AB足够长）进行探究活动．【动手操作】如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，连接EF，把纸片展平．第二步，把四边形AEFD折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为GH，再把纸片展平．第三步，连接GF．（1）【探究发现】根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．甲同学的结论：四边形AEFD是正方形．乙同学的结论tan∠AFG=请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由．（2）【继续探究】在上面操作的基础上，丙同学继续操作．如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在AB上的点M处，折痕为GP，连接PM，把纸片展平．第五步，连接FM交GP于点N．根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：FN•AM＝GN•AD．请证明这个结论．22．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（﹣b，c）两点，其中a，b，c为常数，且ab＞0．（1）求a，c的值；（2）若该二次函数的最小值是﹣4，且它的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE．是否存在点P，使S△PCES△CBE

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：﹣3的绝对值是3.故答案为：A.【分析】利用负数的绝对值等于它的相反数，可求出已知数的相反数.2．【答案】D【解析】【解答】解：由正方体的展开图可知设的对面是才，人的对面是强，建的对面是国.故答案为：D.【分析】正方体的表面展开图，相对的一面一定相隔一个正方形，例如：设的对面是才.3．【答案】B【解析】【解答】解：A、2+3不能计算，故A不符合题意；

B、2×5=10，故B符合题意；

C、故答案为：B.【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A作出判断；利用二次根式的乘法法则进行计算，可对B作出判断；利用二次根式的除法法则，可对C作出判断；然后利用二次根式的性质：a24．【答案】A【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，

∴AC⊥BD，

∴∠AOB=90°，

∴△AOB是直角三角形，

∵E为AB的中点，

∴OE是AB边的中线，

∴AB=2OE=2×3=6，

∴菱形的边长为6.故答案为：A.【分析】利用菱形的对角线互相垂直，可证得AC⊥BD，可推出△AOB是直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AB的长，即可得到菱形的边长.5．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示），

∴班主任采用的是全面调查，故A不符合题意；

B、∵36％＞30％＞20％＞8％＞6％，

∴喜爱娱乐节目的同学最多，故B不符合题意；

C、最喜欢戏曲节目的人数为：50×6％=3人，故C不符合题意；

D、“体育”对应扇形的圆心角为360°×20％=72°，故D符合题意.故答案为：D.【分析】根据题意可知班主任采用的是全面调查，可对A作出判断；观察扇形统计图根据各部分所占的百分比，可对B作出判断；用50×喜欢戏曲的人数所占的百分比，可求出喜爱戏曲节目的同学的人数，可对C作出判断；用360°×喜爱体育的人数所占的百分比，列式计算可对D作出判断.6．【答案】D【解析】【解答】解：连接OC，OB，过点O作OG⊥BC于点G，∴∠OGC=90°，CG=12BC=1，

∵正六边形ABCDEF，

∴∠BOC=16×360°=60°，

∵OB=OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠OCG=60°，BC=OC=2，

在Rt△OGC中

OG=CG·tan∠OCG=1×tan60°=3.【分析】连接OC，OB，过点O作OG⊥BC于点G，利用垂直的定义和垂径定理可求出CG的长，∠OGC=90°，利用正六边形的性质可推出△OBC是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠OCG=60°，BC=OC=2；在Rt△OGC中，利用解直角三角形求出OG的长，即可求解.7．【答案】C【解析】【解答】解：∵反比例函数y=kx（k＜0），

∴图象经过二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，

∵A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y=kx（k＜0）的图象上，

∴y2＞y1＞0，y3＜0，

∴y3＜y1故答案为：C.【分析】利用反比例函数y=kx的性质，当k＜0时在每一个象限内，y随x的增大而增大；当k＞0时在每一个象限内，y随x的增大而减小，利用三个点的横坐标，可得到：y2＞y1＞0，y3＜0，据此可得到y1，y2，y8．【答案】A【解析】【解答】解：将原方程组转化为

1+11-3x故答案为：A.【分析】先将原方程变形，再在方程的同时乘以2（1-3x），去掉分母，将分式方程转化为整式方程.9．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，

∴∠A+∠BCD=180°，

∵∠BCD、∠EBC分别是△EBC和△ABF的一个外角，

∠EBC=∠A+∠F，∠BCD=∠E+∠EBC，

∴∠BCD=∠E+∠A+∠F，

∴∠A+∠E+∠A+∠F=180°，

∴2∠A+54°41'+43°19'=180°，

解之：∠A=41°.故答案为：C.【分析】利用圆内接四边形的对角互补，可证得∠A+∠BCD=180°，利用三角形外角的性质可推出∠BCD=∠E+∠A+∠F，然后代入可得到关于∠A的方程，解方程求出∠A的度数即可.10．【答案】B【解析】【解答】解：第一幅图有12=1个正方形，

第二幅图正方形的个数为1+22，

第三幅图正方形的个数为1+22+32=14；

第四幅图正方形的个数为1+22+32+42=30；

⋯

第n幅图正方形的个数为1+22+32+42+⋯+n2；

∴第六幅图正方形的个数为1+22+32+42+52+62=1+4+9+16+25+36=91；故答案为：B.【分析】观察图形中正方形的放置规律可知第一幅图有1个正方形；第二幅图正方形的个数为1+22；第三幅图正方形的个数为1+22+32=14⋯按此规律可得到第n幅图正方形的个数，据此可求出第六幅图正方形的个数.11．【答案】2【解析】【解答】解：250000=2.5×105；故答案为：2.5×105.【分析】根据科学记数法的表示形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值大于1与小数点移动的位数相同即可求解.12．【答案】2【解析】【解答】解：∵a2-2b+1=0，

∴a2+1=2b，

∴4b故答案为：2.【分析】将原方程转化为a2+1=2b，然后整体代入求值即可.13．【答案】OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD【解析】【解答】解：若添加：OB=OD，

∵OB=OD，OA=OC，

∴四边形ABCD是平行四边形；

若添加：AD∥BC，

∵AD∥BC，

∴∠DAO=∠BCO，

在△AOD和△COB中

∠DAO=∠BCOOA=OC∠AOD=∠BOC

∴△AOD≌△BCO（ASA）

∴OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形；

若添加AB∥CD，

∴∠BAO=∠DCO，

在△AOB和△COD中

∠BAO=∠DCOOA=OC∠AOB=∠DOC

∴△AOB≌△COD（ASA）

∴故答案为：OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD.【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以添加：OB=OD；若添加：AD∥BC，利用平行线的性质可推出∠DAO=∠BCO，利用ASA可证得△AOD≌△BCO，利用全等三角形的对应边线段，可证得OB=OD，据此可证得四边形ABCD是平行四边形；若添加AB∥CD，同理可证得四边形ABCD是平行四边形；综上所述可得答案.14．【答案】k≥3【解析】【解答】解：y＝x2﹣6x+12=（x-3）2+3，

∵将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度，

∴平移后的函数解析式为y=（x-3）2+3-k=x2-6x+12-k，

∵若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，

∴b2-4ac≥0即36-4（12-k）≥0

解之：k≥3.故答案为：k≥3.【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到平移后的函数解析式为y=x2-6x+12-k，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点，可证得b2-4ac≥0，据此可得到关于k的不等式，解方程求出k的取值范围.15．【答案】①②⑤【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=∠ACB=12（180°-90°）=45°，

∵AD平分∠BAC，

∴AD是△ABC的中线和高线，

∴AD=DB=DC=12BC，故①正确；

∴∠ADC=90°，∠DAC=45°，

∵以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F．以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G．以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H．

∴∠ABD=∠MAC=45°，

∴∠DAM=∠DAC+∠CAM=45°+45°=90°，

∴AM//BC.

∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M．连接MC，MB．MB分别交AC，AD于点N，P．

∴BC=BM，

过点M作MS⊥BC于点S，

∴∠MSB=90°，

∴四边形ADSM是矩形，

∴AD=MS，

∴MS=12BM，

∴∠MBS=30°，

∴∠ABM=∠ABC-∠MBS=45°-30°=15°，故②正确；

在△BPD中，∠BDP=90°，∠PBD=30°，

∴∠APN=∠BPD=90°-30°=60°，

∵AM∥BC，

∴∠AMN=∠MBP=30°，

∴∠ANP=∠MAC+∠AMN=30°+45°=75°，

∴∠ANP≠∠APN，故③错误；

设AP=x，AD=y，则PD=y-x，

∴AM=APtan∠APM=xtan60°=3x，

∴PD=BDtan∠PBD=ADtan30°=33y=y-x

解之：AD=y=3x3-1，

∴AMAD=3x3x3-1=3-1，故④错误

∵∠MAC=45°，∠AMB=30°，

【分析】利用已知可证得△ABC是等腰直角三角形，可求出∠ABC的度数，同时可证得AD是△ABC的中线和高线，可得到AD=DB=DC=12BC，∠ADC=90°，∠DAC=45°，可对①作出判断；利用作图可证得BC=BM，∠ABD=∠MAC=45°，可推出∠DAM=90°，过点M作MS⊥BC于点S，可证四边形ADSM是矩形，利用矩形的性质可推出AD=MS=12BM，可证得∠MBS=30°，根据∠ABM=∠ABC-∠MBS，代入计算可求出∠ABM的度数，可对②作出判断；再分别求出∠APN和∠ANP的度数，可对③作出判断；设AP=x，AD=y，则PD=y-x，利用解直角三角形可表示出AM、PD的长，由此可得到AD的长，再求出AM与AD的比值，可对④作出判断；然后证明CN=CM，△BMC∽△CMN，利用相似三角形的性质可证得MC2＝MN•MB，可对16．【答案】解：原式＝（xy﹣4x2）+（4x2﹣y2）＝xy﹣4x2+4x2﹣y2＝xy﹣y2，当x=12，y＝2时，原式【解析】【分析】利用单项式乘以多项式的法则和平方差公式，先去括号，再合并同类项；然后将x，y的值代入化简后的代数式进行计算即可.17．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求．由图可得，点B1的坐标为（3，2）．（2）解：如图，△A2B1C2即为所求．点C1运动到点C2所经过的路径长为90π×2180【解析】【分析】（1）利用点的坐标平移规律及已知条件，将△ABC向下平移2个单位长度可得到对应点A1、B1、C1的位置，然后画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标.

（2）利用旋转的性质，将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°可得到对应点A2、B1、C2的位置，然后画出△A2B1C2；利用旋转可知点C1运动到点C2所经过的路径是以点B1为圆心，B1C1为半径的弧长，然后利用弧长公式进行计算.18．【答案】（1）解：八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．

90分的有7人，95分的有6人

补全条形统计图，如图所示：（2）91；92.5（3）我认为八年级（1）班成绩更好一些，理由为：

八年级（3）班的众数为90分，比较可知：平均数两个班相同，中位数和众数方面（1）班优于（3）班，故八年级（1）班成绩更好一些；（4）八年级（1）班三位满分同学记作1，2，3，（3）班两位同学满分记作4，5，列表如下：123451﹣﹣﹣（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2（2，1）﹣﹣﹣（2，3）（2，4）（2，5）3（3，1）（3，2）﹣﹣﹣（3，4）（3，5）4（4，1）（4，2）（4，3）﹣﹣﹣（4，5）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）﹣﹣﹣所有等可能的情况有20种，其中所抽取的2名学生恰好在同一个班级的情况有（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（4，5），（5，4）共8种，则P（所抽取的2名学生恰好在同一个班级）=8【解析】【解答】解：（2）八年级（1）班20名学生成绩从小到大排列：80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，95，95，95，95，95，95，95，100，100，100，

处于最中间的两个数是90、95，

∴这组数据的中位数是n=12（90+95）=92.5；

平均数m=80×3+85×3+90×4+95×7+100×320=91

故答案为：91；92.5.

【分析】（1）利用已知八年级（3）班的学生的成绩，可得到90分和95分的人数，再补全条形统计图.

（2）将八年级（1）班20名学生成绩从小到大排列，可得到最中间的两个数，然后求出这组数据的中位数；再利用加权平均数公式求出这组数据的平均数.

19．【答案】（1）解：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD，即∠EAD＝∠BAC，又∵∠ADE＝∠ACB，AD＝AC，∴△ADE≌△ACB（ASA），∴AE＝AB，∵AB＝8，∴AE＝8；（2）证明：如图，连接BO并延长交⊙O于点F，∵BF是⊙O的直径，∴∠BAF＝90°，∴∠AFB+∠ABF＝90°，∵∠AFB＝∠ACB，∴∠ACB+∠ABF＝90°，在△ADC中，AD＝AC，∴∠ACB＝∠ADC，∴2∠ACB+∠CAD＝180°，由（1）知AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE，∴2∠ABE+∠BAE＝180°，∵∠BAE＝∠CAD，∴∠ACB＝∠ABE，∴∠ABE+∠ABF＝90°，即∠OBE＝90°，∵OB为半径，∴EB是⊙O的切线．【解析】【分析】（1）利用∠BAE＝∠CAD可推出∠EAD＝∠BAC，利用ASA可证得△ADE≌△ACB，利用全等三角形的性质可知AE=AB，即可求出AE的长.（2）连接BO并延长交⊙O于点F，利用直径所对的圆周角是直角可证得∠BAF=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可证得∠AFB+∠ABF=90°，再利用圆周角定理可证得∠AFB=∠ACB，由此可推出∠ACB+∠ABF＝90°；再利用等边对等角可推出2∠ACB+∠CAD＝180°，同时可证得2∠ABE+∠BAE＝180°，由∠BAE=∠CAD，可推出∠ACB=∠ABE，可证得∠ABE+∠ABF＝90°，即可推出∠OBE=90°，然后利用切线的判定定理可证得结论.20．【答案】（1）解：由题意，设一次函数的解析式为y＝kx+b，又过（100，300），（120，200），∴100k+b=300120k+b=200∴k=-5b=800∴所求函数解析式为y＝﹣5x+800．（2）由题意得，x≥100-5x+800≥220∴100≤x≤116．∵商场获得的利润＝（x﹣80）（﹣5x+800）＝﹣5x2+1200x﹣64000＝﹣5（x﹣120）2+8000，又﹣5＜0，100≤x≤116，∴当x＝116时，利润最大，最大值为7920．答：当销售单价为116时，商场获得利润最大，最大利润是7920元．【解析】【分析】（1）由函数图象可知此函数是一次函数，且图象经过（100，300），（120，200），设一次函数的解析式为y＝kx+b再将这两点的坐标分别代入，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到y与x的函数解析式.（2）根据已知条件：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，可得到关于x的不等式组，求出不等式组的解集；再求出商场获得的利润与x的函数解析式，利用二次函数的性质可求解.21．【答案】（1）解：甲同学和乙同学的结论都正确，证明如下，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BAD＝90°，∵折叠，∴∠D＝∠AEF＝90°＝∠DAE，AD＝AE，∴四边形AEFD是矩形，∴四边形AEFD是正方形；故甲同学的结论正确．作GK⊥AF，设AE＝2x，则AG＝EG＝x，∵四边形AEFD是正方形，∴∠EAF＝45°，∴AF＝22x，AK＝KG=22AG∴FK＝AF﹣AK=3∴tan∠AFG=KG故乙同学的说法也正确．（2）证明：过G作GQ⊥PM交延长线于点Q，∵折叠，∴FP＝PM，FG＝GM，GH＝GQ，∠FPG＝∠MPG，PH＝PQ，∵AB∥CD，∴∠FPG＝∠PGM，∴∠PGM＝∠MPG，∴PM＝GM，∴PF＝GM＝PM＝FG，∴四边形FGMP是菱形，∴∠FNG＝90°，∵∠GQP＝90°＝∠FNG，∠FGN＝∠GPQ，∴△GFN∽△PGQ，∴FNGQ∴FN•PQ＝GN•GQ，∵AM＝AG+GM＝HF+FP＝PH，∴AM＝PQ，∵GQ＝GH＝AD，∴FN•AM＝GN•AD．【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得∠D=∠BAD=90°，再利用折叠的性质可证∠D＝∠AEF＝90°＝∠DAE，AD＝AE，由此可推出