高一数学集合与函数知识点总结

高中课程复习专题——数学集合与函数专题一、集合相关概念1、集合中元素的特性⑴元素的确定性：组成集合的元素必须是确定的。⑵元素的互异性：集合中不得有重复的元素。⑶元素的无序性：集合中元素的排列不遵循某种顺序，是随意排列的。2、集合的表示方法⑴列举法：将集合中元素一一列出。⑵描述法：将集合中元素的公共属性用语言描述出来。⑶解析法：用解析式的方式描述出集合元素的公共属性。⑷图示法：用韦恩图直观的画出集合中的元素。3、集中特殊数集的表示方法自然数集：N正整数集：N+整数集：Z有理数集：Q实数集：R空集：Φ二、集合间的基本关系——子集与真子集1、自反性——任何一个集合都是它本身的子集：A⊆A。2、如果A⊆B且A≠B，则，A是B的真子集。3、传递性：如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C。4、如果A⊆B且B⊆A，则A=B。5、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。6、有n个元素的集合，有2n个子集，有2n-1个真子集。三、集合间的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A和B的交集（A∩B）。即A∩B={x∣x∈A且x∈B}由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A和B的并集（A∪B）。即A∪B={x∣x∈A或x∈B}设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中不属于A的元素组成的集合称为S中A的补集（CSA）。即CSA={x∣x∈S且xA}图示性质A∩A=AA∩Φ=ΦA∩B=B∩AA∩B⊆AA∩B⊆BA∪A=AA∪Φ=AA∪B=B∪AA⊆A∪BB⊆A∪BCSA∩CSB=CS（A∪B）CSA∪CSB=CS（A∩B）A∪CSA=SA∩CSA=Φ四、函数的相关概念1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，则就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B={f(x)∣x∈A}叫做函数的值域。★2、函数定义域的解题思路：⑴若x处于分母位置，则分母x不能为0。⑵偶次方根的被开方数不小于0。⑶对数式的真数必须大于0。⑷指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。⑸指数为0时，底数不得为0。⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，则，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。3、相同函数⑴表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。⑵定义域一致，对应法则一致。4、函数值域的求法⑴观察法：适用于初等函数和一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。⑵图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。⑶配方法：主要用于二次函数，配方成y=(x-a)2+b的形式。⑷代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。5、函数图像的变换⑴平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。⑵伸缩变换：在x前加上系数。⑶对称变换：高中阶段不作要求。6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，则就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射。⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。⑵集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。⑶不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。7、分段函数⑴在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。⑵各部分自变量和函数值的取值范围不同。⑶分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。8、复合函数：如果（u∈M），u=g(x)（x∈A）,则，y=f[g(x)]=F(x)（x∈A），称为f、g的复合函数。★五、函数的性质1、函数的局部性质——单调性设函数y=f(x)的定义域为I，如果对应定义域I内的某个区间D内的任意两个变量x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则y=f(x)在区间D上是增函数，D是函数y=f(x)的单调递增区间；当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则则y=f(x)在区间D上是减函数，D是函数y=f(x)的单调递减区间。⑴函数区间单调性的判断思路ⅰ在给出区间内任取x1、x2，则x1、x2∈D，且x1<x2。ⅱ做差值f(x1)-f(x2)，并进行变形和配方，变为易于判断正负的形式。ⅲ判断变形后的表达式f(x1)-f(x2)的符号，指出单调性。⑵复合函数的单调性复合函数y=f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律为“同增异减”；多个函数的复合函数，根据原则“减偶则增，减奇则减”。⑶注意事项函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成并集，如果函数在区间A和B上都递增，则表示为f(x)的单调递增区间为A和B，不能表示为A∪B。2、函数的整体性质——奇偶性对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)，则f(x)就为偶函数；对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)=-f(x)，则f(x)就为奇函数。⑴奇函数和偶函数的性质ⅰ无论函数是奇函数还是偶函数，只要函数具有奇偶性，该函数的定义域一定关于原点对称。ⅱ奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。⑵函数奇偶性判断思路ⅰ先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则为非奇非偶函数。ⅱ确定f(x)和f(-x)的关系：若f(x)-f(-x)=0，或f(x)/f(-x)=1，则函数为偶函数；若f(x)+f(-x)=0，或f(x)/f(-x)=-1，则函数为奇函数。3、函数的最值问题⑴对于二次函数，利用配方法，将函数化为y=(x-a)2+b的形式，得出函数的最大值或最小值。⑵对于易于画出函数图像的函数，画出图像，从图像中观察最值。⑶关于二次函数在闭区间的最值问题ⅰ判断二次函数的顶点是否在所求区间内，若在区间内，则接ⅱ，若不在区间内，则接ⅲ。ⅱ若二次函数的顶点在所求区间内，则在二次函数y=ax2+bx+c中，a>0时，顶点为最小值，a<0时顶点为最大值；后判断区间的两端点距离顶点的远近，离顶点远的端点的函数值，即为a>0时的最大值或a<0时的最小值。ⅲ若二次函数的顶点不在所求区间内，则判断函数在该区间的单调性若函数在[a，b]上递增，则最小值为f(a)，最大值为f(b)；若函数在[a，b]上递减，则最小值为f(b)，最大值为f(a)。六、指数和对数1、指数的性质⑴根式：如果xn=a，则x叫做a的n次方根，记作（n>1，n∈N+）ⅰ负数没有偶次方根。ⅱ0的任何次方根都是0。ⅲ当n为奇数时=a，当n是偶数时=∣a∣⑵分数指数幂=（a>0，m、n∈N+，n>1）负指数幂=（a>0，m、n∈N+，n>1）0的正分数指数幂为0,0的负指数幂没有意义。⑶实数指数幂的运算性质ar•as=ar+s(a>0，r、s∈R)(ar)s=ar•s(a>0，r、s∈R)(ab)r=ar•br(a、b>0，r∈R)2、对数的性质⑴对数：如果ax=N(a>0，a≠1)，则，x叫做以a为底N的对数，记住：logaN=x，其中a为底数，N为真数。ⅰ注意底数a的取值范围：a>0且a≠1。ⅱ常数对数：以10为底的对数lgN；自然对数：以e=2.71828…为底的对数lnN。⑵对数的运算性质：如果a>0且a≠1，M>0，N>0loga(M•N)=logaM+logaNloga=logaM–logaNlogaMn=nlogaM(N∈R)⑶对数的换底公式logab=logcb/logca(a>0且a≠1,c>0且c≠1，b>0)则=logab=1/logba七、基本初等函数1、指数函数：函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数a的取值a>10<a<1图像定义域x∈Rx∈R值域y∈(0，+∞)y∈(0，+∞)单调性全定义域单调递增全定义域单调递减奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数过定点（0,1）（0,1）注意：⑴由函数的单调性可以看出，在闭区间[a,b]上，指数函数的最值为：a>1时，最小值f(a)，最大值f(b)；0<a<1时，最小值f(b)，最大值f(a)。⑵对于任意指数函数y=ax(a>0且a≠1)，都有f(1)=a。2、对数函数：函数y=logax(a>0且a≠1))，叫做对数函数a的取值a>10<a<1图像定义域x∈(0，+∞)x∈(0，+∞)值域y∈Ry∈R单调性全定义域单调递全定义域单调递减奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数过定点(1,0)(1,0)3、幂函数：函数y=xa(a∈R)，高中阶段，幂函数只研究第I象限的情况。⑴所有幂函数都在(0，+∞)区间内有定义，而且过定