人教A版（2019）必修第二册第七章7.1.1 数系的扩充和复数的概念 教学设计

人教A版（2019）必修第二册第七章7.1.1数系的扩充和复数的概念教学设计主备人备课成员教学内容人教A版（2019）必修第二册第七章7.1.1数系的扩充和复数的概念。本节课我们将探讨以下内容：

1.实数的扩充及数系的发展历程；

2.复数的定义及其表示方法；

3.复数与实数的区别与联系；

4.复数的几何意义及复平面概念；

5.复数的基本运算规则。核心素养目标分析1.掌握数系扩充的历史背景，提高数学抽象思维能力，理解数学知识的连贯性与发展性；

2.理解并运用复数的概念，培养数学建模和数学运算能力；

3.比较分析复数与实数的区别与联系，增强逻辑推理和数学分析能力；

4.探索复数的几何意义，提高空间想象力和直观想象能力；

5.掌握复数的基本运算规则，培养解决实际问题的应用意识和创新能力。学习者分析1.学生已经掌握了实数的概念、性质及运算规则，了解了数系的发展过程，具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。

2.学生对数学学习兴趣浓厚，具备一定的自主学习能力和合作学习经验。在学习过程中，他们倾向于通过实际例题和图形来理解和掌握知识，具有一定的直观想象力和空间思维能力。

3.学生可能在新概念复数的引入和运算规则上遇到困难，特别是在理解复数的几何意义和解决复数相关问题方面可能感到挑战。此外，对复数与实数之间的区别和联系的理解也可能成为学生的学习难点。部分学生在面对复杂数学问题时，可能缺乏自信和耐心，需要教师给予鼓励和引导。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源1.硬件资源：多媒体教学设备、投影仪、白板、计算器。

2.软件资源：PPT课件、教学视频、数学软件（如GeoGebra）。

3.课程平台：学校网络教学平台、数字化教室。

4.信息化资源：电子教材、在线数学工具、教学互动软件。

5.教学手段：课堂讲解、小组讨论、互动问答、案例教学、实际操作。教学过程1.导入新课

同学们，我们在之前的学习中已经接触了实数，了解了数系的发展过程。今天，我们将进一步探讨数系的扩充，引入一个全新的概念——复数。复数在数学和实际应用中具有广泛的影响，现在，让我们共同揭开复数的神秘面纱。

2.基本概念与性质

首先，我们来看一下复数的定义。复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为a+bi（其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i²=-1）。这里，a是复数的实部，b是复数的虚部。

（引导学生进行思考，讨论实数与复数的区别与联系。）

3.数系扩充的历史背景

在了解复数的概念后，我们来回顾一下数系扩充的历史背景。从自然数到整数，再到分数、实数，数系的发展是为了解决实际问题和满足数学发展的需要。那么，复数的引入又有何重要意义呢？

（通过PPT展示数系扩充的历史背景，引导学生了解复数的发展过程。）

4.复数的几何意义

现在，我们来探讨复数的几何意义。复数可以在复平面上表示为一个点，其实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。例如，复数1+2i在复平面上的位置是（1，2）。

（利用数学软件GeoGebra展示复数在复平面上的表示，帮助学生直观地理解复数的几何意义。）

5.复数的基本运算

（1）加法和减法

复数的加法和减法实际上是实部和虚部分别相加或相减。例如：

(1+2i)+(3+4i)=(1+3)+(2+4)i=4+6i

(1+2i)-(3+4i)=(1-3)+(2-4)i=-2-2i

（2）乘法

复数的乘法遵循以下规则：

(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

例如：

(1+2i)*(3+4i)=(1*3-2*4)+(1*4+2*3)i=-5+10i

（3）除法

复数的除法可以通过乘以共轭复数来实现。共轭复数是将复数的虚部变号，例如，复数a+bi的共轭复数为a-bi。

例如：

(3+4i)/(1+2i)=(3+4i)*(1-2i)/(1+2i)*(1-2i)=(3-6i+4i-8i²)/(1-2i+2i-4i²)=(11-2i)/5

6.应用与拓展

现在，我们已经掌握了复数的基本概念和运算规则，接下来，我们来看一些复数在实际问题中的应用。

（1）电流与电压

在电路中，电流和电压可以表示为复数。通过复数的运算，我们可以分析电路的特性，如阻抗、相位等。

（2）信号处理

在信号处理领域，复数用于表示信号的幅度和相位。通过复数的运算，可以实现信号的滤波、调制等操作。

7.总结与作业

本节课我们学习了复数的概念、几何意义、基本运算及其在实际问题中的应用。希望大家能够掌握这些知识，并在课后进行巩固。

作业：

（1）完成教材P347页的练习题1、2、3。

（2）思考复数在生活中的应用，下节课与同学们分享。

今天的课程就到这里，同学们，下节课再见！拓展与延伸1.拓展阅读材料

（1）《复数及其应用》：介绍复数的起源、发展以及在各个领域的应用，帮助学生更深入地了解复数的价值和意义。

（2）《复变函数》：介绍复变函数的基本概念、性质和运算规则，为学生进一步学习复变函数打下基础。

（3）《复数与几何》：探讨复数与几何图形之间的联系，如复数的模、辐角等概念，以及复数在几何中的应用。

2.课后自主学习和探究

（1）研究复数的产生背景和发展过程，了解数学家们是如何发现并研究复数的。

（2）探究复数在物理学、工程学、计算机科学等领域的具体应用，例如在电子电路、信号处理、量子力学等方面的应用。

（3）通过数学软件（如GeoGebra、Mathematica等）进行复数的可视化，观察复数运算的几何意义，加深对复数的理解。

（4）研究复数的性质和运算规则，尝试解决一些与复数相关的问题，如求解复数方程、分析复数函数的性质等。

同学们，本节课我们学习了复数的概念和基本运算，希望大家能够通过拓展阅读和课后探究，进一步巩固和深化对复数的理解。同时，也要关注复数在实际问题中的应用，将所学知识运用到实际中，提高自己的综合素质。祝大家在数学学习的道路上越走越远！典型例题讲解例题1：计算复数的和、差、积、商。

（1）计算(3+4i)+(1-2i)。

解答：(3+4i)+(1-2i)=3+1+(4-2)i=4+2i。

（2）计算(3+4i)-(1-2i)。

解答：(3+4i)-(1-2i)=3-1+(4+2)i=2+6i。

（3）计算(3+4i)*(1-2i)。

解答：(3+4i)*(1-2i)=3*1+3*(-2i)+4i*1+4i*(-2i)=3-6i+4i-8i²=11-2i。

（4）计算(3+4i)/(1-2i)。

解答：(3+4i)/(1-2i)=(3+4i)*(1+2i)/(1-2i)*(1+2i)=(3+6i+4i+8i²)/(1-4i²)=(11+10i)/5=11/5+2i。

例题2：求复数的模和辐角。

给定复数z=3+4i，求|z|和arg(z)。

解答：复数z的模|z|=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5。

复数z的辐角arg(z)=arctan(4/3)。

例题3：解复数方程。

解方程z²+(3-4i)z+6-7i=0。

解答：设z=x+yi，代入方程得：

(x+yi)²+(3-4i)(x+yi)+6-7i=0

x²+2xyi-y²+3x+3yi-4xi-4yi²+6-7i=0

(x²-y²+3x-4y)+(2xy+3y-4x)i=0

解得：

x²-y²+3x-4y=0

2xy+3y-4x=0

解这个方程组，得到两组解，分别为：

x=1,y=1或x=2,y=-1

所以，方程的解为z=1+i或z=2-i。

例题4：复数与几何。

在复平面上，点A、B、C对应的复数分别为1+2i、3+4i、5+6i。求向量AB和BC的模。

解答：向量AB=(3+4i)-(1+2i)=2+2i

向量BC=(5+6i)-(3+4i)=2+2i

所以，|AB|=|BC|=√(2²+2²)=√(4+4)=√8=2√2。

例题5：复数在实际问题中的应用。

某电路中的电压V和电流I分别为V=10+6iV，I=2+4iA。求该电路的阻抗Z。

解答：阻抗Z=V/I=(10+6i)/(2+4i)=(10+6i)*(2-4i)/(2+4i)*(2-4i)=(20-40i+12i-24i²)/(4-16i²)=(44-28i)/20=2.2-1.4iΩ。教学反思与改进在本次教学活动中，我重点关注了学生对复数概念的理解和复数运算的掌握。通过课后反思，我发现以下几个需要改进的地方：

1.学生对复数概念的理解不够深入。在课堂上，虽然我通过讲解和举例介绍了复数的定义，但部分学生对复数的实质仍然存在误解。为了帮助学生更好地理解复数，我计划在未来的教学中增加一些互动环节，如让学生自己举例说明复数的应用，加深对复数概念的理解。

2.复数运算方面，学生在处理复数除法和乘法时，容易出现错误。这可能是因为我对运算规则的讲解不够细致，导致学生在实际操作时感到困惑。针对这个问题，我将在下一节课中，通过更多典型例题的讲解，让学生逐步掌握复数运算的规律，并加强课后练习，巩固所学知识。

3.在教学过程中，我发现部分学生对复数的几何意义兴趣浓厚，但对复数在其他领域的应用了解不足。为了拓宽学生的知识视野，我计划在课后布置一些关于复数应用的拓展阅读材料，让学生了解复数在科学、工程等领域的重要作用。

针对以上反思，我制定了以下改进措施：

1.在讲解复数概念时，增加课堂互动环节，让学生举例说明复数的实际应用，以提高他们对复数概念的理解。

2.在复数运算教学中，加强对运算规则的讲解，通过典型例题的分析和练习，帮助学生熟练掌握复数运算。

3.布置课后拓展阅读，让学生了解复数在各个领域的应用，提高他们的学习兴趣。

4.在课后练习中，增加一些综合性较强的题目，训练学生的逻辑思维和解决问题的能力。

5.定期进行教学反馈，了解学生的学习进度和困难，及时调整教学策略，提高教学效果。课堂小结，当堂检测今天我们学习了人教A版（2019）必修第二册第七章7.1.1数系的扩充和复数的概念。在本节课中，我们主要掌握了以下知识点：

1.实数的扩充及数系的发展历程；

2.复数的定义及其表示方法；

3.复数与实数的区别与联系；

4.复数的几何意义及复平面概念；

5.复数的基本运算规则。

为了检验大家对今天所学知识的掌握情况，下面进行当堂检测：

1.写出复数的定义，并说明复数与实数的区别。

2.计算以下复数的和、差、积、商：

(1)(3+4i)+(1-2i)

(2)(3+4i)-(1-2i)

(3)(3+4i)*(2+3i)

(4)(3+4i)/(2+3i)

3.求复数z=3+4i的模和辐角。

4.解复数方程：z²+(3-4i)z+6-7i=0。

5.解释复数在电路、信号处理等领域的应用。

请同学们在课堂上独立完成检测题目，我会对大家的表现进行点评，并给予反馈。希望大家能够通过这次检测，巩固所学知识，为接下来的学习打下坚实基础。板书设计①重点知识点：

1.数系的扩充：自然数、整数、分数、实数、复数

2.复数的定义：a+bi（a、b为实数，i为虚数单位）

3.复数的表示：实部、虚部

4.复数的几何意义：复平面上的点

5.复数的运算