2024～2025学年度八年级数学上册第2课时 直角三角形的两个锐角互余教学设计

第2课时直角三角形的两个锐角互余教学目标课题11.2.1第2课时直角三角形的两个锐角互余授课人素养目标1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，感受从特殊到一般的思想.2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形的判定方法，发展学生的推理能力.教学重点直角三角形的性质与判定．教学难点应用直角三角形的性质与判定进行计算或推理.教学活动教学步骤师生活动活动一：结合实际，问题导入设计意图结合常见的直角三角板，并提出疑问为导入新课做铺垫.【情境引入】如图所示是我们常用的一副直角三角板，量一量自己手上的这两个三角板，它们两锐角的度数之和分别是多少？它们两锐角的度数之和都是90°.对于任意直角三角形，这个结论还成立吗？让我们在本节课的学习中找寻答案吧！【教学建议】直角三角板是具有特殊角度的直角三角形，又是常见的学习用具，据此进行抽象概括，学生能够更直观地了解，再进一步延伸到任意的直角三角形.活动二：动手操作，探究新知设计意图探索直角三角形中两个锐角的关系，总结出直角三角形的性质并利用其解题.探究点1直角三角形的性质现在我们来探究活动一中的问题：(1)测量角度：在纸上任意画几个直角三角形，用量角器分别测量各个直角三角形两锐角的度数.(2)猜想结论：将测量的每个直角三角形两锐角的度数相加，发现：两锐角的度数之和为90°.(3)拼合验证：把直角三角形的两个锐角剪下，拼合在一起，再用量角器测量，均构成直角.(4)演绎推理：如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，即∠A＋∠B＋90°＝180°，所以∠A＋∠B＝90°.(5)得到结论：直角三角形的两个锐角互余.直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.注意“Rt△”后必须紧跟直角三角形的三个顶点字母，不能单独使用．如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边”.例1(教材P14例3)如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED.∵∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBE.【对应训练】教材P14练习第1题.【教学建议】结合三角形内角和定理的探索步骤，设计几个环节引导学生自主学习，交流合作．由于测量存在误差，两次测量得到的锐角之和可能在90°附近，故先进行拼合减小这种误差使测量结果尽可能接近90°，让学生有一个感性认识，再经过严密推理证明，这是一个完整的闭环．注意在掌握本性质之后，在直角三角形中求角度时可适当简化过程，不必通过三角形内角和定理.教学步骤师生活动设计意图引入直角三角形的判定方法，使学生经历“提出问题”——“猜想结论”——“推理验证”的过程，并辅以例题引导学生掌握.探究点2直角三角形的判定思考我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由.是直角三角形.理由如下：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，根据三角形内角和定理，可知∠A+∠B+∠C=180°，于是得∠C=180°-90°=90°，∴△ABC是直角三角形.得到结论：有两个角互余的三角形是直角三角形.例2如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？解：△ABD是直角三角形，理由如下：∵CE⊥AD，∴∠DEC=90°.∴∠C+∠D=90°.又∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°.∴△ABD是直角三角形.归纳总结：【对应训练】教材P14练习第2题.【教学建议】学生独立思考，动手画图，强化学生理解，使学生感知性质与判定的互逆关系，这里只需要有一个感性认识即可.另外要注意跟学生强调证明的严密性，如在没有证明三角形是直角三角形之前,不能给三角形标注直角符号.活动三：综合练习，巩固提升设计意图将直角三角形的性质与判定综合出题，强化锻炼学生的解题能力.例如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP平分∠AEF，FP平分∠EFC.(1)求证：△EPF是直角三角形；(2)若∠PEF＝30°，求∠PFC的度数.(1)证明：∵AB∥CD，∴∠AEF＋∠EFC＝180°.又EP平分∠AEF，FP平分∠EFC，∴∠PEF＋∠PFE＝12(∠AEF＋∠EFC)＝12×180°＝90°.∴△EPF是直角三角形.(2)解：∵△EPF是直角三角形，∠EPF＝90°，∠PEF＝30°，∴∠PFE＝90°-30°＝60°.又FP平分∠EFC，∴∠PFC＝∠PFE=60°.【对应训练】如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=62°，AE平分∠BAC交BC于点E，AD⊥BC于点D，∠ADF=74°.（1）求∠DAE的度数；（2）求证：△ADF是直角三角形.（1）解：由三角形内角和定理，得∠BAC=180°-∠B-∠C=88°.【教学建议】学生交流作答，教师根据学生做题情况予以指导、订正.此类题综合性较强，在解题时常需把条件集中于某个三角形.某些特定情形还可能需要利用转化思想转化等角，方法常通过对顶角相等，利用平行线得到内错角相等或同位角相等，等（同）角的余（补）角相等来实现.教学步骤师生活动∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=44°.∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C=28°.∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=44°-28°=16°.（2）证明：由（1）知∠DAE=16°，又∠ADF=74°，∴∠DAE+∠ADF=90°，∴△ADF是直角三角形.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.你能利用三角形内角和定理证明直角三角形的两个锐角互余吗？你能利用这个性质进行直角三角形中的相关计算吗？2.有两个角互余的三角形是直角三角形吗？你能给出证明吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P16～17习题11.2第4，10题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计第2课时直角三角形的两个锐角互余1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．教学反思本节课的学习是建立在三角形内角和定理基础之上的，所以仿照三角形内角和定理的探索过程导入新课，学习直角三角形的性质和判定，起点较低，顺畅自然，适合绝大多数学生．在学习直角三角形的性质时，也可考虑采用几何画板演示作图，这样更形象直观．例题与练习都强化了重点知识的学习，突出了数学学习的本质特征.解题大招一利用直角三角形的性质求角度的方法遇到在三角形中求角的度数相关问题时，若条件中存在垂直关系或直角，首先想到利用“直角三角形的两个锐角互余”解题．某些特定情况下需要作辅助线构建直角三角形，一般采用作垂线的方法，也可能涉及三角形的三条高所在直线相交于一点从而得到垂直条件．例1(1)把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，如图所示，细线与BC边重合，则∠A的度数（B）A．30°B．40°C．50°D．75°(2)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作EF∥AB，若∠ECA＝55°，则∠B的度数为（C）A．55°B．45°C．35°D．25°例2如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点H，则∠CHD＝45°.分析：解题大招二直角三角形的判定的应用例3下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（C）A．∠A＝90°－∠CB．∠A＝∠B－∠CC．∠A＝2∠B＝3∠CD．∠A＝∠B＝eq\f(1,2)∠C解析：培优点直角三角形的性质的应用例如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点F.(1)若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；(2)∠AEF与∠AFE有什么数量关系？说明理由．分析：(1)根据同角的余角相等得到∠ABD＝∠CAD＝36°，根据角平分线的定义求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可；(2)根据角平分线的定义、直角三角形的性质说明结论．解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAD