2024～2025学年度八年级数学上册第1课时 三角形的内角和教学设计

11.2与三角形有关的角11．2.1三角形的内角第1课时三角形的内角和教学目标课题11.2.1第1课时三角形的内角和授课人素养目标探索并证明三角形的内角和定理，学会解决与求角度有关的实际问题，体会转化的数学思想．教学重点三角形内角和定理及其运用．教学难点三角形内角和定理的推理过程.教学活动教学步骤师生活动活动一：提出疑问，启发思维设计意图提出问题引发学生思考，为后面证明三角形内角和定理做铺垫.【问题引入】我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.如图，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的.度量法剪拼法先把一个三角形的3个角剪下来，再拼一拼．看一看，拼成了一个什么角？如何用推理的方法去验证呢？【教学建议】从直观思维到逻辑思维的转变，即是小学到初中的思维方式的转变，此处提问可引起学生的反思，更深刻体会逻辑证明的重要性，方便引入新课.活动二：动手操作，探究新知设计意图通过动手操作，逐步引导学生对三角形内角和定理进行证明，培养学生的演绎推理能力，使学生能熟练地运用演绎推理法解决问题.探究点三角形内角和定理的证明探究通过活动一的启发，我们在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？在上面的拼合中，有不同的方法．下面我们来分析一种较为常见的方法：如图①，∠B和∠C分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线l，移动后的∠B和∠C各有一条边在直线l上.问题1想一想，直线l与△ABC的边BC有什么关系？由“内错角相等，两直线平行”可知l∥BC.【教学建议】对于三角形的内角和等于180°的结论，学生在前两个学段已经知道，但当时是通过实验得出的，并没有经过系统的证明．本活动中仍从前两个学段已做过的实验入手，一方面可以激发学生兴趣，另一方面可以使学生从实验中发现证明的思路．讲教学步骤师生活动由上述拼合过程得到启发，过△ABC的顶点A作直线l平行于△ABC的边BC，那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论.已知：△ABC.求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证明：如图，过点A作直线l，使l∥BC.∵l∥BC，∴∠2＝∠4(两直线平行，内错角相等)．同理∠3＝∠5.∵∠1，∠4，∠5组成平角，∴∠1＋∠4＋∠5＝180°(平角的定义).∴∠1＋∠2＋∠3＝180°(等量代换).以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到如下定理：三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.问题2由图②，你能想出三角形内角和定理的其他证法吗？图②的拼合方法是将三角形的两个内角移到第三个内角的同一侧，三个角合成一个平角，说明∠B的一条边是BC的延长线，还出现了一条过点C的直线l，移动后的∠B和∠A各有一条边在l上．由“内错角相等，两直线平行”或“同位角相等，两直线平行”可知l∥AB，进而想出证明三角形内角和是180°的另一种方法：如图，延长BC，过点C作直线l，使l∥AB.∵l∥AB，∴∠1＝∠4，∠2＝∠5.∵∠3，∠4，∠5组成平角，∴∠3＋∠4＋∠5＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°.拓展：由三角形内角和定理可知，任意一个三角形中，至少有两个锐角，至多有一个钝角或直角，且三角形中最大的内角不小于60°.【对应训练】为了证明三角形的内角和是180°，王老师给出了如图所示作辅助线的方法(过点C作CD∥AB)，请按照这个思路完成证明.解：∵CD∥AB，∴∠A＝∠ACD，∠B＋∠BCD＝180°.∵∠BCD＝∠ACB＋∠ACD，∴∠B＋∠ACB＋∠ACD＝180°，即∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.解的拼合方法，是将三角形的两个内角移到第三个内角的两侧．过△ABC的顶点A作直线l平行于△ABC的边BC，即可实现上述目的．让学生体会直线l是因为解决问题的需要自然产生的，使三角形的三个内角与组成平角的三个角分别相等，从而得出要证明的结论．教师可以告诉学生，三角形内角和定理的证明方法有很多，但不管哪种方法，其根本思路都是设法将问题转化为“平角”或“两直线平行，同旁内角互补”来解题，这是数学中转化思想的重要体现．注意跟学生强调做题时推理的严谨性和书写的规范性.活动三：知识升华，巩固提升设计意图通过例题讲述引导学生经历使用三角形内角和定理解题的过程，强化知识的掌握例1(教材P12例1)如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数.分析：∠ADB是△ABD的一个内角，在△ABD中，B＝75°，如果能求出∠BAD的度数，就能求出∠ADB的度数.解：由∠BAC＝40°，AD是△ABC的角平分线，得∠BAD＝12∠BAC＝20°.在△ABD中，∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－75°－20°＝85°.【教学建议】通过例题教学使学生养成说理的思维习惯，培养逻辑论证能力．例1是利用三角形内角和定理解几何题，例2则结合了实际背景．例2中，给出了一教学步骤师生活动程度，并做练习题进行巩固.例2(教材P12例2)如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？分析：A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角，如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°.由AD∥BE，得∠BAD＋∠ABE＝180°.所以∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°.在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°.答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.问题对于例2，你还能想出其他解法吗？如图，过点C作CF∥AD，则CF∥BE.由CF∥AD，得∠ACF＝∠CAD＝50°.由CF∥BE，得∠BCF＝∠EBC＝40°.所以∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝50°＋40°＝90°.因为∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°，所以∠ABC＝180°－∠ACB－∠CAB＝180°－90°－30°＝60°.答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.【对应训练】教材P13练习第1～2题.图中标注出这些角，这样容易求出∠CAB的度数．方位角以正北、正南为基准，所以AD∥BE，从而同旁内角互补，这是求出∠ABC的度数的关键．求出∠CAB，∠ABC的度数，进而可求出∠ACB的度数．通过例2及后面的问题打造一题多解，培养学生思维的发散能力．活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】课堂总结师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.你能证明三角形的内角和等于180°吗？2.用三角形内角和定理解题的方法掌握了吗？能解决与实际相关的问题吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P16～17习题11.2第1，2，3，7，9题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角第1课时三角形的内角和1.三角形内角和定理的证明.2.三角形内角和定理的应用．教学步骤师生活动教学反思本节课的设计是先让学生动手操作，以便使学生对三角形的内角和有一定感性认识，然后再根据拼图说出结论成立的理由，由浅入深，循序渐进，学生易接受．教师引导学生对三角形的三个内角进行拼合，可以出现不同的方法，这样能让学生充分发挥自己的主动性和创新能力.解题大招一三角形内角和定理的证明方法证明三角形内角和定理的几种思路归纳：例1请分别按上表中图③、图④的思路继续下去，证明三角形内角和定理．证明：图③中，∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠B，∠CED＝∠A.∵DF∥AC，∴∠BDF＝∠C，∠EDF＝∠CED，∴∠EDF＝∠A.∵∠BDF＋∠EDF＋∠CDE＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.如图④，标注字母E，F，G.∵l1∥l2∥l3，∴∠CAE＝∠ACG，∠CBF＝∠BCG，∠BAE＋∠ABF＝180°，即∠1＋∠CAE＋∠2＋∠CBF＝180°.∴∠1＋∠ACG＋∠2＋∠BCG＝180°，即∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°.解题大招二利用三角形内角和定理解决折叠类问题图形折叠前后，重合的角是相等的，利用这个性质求角度时一定要找准相等的角，再用三角形内角和定理求有关的角度．例2(1)如图，∠ABC＝50°，点D，E分别在射线BA，BC上，将△BED沿着DE折叠，若点B恰好落在射线DA上的点B′处，则∠BEB′的度数是（B）A．50°B．80°C．100°D．130°解析：∵将△BED沿着DE折叠，点B恰好落在射线DA上的点B′处，∴∠B＝∠BB′E＝50°，∴∠BEB′＝180°－∠B－∠BB′E＝180°－50°－50°＝80°.故选B.(2)把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图所示，若∠A＝60°，∠1＝95°，则∠2的度数是（C）A．15°B．20°C．25°D．35°解析：∵△ABC沿EF翻折，∴∠BEF＝∠B′EF，∠CFE＝∠C′FE，∴180°－∠AEF＝∠1＋∠AEF，180°－∠AFE＝∠2＋∠AFE.∵∠1＝95°，∴∠AEF＝eq\f(1,2)×(180°－95°)＝42.5°.∵∠A＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∴∠AFE＝180°－60°－42.5°＝77.5°，∴180°－77.5°＝∠2＋77.5°，∴∠2＝25°.故选C.解题大招三“平行线＋角平分线”情形下利用三角形内角和定理求角度此类题具有一定的综合性与拓展性，培养学生分析、解决问题的能力．题目中给出的平行线＋角平分线的条件的作用是转化角度，其解题核心是三角形内角和定理的运用．在后面的学习中我们将了解“平行线＋角平分线”会得到等腰三角形，这里感受模型即可．例3如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝eq\f(1,2)∠ACB＝30°，∴∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°.又DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°.解题大招四利用三角形内角和定理构造方程求角度(方程思想)若已知三角形一个内角的度数及另两个内角之间的数量关系，或只知道三个内角之间的数量关系(如度数之比、角度之间的倍分关系等)，一般利用“三角形三个内角的和等于180°”列方程(组)求解．例4如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C＝2∠A，BD是△ABC的角平分线，求∠A与∠ADB的度数．解：设∠A＝x°，则∠ABC＝∠C＝2x°.∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴x°＋2x°＋2x°＝180°，解得x＝36，∴∠A＝36°，∠ABC＝72°.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝eq\f(1,2)∠ABC＝36°，∴∠ADB＝180°－∠A－∠ABD＝108°.培优点一三角形内角和定理与高、角平分线的综合探究例1如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC.(1)若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数；(2)若∠C－∠B＝30°，则∠DAE＝15°；(3)若∠C－∠B＝α(∠C>∠B)，求∠DAE的度数(用含α的式子表示)．解：(1)由已知可得，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝70°.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝eq\f(1,2)∠BAC＝35°.∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠B＝50°，∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝15°.(2)解析：∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝eq\f(1,2)∠BAC＝eq\f(1,2)(180°－∠B－∠C)＝90°－eq\f(1,2)(∠B＋∠C)．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠B＝90°－∠B，∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝(90°－∠B)－[90°－eq\f(1,2)(∠B＋∠C)]＝eq\f(1,2)(∠C－∠B)．∵∠C－∠B＝30°，∴∠DAE＝eq\f(1,2)×30°＝15°，故答案为15°.(3)同(2)，∵∠C－∠B＝α，∴∠DAE＝eq\f(1,2)α.模型提炼：已知AE，AD分别为△ABC的角平分线和高(∠B>∠C)．如图①，AD在△ABC的内部时，∠DAE＝eq\f(1,2)(∠B－∠C)；如图②，AD在△ABC的外部时，∠DAE＝eq\f(1,2)(∠ABC－∠C)．培优点二“8”字模型的综合探究例2(教材P16T5变式题)如图①，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图①的图形称为“8字形”．试解答下列问题：在图①中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：∠A＋∠D＝∠B＋∠C；(2)仔细观察，在图②中，“8字形”的个数为6；(3)在图②中，若∠D＝40°，∠B＝36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N，利用(1)的结论，试求∠P的度数；(4)在(3)的条件下，若∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系？(直接写出结论即可)解：(1)解析：在△AOD中，∠AOD＝180°－∠A－