2-1等式性质与不等式性质-2022-2023学年高一数学上学期讲与练人教A版2019必修第一册

2.1等式性质与不等式性质一、等式的基本性质1．如果a＝b，那么b＝a.2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.4．如果a＝b，那么ac＝bc.5．如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).二、不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向6正数同向可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向7正数乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正三、比较两个实数（或代数式）大小1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．【注意】（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。题型一利用不等式性质判断真假【例1】如果那么下列说法正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，不等式两边同时减去得，D正确，若，则AB错误，若，C错误．故选：D．【变式1-1】若，则下列不等式不能成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】选项A：由于，即，，所以，所以，所以成立；选项B：由于，即，所以，所以，所以不成立；选项C：由于，所以，所以，所以成立；选项D：由于，所以，所以，所以，所以成立【变式1-2】下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，，则【答案】C【解析】A.若，则，取不成立B.若，则，取不成立C.若，，则，正确D.若，，则，取不成立故答案选C【变式1-3】若为实数，且，则下列命题正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，当时，，A错误；对于B，当，时，，，此时，B错误；对于C，，，C错误；对于D，，，，，，D正确.【变式1-4】已知，满足，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因，，则a>0，b<0，，A不正确；，则，B不正确；又，即，则，，C正确；由得，D不正确.故选：C题型二比较大小【例2】设，则的大小关系为（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，，.又，故．综上可得：．故选：.【变式2-1】已知，比较与的大小．【答案】【解析】因为，．所以．所以，即．【变式2-2】已知a，b均为正实数，试利用作差法比较与的大小.【答案】【解析】∵.又a，b均为正实数，当时，；当时，，则.综上所述，.【变式2-3】比较与两个代数式的大小：；【答案】；【解析】，因此，；【变式2-4】设，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，则.故，当且仅当时，取等号，故选：D【变式2-5】已知，，试比较与的大小；【答案】（当且仅当时取等号）【解析】由，当且仅当时等号成立，所以（当且仅当时取等号）.题型三求代数式的取值范围【例3】若，则的范围为_______【答案】【解析】依题意可知，由于，由不等式的性质可知.【变式3-1】（多选）已知，，则下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】因为，，所以，，则，，，即，，，则；故AB正确，CD错.【变式3-2】已知，则的取值范围是____________.【答案】【解析】令，则，解得，所以，因为，所以，因为，所以，所以，所以的取值范围为，【变式3-3】已知实数，满足，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，，,则又，因此，故本题选B.【变式3-4】已知，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令则，∴，又，…∴①，∴…②∴①②得．则．故选C．题型四不等式的证明【例4】证明不等式().【答案】证明见解析.【解析】因为，所以，所以两边同除以4，即得，当且仅当时，取等号.【变式4-1】已知，求证.【答案】证明见解析.【解析】证明：.由，可知，，从而，又，，又，因此上式分子、分母均小于零，，即.【变式4-2】若，，求证：．【解析】证明：，，，.【变式4-3】（1）已知，求证：