2022届河北省邯郸市高三下学期5月模拟考试二模数学解析版

河北省邯郸市2022届高三5月模拟数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数，则（

）A． B． C． D．2．设集合，，则（

）A． B． C． D．3．已知圆：和圆：，则“”是“圆与圆内切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．位于丛台公园内的武灵丛台已经成为邯郸这座三千年古城的地标建筑，丛台上层建有据胜亭，其顶部结构的一个侧面中，自上而下第一层有块筒瓦，以下每一层均比上一层多块筒瓦，如果侧面共有层筒瓦且顶部个侧面结构完全相同，顶部结构共有多少块筒瓦？（

）A． B． C． D．5．已知正三棱柱，各棱长均为2，且点为棱上一动点，则下列结论正确的是（

）A．该正三棱柱既有外接球，又有内切球B．四棱锥的体积是C．直线与直线恒不垂直D．直线与平面所成角最大为6．已知､是双曲线的左､右焦点，点为双曲线右支上一点，且在以为直径的圆上，若，则（

）A． B． C． D．7．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称C．有2个零点 D．是偶函数8．如图，在平面直角坐标系中，将三角板的端点､分别放在轴和轴的正半轴上运动，点在第一象限，且，若，则点与点之间的距离（

）A．最大值为2 B．最大值为C．最大值为 D．最大值为二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．我国小麦育种技术和水平已经达到国际先进水平，研究发现某品种小麦麦穗长度cm近似服从正态分布.从该品种小麦中任取100株，估计其麦穗长度，则下列说法正确的是（

）A．100株小麦麦穗长度的均值约为11.24cmB．100株小麦中约有2株小麦的麦穗长度大于13.5cmC．100株小麦中没有麦穗长度大于14.63cm的小麦D．若随机变量表示100株小麦中麦穗长度大于13.5cm的株数，则近似服从二项分布附：，10．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．在上单调递增B．图象关于点对称C．若，，则D．若且，则11．已知直线：与椭圆：，则下列结论正确的是（

）A．若与至少有一个公共点，则B．若与有且仅有两个公共点，则C．若，则上到的距离为5的点只有1个D．若，则上到的距离为1的点只有3个12．已知函数有两个极值点和，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知､是不共线的两个单位向量，若，则与的夹角为___________；14．请写出一个函数表达式___________满足下列3个条件：①最小正周期；②在上单调递减；③奇函数15．同时抛掷两枚质地均匀的骰子两次，记事件“两枚骰子朝上的点数之积均为偶数”，事件“两枚骰子朝上的点数之和均为奇数”，则___________；16．如图所示，是平面内一定点，是平面外一定点，直线与平面所成角为45°.设平面内的动点到点､点距离分别为､，且.若点的轨迹是一条直线，___________；若点的轨迹是圆，则的取值范围是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列的前项和为，满足，且.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.18．为了使更多人参与到冰雪运动中，某校组织了一次简易冰壶比赛.每场比赛由两支队伍对抗进行，每队由2名成员组成，共进行3局.每局比赛时，两队成员交替发球，每名成员只能从发球区（左侧）掷冰壶一次.当所有成员全部掷完冰壶后，开始计分.若冰壶未到达营垒区，计分；若冰壶能准确到达营垒区，计2分，整场比赛累计得分多者获得比赛胜利.已知队两名成员甲､乙每次将冰壶投掷到营垒区的概率分别为和，队两名成员丙､丁每次将冰壶投掷到营垒区的概率均为.假设两队投掷的冰壶在运动过程中无碰撞，每名成员投掷冰壶相互独立，每局比赛互不影响.(1)求队每局得分的分布列及期望；(2)若第一局比赛结束后，队得1分，队得4分，求队最终获得本场比赛胜利且总积分比队高3分的概率.19．已知的内角、、所对的边分别为、、，且.(1)若，，求；(2)若点在线段上，且，，求的最大值.20．如图，四棱锥，，，，平面平面，平面平面.(1)若点为线段中点，求证：；(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值.21．平面直角坐标系中，点在轴右侧，且到点的距离比其到轴距离多1.(1)求点轨迹的方程；(2)过点的直线与交于､两点，是轴上一点.若是正三角形，求直线的斜率.22．设函数(1)求曲线在处的切线方程；(2)证明：当且时，.参考答案：1．B【解析】【分析】根据复数的除法运算化简可得.【详解】故选：B.2．C【解析】【分析】先化简集合A，B，再利用交集运算求解.【详解】解：因为，，所以，故选：C3．A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】若圆与圆内切，则圆心距，即，得或，所以是圆与圆内切的充分不必要条件.故选：A4．C【解析】【分析】由题意知每层筒瓦数构成等差数列，由等差数列求和公式可求得每一面的筒瓦总数，由此可得四个侧面筒瓦总数.【详解】一个侧面中，第一层筒瓦数记为，自上而下，由于下面每一层比上一层多块筒瓦，每层筒瓦数构成等差数列，其中，.一个侧面中共有层筒瓦，一个侧面筒瓦总数是，顶层四个侧面筒瓦数总和为.故选：C.5．D【解析】【分析】如图所示为直线与平面所成角，则，根据边长即可判断D，由于内切圆半径为，所以该正三棱柱无内切球可判断A，由棱锥的体积为结合数据即可判断B，当位于时有平面，可判断C．【详解】如图所示，设，取､的中点分别为､，连接､过点作交于点，连接，显然平面，又，故平面即为直线与平面所成角，又因为，，所以因此当时，有的最大值，选项D正确；由于内切圆半径为，所以该正三棱柱有外接球，无内切球，选项A不正确；显然平面，因此点到侧面的高故棱锥的体积为，选项B不正确；当位于时，平面，即又，故平面，从而，故选项C不正确；故选：D6．A【解析】【分析】利用双曲线定义和，分别解出和，得到，最后利用二倍角公式得到，进而得到答案.【详解】解法一：设，，则.由双曲线定义知，，又，故，由于在以为直径的圆上，所以，故有从而解法二：同解法一，得到，，则，从而得到双曲线方程为.设，联立，解得，即.因此，选项A正确.故选：A7．B【解析】【分析】对于A，B，根据与的关系来判断，对于C，可以直接求出的零点，从而判断其正确与否，对于D选项，先确定定义域，再用奇偶性的定义判断【详解】显然，的定义域为，的定义域为，且，记，则有，故是奇函数，选项D错误.又故的图象关于点对称，选项B正确，选项A错误；令，则有，即或，解得或，即，或，故有3个零点，选项C错误.故选：B8．C【解析】【分析】取中点为，为直角三角形，故，显然，，当且仅当､､三点共线时，等号成立，继而得解.【详解】依题意，，，.取中点为，由于为直角三角形，故由于为直角三角形，故显然，，当且仅当､､三点共线时，等号成立.因此，最大值为.故选：C.9．AB【解析】【分析】A.根据小麦麦穗长度cm近似服从正态分布判断；BD.根据原则得到，再由随机变量近似服从判断；C根据原则得到判断.【详解】解：因为小麦麦穗长度cm近似服从正态分布，所以，，故A正确；因为，所以，因此随机变量近似服从，从而100株小麦中约有株小麦的麦穗长度大于13.5cm，故B正确，D错误；由于，根据原则，麦穗长度大于14.63cm是小概率事件，但是也有可能发生，根据C错误.故选：AB.10．AC【解析】【分析】利用三角函数的性质逐项分析即得.【详解】选项A：令，则，由于的增区间为，即，故的增区间为，取，则在上单调递增，又因为，因此在上单调递增，故选项A正确.选项B：由于的对称中心为，令，则，，取，则有，因此图象关于点对称，因此选项B错误.选项C：若，，则在和处分别取最大值和最小值，因此，故，选项C正确.；选项D：若，则和是函数的零点，故，因此，选项D不正确.故选：AC.11．BCD【解析】【分析】联立直线与椭圆方程，根据公共点个数判断的符号求m的范围，利用直线到椭圆切线的距离判断直线与椭圆的交点个数.【详解】联立，消去得，则判别式，A：令，则有，错误；B：令，则有，正确；C：令直线与椭圆相切，则，即，直线与的距离，正确；D：如图，直线分别与和的距离均为1，因此，上到的距离为1的点只有3个，正确.故选：BCD12．ACD【解析】【分析】函数有两个极值点和，令，则判断函数的单调性，由题知与有两个交点，借助图像求出的取值范围，判断D；再根据零点存在性定理判断A；又根据，求出的取值范围，判断C；由，得，由于，，所以，从而判断B.【详解】已知，则，令，则考虑函数，则，当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增；故的图象大致如图：依题意，若有两个极值点，则，即，因此选项D正确；由图易知，，，故选项A正确；又，故，因为，所以，故选项C正确；因为，即，故，即.由于，，所以，从而，故选项B错误.故答案为：ACD.13．##【解析】【分析】根据题意得，结合展开整理得．【详解】∵，即得：由于与是单位向量，即整理得：，所以.故答案为：．14．【解析】【分析】根据三角函数的性质，即可写出满足条件的函数表达式.【详解】根据三角函数的图像与性质，可以写出，等函数表达式，都满足条件.故答案为：（答案不唯一）15．【解析】【分析】根据条件概率的定义进行求解即可.【详解】两枚质地均匀的骰子抛掷一次，样本空间所含全部的样本点个数为36，事件“两枚骰子朝上的点数之积为偶数”包含样本点27个，其中事件“两枚骰子朝上的点数之和为奇数”包含样本点18个，从而，，故,故答案为：16．

1

【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系，设、，根据空间中两点的距离公式得到轨迹方程，再根据轨迹的特征求出参数的值；【详解】解：如图所示，作点在平面上的投影点，连接和，显然平面.以为坐标原点，，分别为，轴的正方向，作，以为轴正方向，建立空间直角坐标系.由于直线与平面所成角为45°，所以.设，则，；设，则，故（*）显然，.（1）当时，（*）式，即点的轨迹为直线.（2）当时，（*）式若上式表示圆的方程，则，解得又且，故且，即.故答案为：；17．(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用与的关系求解通项公式；（2）利用等差数列求和公式求解，再根据裂项相消法求解.(1)因为，所以，两式相减得，即，即，又，，故，因此，数列是每项都是1的常数列，从而.(2)因为，所以，从而，因此.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．18．(1)分布列见解析，期望为；(2).【解析】【分析】（1）根据题设写出的所有可能取值及对应概率，即可得到分布列，再根据分布列求期望即可；（2）同（1）写出B的分布列，根据题设写出队获胜且总积分比队高3分所有可能情况，再求出各情况的概率，最后加总即可得结果.(1)由题设，的所有可能取值为，1，4，且的分布列如下：14所以.(2)设队每局得分为，同理的分布列为14记队､队在后两局总得分分别为､，则所包含的情况如下：队总得分258队总得分2，，，故队最终获得本场比赛胜利且总积分比队高3分的概率为.19．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合整理得，再借助诱导公式和倍角公式化简整理；（2）本题可以设，利用正弦定理边化角整理可得；也可以利用余弦定理得到边的关系，令整理得，结合二次函数零点分布处理．(1)由正弦定理可知：，又，故，则，又，得，由于，所以，即由余弦定理可知，，即，解得或（舍去）(2)解法一：设，由正弦定理可得：，即，故，，从而，其中，当时，有的最大值为.解法二：在中，由余弦定理得，，即，即令，从而，整理得依题意，上述关于的方程有正实数解；因为函数的对称轴所以，解得.所以的最大值为，此时，.20．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）取中点，根据、勾股定理可确定，由为正三角形可知，由线面平行的判定得到平面；由可得平面；由面面平行判定知平面平面，由面面平行和线面平行性质可证得结论；（2）过点作，由面面垂直性质可证得平面，结合，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.(1)取中点，连接，，，，且，，，，为中点，为正三角形，即，，平面，平面，平面；在中，为中位线，，又平面，平面，平面；又，平面，平面平面，又平面，平面，又平面平面，平面，.(2)过点作，交于点，连接.平面平面，平面平面，平面，平面，又，，，直角三角形，且，，，；又，即，且，则以为坐标原点，分别为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，，则，，，设平面的法向量为，则，令，解得：，，；，即直线与平面所成角的正弦值为.21．(1)(2)【解析】【分析】（1）设点坐标根据题