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文档简介
2021-2021学年福建省龙岩市高一下学期期末数学试题一、单项选择题1.为虚数单位,,那么复平面上对应的点在〔〕A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【分析】先利用复数的除法化简,再利用复数的几何意义求解.【详解】因为,所以,复数对应的点是,所以对应的点在第一象限.应选:A.2.设是平面内两个不共线的向量,那么向量可作为基底的是〔〕A. B.C. D.【答案】C【分析】逐项判断向量是否共线,假设不共线,那么可以作为基底【详解】解:对于A,因为,所以共线,所以不能作为基底,所以A不合题意;对于B,因为,所以共线,所以不能作为基底,所以B不合题意;对于C,假设共线,那么存在唯一实数,使,即,所以且,所以不存在,所以不共线,所以可以作为基底,所以C符合题意;对于D,因为,所以共线,所以不能作为基底,所以D不合题意,应选:C3.新中国成立以来,我国共进行了次人口普查,这次人口普查的城乡人口数据如以下图所示.根据该图数据判断,以下选项中错误的选项是〔〕A.乡村人口数均高于城镇人口数B.城镇人口数到达最顶峰是第次C.和前一次相比,城镇人口比重增量最大的是第次D.和前一次相比,城镇人口比重增量最小的是第次【答案】A【分析】结合信息图,逐项分析即可.【详解】A:因为2021年城镇人口高于乡村人口,故A错误;B:因为城镇人口数到达最顶峰是2021年,即第7次,故B正确;C:第二次和第一次相比,城镇人口比重增量为;第三次和第二次相比,城镇人口比重增量为;第四次和第三次相比,城镇人口比重增量为;第五次和第四次相比,城镇人口比重增量为;第六次和第五次相比,城镇人口比重增量为;第七次和第六次相比,城镇人口比重增量为;所以和前一次相比,城镇人口比重增量最大的是第次,故C正确;和前一次相比,城镇人口比重增量最小的是第次,故D正确.应选:A4.在中,角的对边分别为,假设,那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【分析】根据条件求出角,然后结合正弦定理即可求出结果.【详解】因为,那么,结合正弦定理,即,解得,应选:B.5.圆柱的侧面积为,体积为那么该圆柱的轴截面的面积为〔〕A. B. C. D.【答案】B【分析】根据圆柱侧面积与体积公式,解得底面半径及高,即可得到圆柱的轴截面面积.【详解】设圆柱底面圆半径为,高为,那么由题意得到,解得,所以圆柱轴截面为正方形,此圆柱的轴截面正方形的面积为应选:.6.假设是两个不重合的平面,是三条不重合的直线,那么以下命题中正确的选项是〔〕A.假设,那么B.假设,那么C.假设,且,那么D.假设,那么【答案】D【分析】结合选项逐个判定,可以利用定理推理,也可以使用反例排除.【详解】对于A,,的位置关系无法确定;对于B,两个平面平行,需要一个平面内的两条相交线平行于另一个平面,显然不满足;对于C,线面垂直需要直线垂直于平面内的两条相交直线,缺少相交的条件;对于D,,,所以,因为,所以;应选:D.7.菱形,且,那么的余弦值为〔〕A. B. C. D.【答案】D【分析】以为轴建立平面直角坐标系,根据条件得出各个点的坐标,由得出点的坐标,再得出向量的坐标,由向量的夹角公式可得答案.【详解】在菱形中,设交于点,分别以为轴建立如下图的平面直角坐标系.由,那么由,那么点为的中点,所以那么所以应选:D8.现有个相同的小球,分别标有数字,从中有放回的随机抽取两次,每次抽取一个球,记:事件表示“第一次取出的球数字是〞,事件表示“第二次取出的球数字是〞,事件表示“两次取出的球的数字之和为〞,事件表示“两次取出的球的数字之和为〞,那么以下选项正确的选项是〔〕A.事件和事件相互独立 B.事件和事件相互独立C.事件和事件相互独立 D.事件和事件相互独立【答案】C【分析】首先求出然后求出进而根据事件独立的概率乘法公式即可判断.【详解】因为故事件和事件相互独立应选:C.二、多项选择题9.设为复数,那么〔〕A.假设,那么 B.假设,那么C.假设,那么 D.假设满足,那么的最小值为【答案】ACD【分析】根据复数的根本运算法那么进行化简即可.【详解】解:因为为复数,对于A:假设,那么为实数,所以,故A正确;对于B:假设,即,即,显然当时,上式也成立,故B错误;对于C:由,那么,,所以,应选项C正确;对于D:设,,因为,所以,所以,那么,因为,所以,故D正确;应选:ACD10.正四面体的棱长为分别为的中点.以下说法正确的有〔〕A.B.异面直线与所成角的余弦值为C.该正四面体的体积为D.该正四面体的内切球体积为【答案】ABD【分析】由正四面体性质依次判断各选项,即可得出结果.【详解】对于A,由于正四面体的相对棱互相垂直可知,,那么,故A正确;对于B,取中点,连接,由,可知异面直线与所成角即为,在中,,由余弦定理计算可得,故B正确;对于C,过点作面于点,由正四面体性质可知,为的中心,计算可得,,该正四面体的体积为,故C错误;对于D,设正四面体的内切球半径为,由等体积可知,,该正四面体的内切球体积为,故D正确.应选:ABD.11.在平行四边形中,,那么以下选项正确的选项是〔〕A.的最小值是 B.的最小值是C.的最大值是 D.的最大值是【答案】BC【分析】用为基底向量,将向量分别表示出来,由向量数量积的运算性质结合的范围可得答案.【详解】所以由,那么所以的最小值是,最大值为10.应选:BC.12.在中,角对边分别为,设向量,且,那么以下选项正确的选项是〔〕A. B.C. D.假设的面积为,那么【答案】BC【分析】根据向量平行得到,结合余弦定理转化为,进而利用正弦定理得到,化简整理即可判断A、B选项;利用正弦定理及二倍角公式将转化为,然后求出角A的范围,进而求出值域即可判断C选项;利用,结合正弦定理及二倍角公式化简整理可求得角,进而可以求出角,从而可以判断D选项.【详解】因为向量,且,所以,即,结合余弦定理得,,,再结合正弦定理得,,又因为,所以,,,,所以,故,所以B正确,A错误;,因为,所以,又因为,所以,所以,即,因此,故C正确;因为,结合正弦定理,即,那么,,,,那么,或,故或,故或,故D错误.应选:BC.三、填空题13.向量,假设,那么________________________.【答案】【分析】先求出,利用向量垂直,列方程求出.【详解】因为,所以,因为,所以,解得:.故答案为:14.记一组数据的平均数为,且,那么_______________________.【答案】【分析】将展开,重新分组结合和条件可得答案.【详解】所以故答案为:415.圆的弦的长度为,那么________________________.【答案】【分析】利用平面向量的数量积的几何意义求解.【详解】如下图:因为弦的长度为,所以,所以,故答案为:616.三棱锥,侧面底面,那么_____________________.,三棱锥外接球的外表积为________________________.【答案】【详解】解:〔1〕取BC中点D,连接PD,AD.由题知,和均为正三角形且边长为,故.面PBC面ABC,由面面垂直的性质知PD面ABCAD面ABC,在Rt中,.〔2〕设三棱锥P-ABC的外接球球心为O,故O到面ABC和面PBC的射影均为和的中心E、F,即四边形OFDE为正方形,在中,,那么球的外表积.故答案为:.四、解答题17.复数.〔1〕假设,求;〔2〕求的最小值.【答案】〔1〕或;〔2〕.【分析】〔1〕由,解出方程得到答案.〔2〕由可得其最小值.【详解】解:〔1〕因为,所以,所以或.〔2〕所以时,的最小值为18.如图,是圆锥的顶点,是底面圆的直径,为底面圆周上异于的点,为的中点.〔1〕求证:平面平面〔2〕假设圆锥的侧面积为,且,求该圆锥的体积.【答案】〔1〕证明见解析;〔2〕.【分析】〔1〕由底面圆得到,再证明出即可证明平面,利用面面垂直的判定定理即可证明平面平面〔2〕利用圆锥的侧面积为,且,计算出,直接求出体积即可.【详解】〔1〕由圆锥的性质可知,底面圆∵在底面圆上,∴,∵在圆上,为直径,∴,又点分别为的中点,∴∴又,且平面,∴平面,又平面,∴平面平面.〔2〕∵,∴,∴底面周长为,∴,∴.19.为了解某班级学生期末考试数学成绩情况,抽取该班名学生的数学成绩,将所得数据整理后,画出其频率分布直方图〔如图〕,从左到右各长方形高的比为.〔1〕根据频率分布直方图,计算抽取的数学成绩的平均数和第百分位数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);〔2〕假设从分数在和的同学中随机抽取两位同学,求抽取的两位同学中至少有一位同学的数学成绩在的概率.【答案】〔1〕平均数为;第百分位数为;〔2〕.【分析】〔1〕由频率的比例关系及它们的和为1求出各区间的频率,再根据直方图求平均数、第百分位数即可;〔2〕确定、区间的人数,从中随机抽取两位同学写出所有可能组合,再确定两位同学中至少有一位同学的数学成绩在的组合,求古典概型的概率即可.【详解】〔1〕由频率分布直方图中,高的比就是频率的比,∴各区间上的频率可依次设为且,故各区间上的频率从左往右依次为:,∴平均数为:,假设第百分位数为,那么,解得;∴所求平均数为,第百分位数为.〔2〕由〔1〕知,数学成绩在共有人,分别记为;数学成绩在共有人,分别记为,从这6人中随机抽出两位同学的样本空间,故,记事件表示“至少有一位同学的数学成绩在〞那么,故,∴至少有一位同学的数学成绩的概率为.20.在①;②这两个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并解答相应的问题.在中,角的对边分别为,且满足,平分交于点且,求的面积.【答案】选择见解析;.【分析】假设选①,由正弦定理可得,化简得,从而可得,进而可得,假设选②,由正弦定理得,而,化简可得,从而可求出,由可得,由余弦定理可得,那么有,求出,从而可求出三角形的面积【详解】解:假设选①,由正弦定理,得.由,得,由,得,所以,所以.又,得.假设选②,因为,由正弦定理得,因为,所以,又因为,所以,所以,所以,又因为,,所以,所以.因为,所以,化简得①,由余弦定理得,所以,所以②,联立①②化简得,所以,解得或〔舍去〕,又因为,所以.21.甲、乙两人组成“星队〞参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,甲每轮猜对的概率为乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.每轮甲、乙同时猜错的概率为,恰有一人猜错的概率为.〔1〕求和;〔2〕假设,求“星队〞在两轮活动中猜对个成语的概率.【答案】〔1〕或;〔2〕.【分析】〔1〕由每轮甲、乙同时猜错的概率为,恰有一人猜错的概率为,得:,从而解得和的值;〔2〕由〔1〕得和的值,那么分甲猜对两个,乙猜对两个,甲猜对一个且乙猜对一个三种情况讨论即可,然后相加即可得出答案.【详解】解:〔1〕设M表示事件“每轮甲、乙同时猜错〞;N表示事件“恰有一人猜错〞,,,或;由〔1〕可知,设表示事件“甲在两轮中猜对个成语〞,表示事件“乙在两轮中猜对个成语〞,,表示“星队〞在两轮活动中猜对成语的个数〞,由于两轮猜的结果相互独立,所以,所以“星队〞在两轮活动中猜对个成语的概率为.22.等边三角形分别是边上的三等分点,且〔如图甲〕,将沿折起到的位置〔如图乙〕,是的中点.〔1〕求证:平面;〔2〕假设二面角的大小为,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】〔1〕证明见解析;〔2〕.【分析】〔1〕过点作交于点取的中点,证明,平面即得证;〔2〕设,那么证明,设在面内的
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