2.1.2等式性质与不等式性质二分层作业解析版新教材-新高考高中数学

2.1.2等式性质与不等式性质〔二〕分层作业【根底达标】1．如果a<0，b>0，那么以下不等式中正确的选项是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B.eq\r(－a)<eq\r(b)C．a2<b2 D．|a|>|b|答案A解析∵a<0，b>0，∴eq\f(1,a)<0，eq\f(1,b)>0，∴eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，应选A.2．假设a，b，c∈R，且a>b，那么以下不等式一定成立的是()A．a＋c≥b－c B．ac>bcC.eq\f(c2,a－b)>0 D．(a－b)c2≥0答案D解析∵a>b，∴a－b>0，∴(a－b)c2≥0，应选D.3．a>b>c，那么eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)的值是()A．正数 B．负数C．非正数 D．非负数答案A解析eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)＝eq\f(c－a＋b－c,b－cc－a)＝eq\f(b－a,b－cc－a)，∵a>b>c，∴b－c>0，c－a<0，b－a<0，∴eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)>0，应选A.4．假设x>1>y，以下不等式不一定成立的是()A．x－y>1－y B．x－1>y－1C．x－1>1－y D．1－x>y－x答案C解析利用性质可得A，B，D均正确，应选C.5．a<0，b<－1，那么以下不等式成立的是()A．a>eq\f(a,b)>eq\f(a,b2) B.eq\f(a,b2)>eq\f(a,b)>aC.eq\f(a,b)>a>eq\f(a,b2) D.eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>a答案D解析∵a<0，b<－1，∴eq\f(a,b)>0，b2>1，∴0<eq\f(1,b2)<1，∴0>eq\f(a,b2)>eq\f(a,1)，∴eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>a.6．不等式a>b和eq\f(1,a)>eq\f(1,b)同时成立的条件是________．答案a>0>b解析假设a，b同号，那么a>b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).7．给出以下命题：①a>b⇒ac2>bc2；②a>|b|⇒a2>b2；③a>b⇒a3>b3；④|a|>b⇒a2>b2.其中正确命题的序号是________．答案②③解析①当c2＝0时不成立；②一定成立；③当a>b时，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(b,2)))2＋\f(3,4)b2))>0成立；④当b<0时，不一定成立．如：|2|>－3，但22<(－3)2.8．设a>b>c>0，x＝eq\r(a2＋b＋c2)，y＝eq\r(b2＋c＋a2)，z＝eq\r(c2＋a＋b2)，那么x，y，z的大小顺序是________．答案z>y>x解析∵a>b>c>0，y2－x2＝b2＋(c＋a)2－a2－(b＋c)2＝2ac－2bc＝2c(a－b)>0，∴y2>x2，即y>x.同理可得z>y，故z>y>x.9．判断以下各命题的真假，并说明理由．(1)假设a<b，c<0，那么eq\f(c,a)<eq\f(c,b)；(2)eq\f(a,c3)<eq\f(b,c3)，那么a>b；(3)假设a>b，且k∈N*，那么ak>bk；(4)假设a>b，b>c，那么a－b>b－c.解(1)假命题．∵a<b，不一定有ab>0，∴eq\f(1,a)>eq\f(1,b)不一定成立，∴推不出eq\f(c,a)<eq\f(c,b)，∴是假命题．(2)假命题．当c>0时，c－3>0，那么a<b，∴是假命题．(3)假命题．当a＝1，b＝－2，k＝2时，显然命题不成立，∴是假命题．(4)假命题．当a＝2，b＝0，c＝－3时，满足a>b，b>c这两个条件，但是a－b＝2<b－c＝3，∴是假命题．【综合提升】10．假设－1<a＋b<3,2<a－b<4，求2a＋3b的取值范围．解设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝－\f(1,2).))因为－eq\f(5,2)<eq\f(5,2)(a＋b)<eq\f(15,2)，－2<－eq\f(1,2)(a－b)<－1，所以－eq\f(9,2)<eq\f(5,2)(a＋b)－eq\f(1,2)(a－b)<eq\f(13,2)，所以－eq\f(9,2)<2a＋3b<eq\f(13,2).11．以下命题正确的选项是()A．假设ac>bc，那么a>b B．假设a2>b2，那么a>bC．假设eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，那么a<b D．假设eq\r(a)<eq\r(b)，那么a<b答案D解析对于A，假设c<0，其不成立；对于B，假设a，b均小于0或a<0，其不成立；对于C，假设a>0，b<0，其不成立；对于D，其中a≥0，b>0，平方后显然有a<b.12．x>y>z，x＋y＋z＝0，那么以下不等式中一定成立的是()A．xy>yz B．xz>yzC．xy>xz D．x|y|>z|y|答案C解析因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0,3z<x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0.所以由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,y>z，))可得xy>xz.13．假设a，b，c∈R，a>b，那么以下不等式成立的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．a2>b2C.eq\f(a,c2＋1)>eq\f(b,c2＋1) D．a|c|>b|c|答案C解析对于A，假设a>0>b，那么eq\f(1,a)>0，eq\f(1,b)<0，此时eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，∴A不成立；对于B，假设a＝1，b＝－2，那么a2<b2，∴B不成立；对于C，∵c2＋1≥1，且a>b，∴eq\f(a,c2＋1)>eq\f(b,c2＋1)恒成立，∴C成立；对于D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．【探索拓展】14．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，那么这四个小球由重到轻的排列顺序是()A．d>b>a>c B．b>c>d>aC．d>b>c>a D．c>a>d>b答案A解析∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.∴b<d.又a＋c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c.15．假设x>0，y>0，M＝eq\f(x＋y,1＋x＋y)，N＝eq\f(x,1＋x)＋eq\f(y,1＋y)，那么M，N的大小关系是()A．M＝N B．M<NC．M≤N D．M>N答案B解析∵x>0，y>0，∴x＋y＋1>1＋x>0,1＋x＋y>1＋y>0，∴eq\f(x,1＋x＋y)<eq\f(x,1＋x)，eq\f(y,1＋x＋y)<eq\f(y,1＋y)，故M＝eq\f(x＋y,1＋x＋y)＝eq\f(x,1＋x＋y)＋eq\f(y,1＋x＋y)<eq\f(x,1＋x)＋eq\f(y,1＋y)＝N，即M<N.16．假设