2023人教版新教材高中数学必修第二册同步练习-862 直线与平面垂直

►8.62直线与平面垂直

基础过关练

题组一直线与平面垂直的判定及性质

L设l,m是两条不同的直线分是一个平面,则下列命题正确的是)

A.若/±也机UQ,则l.La

B.若/_La,l//口则mla

C.若/〃a,机ua,则I//m

D.若I//a,m//。，则I//m

2.如图所示，在三棱锥P-ABC中，尸。，平面ABC.BOVAC.BO的延长线交AC于点

。，则图中与AC垂直的直线有)

A.1条B.2条

3.（多选）（2021江苏南京金陵中学期中）在正方形43co中,E,F分别是BC.CD的中

点,AC与EF交于点G,如图1,现在沿AE4/7及E/把这个正方形折成一个空间图

形，使BC,。三点重合，重合后的点记为",如图2,那么在这个空间图形中有（）

图1

A.AGJ_平面EFHB.A〃_L平面EFH

C.EFJ_平面4G”D.”GJ_平面AM

4.如图所示,A8是。O的直径,C是圆周上不同于A.B的任意一点,R41平面ABC,

则四面体P-ABC的四个面中,直角三角形有个.

p

5.如图,P为所在平面外一点，雨，平面ABC,LABC^Q°,AELPB于

&4F，尸。于F.求证:

⑴BC_L平面PAB；

⑵AE_L平面PBC,

⑶PC_L平面A£K

6.（2022辽宁沈阳二十八中月考）如图,四棱柱ABCQ-ABCD的底面四边形ABCD

是菱形，且乙GC3二4GCD二4BC。二60：当分的值为多少时,4。，平面CiBD?

CC1

I)

题组二直线与平面所成的角

7.（2021山西名校联盟期末）在长方体43CO-A囚GO中,45二3。二2,44尸1,贝1」AC\

与平面AiBiCiDi所成角的正弦值为（）

A.—B-C.—D.-

3343

8.（2022江西安福中学段考）日皆是中国古代用来测定时间的仪器，利用与劈面垂直

的辱针投射到辱面的影子来测定时间,把地球看成一个球（球心记为O）,地球上一

点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且

与OA垂直的平面.在点4处放置一个日唇,若唇面与赤道所在平面平行，点A处的

纬度为北纬30：则唇针与点A处的水平面所成角为（）

A.15。B.30。C.60°D,90°

9.（2022江西赣州教育发展联盟联考）在四棱锥P-ABCD中,%，平面A3CO,底面

ABCD是正方形，且以二A3=2,则直线PB与平面PAC所成的角为.

10.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形,平面

ABCD,E,F分别为AB.SC的中点.

（1）证明:ECD；

⑵若SO=8,求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值.

Di-i-X-X

题组三空间距离

11.（2022北京丰台期末）在棱长为1的正方体ABCQ-48Goi中,E为棱AI1的中

点，则点E到平面BGDi的距离为

A.V2B.—C-D.—

224

12.（2020安徽宿州十三所重点中学期末）如图,四面体A-BCD中,两两垂

^.,BC=BD=2,E是CD的中点，若直线AB与平面ACD所成角的正弦值为*则点B

到平面ACO的距离为

13.（2021江苏徐州第三中学月考）在长方体ABCD-AxBiCiDi中,M,N分别为

CiDhAB的中点,48=4,则MN到平面BCCB的距离为

14.如图，在长方体ABCQ-ABC。］中:

⑴求证：4A〃平面BBQiD；

⑵若48二4,4。=3,求AN到平面BBQiD的距离.

能力提升练

题组一直线与平面垂直的判定与性质P367定点1

1.（2022北京门头沟期末）如图,在下列四个正方体中AB为正方体的两个顶

点、,M,N,Q为所在棱的中点,则直线AB与平面MNQ不垂直的是()

2.（2021重庆缙云教育联盟期末）如图,三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，则顶点

P在底面A3c上的射影O为3c的()

A.内心B.外心C重心D.垂心

3.（2021浙江金华十校高考数学模拟）在四面体中MB二世乃03。=2,AB_L

平面BCD.BE1AC于E,BF1AD于七则()

A.AC可能与E尸垂直,的面积有最大值

B.AC不可能与所垂直,的面积有最大值

CAC可能与E尸垂直,△3E尸的面积没有最大值

D.AC不可能与E尸垂直,△5EF的面积没有最大值

4.（2020陕西榆林期末）如图，在ZkABC中分别为AB.AC边的中点，且

=2,现将△AOE沿DE折起，使得A到Ai的位置，且4408=601则

A\C-.

5.（2022山东荷泽东明第一中学月考）如图，在直三棱柱ABC-A^Ci

中,AC二二1,4AC5=90：。是AiB的中点，点”在BB、上.

⑴求证:平面AA加成

⑵在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使ASJ.平面C0F?并证明你的结

论.

①尸为38的中点;②AB尸国;③A4尸鱼.

题组二直线与平面所成的角-368定点2

6.（2020四川乐山期末）在△A8C中，/AC8=90»是BC的中点，布，平面ABC,如

果PB/C与平面A5c所成的角分别为30%60：那么尸。与平面4BC所成的角

为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

7.（多选）（2022广东普宁期末）在正方体ABCD-AiBiCiDi中方是棱BICI的中点产

是线段C9上的一个动点，则下列四个命题中是真命题的有（）

A.BAi与平面ABCD所成的角是45。

B.异面直线AG与5尸所成的角是定值

C三棱锥B-AxEF的体积是定值

D.直线AxF与平面B）CD）所成的角是定值

8.（2021江苏南京宁海中学期末）如图，在棱长为1的正方体A8CQ-ABGU中,E,F

分别是棱8C,CG的中点,P是侧面BCGS内一点，若4P〃平面AEF,则点P的轨

迹长度为直线AyP与平面BCCiBi所成角的正切值的取值范围

是.

9.（2022湖北武汉第一中学月考）如图，在三棱锥P-ABC中,△B4C是正三角

形,AC,3cAe是A3的中点.

（1）求证:AC_LP£）；

⑵若4。二8。二尸。二2,求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.

DB

题组三空间距离

10.（2020浙江镇海中学月考）已知正四棱柱ABCD-AxBxQDx中,AB=2,CC尸2鱼,E

为CG的中点，则直线ACi到平面BED的距离为（）

A.2B.V3C.V2D.1

11.（多选）（2022广东广州培英中学月考）正方体ABCD-A^B^C^D^的棱长为2,点P

在正方体的体对角线D山上（包括端点），点Q在正方体的棱CG上（包括端点），则

（）

A.直线D\B与CCi的距离为2

B.点P在DxB上运动，点Q在CCi上运动时,|PQ|的最小值为鱼

C.当P.Q分别为DiB,CCi的中点时,PQ到平面ABCD的距离为1

D.当点Q在棱CG的中点，点P在DiB上运动时,存在点P,使得平面BDDiBi

12.（2022江西吉安期末）如图，在三棱锥P-ABC^,PA=PB=PC,ABLBC,D是棱AC

的中点，

（1）求证/。_1_5。；

⑵若43二2/,以5。=4,点E在棱BC上，且BE=2EC,求点、C到平面PDE的距离.

P370定点3

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.B对于A,l还可能在a内,或/与雄斗交;对于B,根据线面垂直的性质定理和平行

线的性质可知B正确;对于C/即还可能异面;对于还可能相交或异面.

易错警示

当/与平面讷的一条直线垂直时，不能保证/与平面懑直;当I与平面坏垂

直时,/可能与的的无数条平行直线垂直.要注意〃直线垂直于平面内的所有直线〃

的说法与“直线垂直于平面内无数条直线〃不是一回事.

2.DPO_L平面A5cAeu平面ABC.PO1AC.

又AC_L80,且BOAPO=0,

・,.AC1平面PBD,/.直线PB,PD,PO,BD都与AC垂直.故与AC垂直的直线有4条

3.BC由题意知，题图2中AH1HE,AH1HF,

根据线面垂直的判定定理，可得AH1平面EFH,/.B正确；

过点A只有一条直线与平面EFH垂直,・•.A不正确；

易知AG±EF.AH±EF,AGAAH=A,/.EFL平面AGH,AC正确；

HG与AG不垂直,HG与平面AEF不垂直,D不正确

故选BC.

4.答案4

解析,.乂8是圆0的直径,・・./AC8=901即ZXABC是直角三角形.

•/PA1平面A6CAC,A“Cu平面ABC,

・•・PAJLAC.PA1AB,PA1BC,

・•・^PAC.LPAB是直角三角形.

又PAQAC=A,PAtAC^l§iPAC,

3C_L平面PAC,

又PCu平面PAC,「.BC±PC,

・•・△PBC是直角三角形.

・•・/\PAB.△%C,△ABC,△PBC都是直角三角形.

5.证明(l)vPA1平面ABC,BCu平面ABC.

PAIBC.

•・•ZABC=9O%-.AB1BC

又ABQPA=A,/.BCA.平面PAB.

⑵由⑴知BCJ,平面PAB,

又AEu平面PAB,/.BCLAE.

•/PB1AE.BCQPB^B,/.AE1PBC.

(3)由(2)知AE_L平面PBC,

又PCu平面PBC,・.AE1PC.

vAFlPQAEDAF^A,/.PC_L平面AEF.

解析令二时，能使平面证明如下：

6.CL|1ACG3D

如图，连接4c,4G,设AC和BD交于点0,连接G0.

••・四边形ABCD是菱形,・.AC上BD,BC=CD,

又..乙BCC\二乙DCC、,CiC二CiC,

ACiBC^ACiDC

:.C\B-C\D,*.*DO-OB,CxOX.BD,

又ASBDACna。二o,

・,.瓦〃平面A4QC,又ACu平面AAlCiC,

.・.4C_L8。当穿二1时，平行六面体的六个面是全等的菱形,

同BDlAiC的证法可得8GLAC,又BDCBG二B,

•,.AiC_L平面CiBD.

7.D连接4G.

・•・4AG4为直线AG与平面所成的角.

,/AA\-\,AB-BC-l,AG=3,

sin乙AGAi=综1=

8.B解法一：可设A所在的纬线圈的圆心为O；OO垂直于纬线所在的圆面,由图可

得乙OH4为唇针与点A处的水平面所成角，又乙OAO上30咀O4_LA”,在RM0H4

中,0A_LOH..•・Z0H4=Z.。4。匕30

解法二:画出截面图，如图所示，其中CD是赤道所在平面的截线,/是点A处的水平

面的截线,

B

由题意可得。411.AB是号针所在直线即是署面的截线，

由题意唇面和赤道面平行，唇针与唇面垂直,根据面面平行的性质定理可得加〃CD

根据线面垂直的定义可得45,机，由于440C=30M〃CD,

...乙O4G二4AOC=30]

由于4OAG+乙GAE=ZBAE+ZGAE=9U°f

・•・乙8AE=4OAG=30：即暑针与A处的水平面所成角为乙BAE=301

故选B.

9.答案I

解析连接AC,交3。于点O,

・.•PA±平面ABC。,底面ABCD是正方形,

・•・BDLPA.BDLAC,'：ACHPA^A,

・・・8O_L平面B4C,即8O_L平面PAC,

连接OP,贝”8P。即是直线PB与平面PAC所成的角,

又...如二48=2,PB=2aBO=V2,

.,.si"8P。=器=薨=6・4BP0=*

10.解析⑴证明:因为SD1平面ABCQCQu平面ABC。所以SD1CD.

取C。的中点O,连接EO尸0.

因为E,F分别为AB.SC的中点，底面ABCD是正方形，

所以EO//AD.FO//SD,

所以EOJ_C。产O_LCD,

又E0G尸O=O,EO,bOu平面OEF,

所以CQ,平面OEF.

又ER=平面0£居所以EFLCD.

⑵由(1)可知,FO〃SO,

因为S。，平面ABCD,所以尸。，平面ABCD,

所以乙FEO即为直线所与平面ABCD所成的角.

在RtAFEO中,0尸鸟SL>=4,0E=AO=4,乙尸0E二901所以乙在0二45。

所以直线政与平面"CO所成角的正弦值为sin45。二冬

1I.B设点E到平面8G。的距离为九

Vf-BQ%=唳-E"i，

gp|x|xBC1xC1D1x=ix|xAiDixCiDixBBb

故选B.

12.B连接AE.:AB1BC.AB1BD,BCCBD二B,

*,*ABJ_BCD'

•・•CQu平面BCD,ABVCD.

•・•BC=BD,E为CO的中点,/.CD1BE.

又CDVAB,ABC\BE-B,ABE,

二•AB在平面ACD上的射影在直线AE上，

^BAE就是直线AB与平面ACD所成的角.

在RtAABE中，由3E二VZsin乙=聂可得4E=39,4?=4.

O

设点B到平面ACD的距离为h,

x

VABCD=VBACDr**•△BCDxAB=lS^ACDh,

即拉打2乂2乂4=""2/^3/乂力,解得力".故选B.

Oo

13.答案2

解析连接BG,易知MN〃BG,

•・•5C]U平面平面BCGBi,

二•MM〃平面BCCiBi.

二•MV到平面BCCiBi的距离等于点N到平面BCCiBi的距离，

又点N到平面BCCiBi的距离为NB书AB=2,

二.MN到平面BCCiBi的距离为2.

14.解析⑴证明:在长方体ABOABC。中,A4i〃38,

又BBiU平面B8QiO,A4i。平面BBDD,

所以AiA〃平面BB\D\D.

⑵由(1)知4A〃平面BBQQ,

则直线AiA上任意一点到平面BBDD的距离都相等.如图，过点A作AH1BD交

BD于H,

D,

边一…Jc

I，一“I✓

Lr「一

易知平面ABC。，

因为AHu平面ABC。所以BByLAH.

因为831G30=8,

所以AH_L平面BBiD】D,

即AH的长为直线4A到平面BBQD的距离.

在△AB。中,48二4/。二3,

贝IJBD=5.

由等面积法得A"二券泮=等二S

所以AiA到平面BBDD的距离为手

解题模板

当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离都相等,都是线面距离，所

以求线面距离的关键是选准恰当的点，转化为点面距离.

能力提升练

1.D对于A,由三垂线定理知AB1MN,AB1NQ,AB1MQ,所以ABJ,平面MNQ；

对于B,易得ABIA/N/BJLMQ,又MNCMQ二M,

•..AB_L平面MNQ；

对于C,同B可得ABJL平面MNQ；

对于D,易得AB与MN所成的角为60。故AB不垂直于平面MNQ.故选D.

2.D连接AO,BO,CO,/PA±PB.PA1PC,PBCPC二P,PB,PCu平面PBC,・•.必_L平

面PBC

又3Cu平面PBC,PA1BC.

由题意知P。，平面ABC,

•・,BCu平面ABC,；.PO1BC.

又％GPO=P,：,BCL平面PAO,

又OAu平面PAO./.BC1OA.

同理可证ABLOC.ACA.OB,

故。为△43C的垂心.故选D.

3.D彳段设AC.LEF,/BEIAQEFD=平面BEF./.AC1平面BEF.

•••5尸(=平面BEF,.,.AC1BF.

又•.•B/UgACGAOy/Ou平面ACD,

二.BFL平面ACD,BF1CD.

由AB_L平面BCD,得AB1CD,

•/ABAABD,

/.CD±平面ABD,..CD1BD,

而5c二5D=2,故CD与BD不可能垂直，故AC不可能与EF垂直，故A、C错误.

设。。=x,xE(0,4),由题意可得易知AC=AD=y/2+4=y[6fBF=

命=嘴=奈反=*=等="&.・.即=1

贝IJB产+B尸-E产二之+得一号＞0，

Z.FBE为锐角风啊二兴.x蒋xsin乙FBE=|sinZFBE,

当XBEF的面积最大时，所最大，又一4时,石尸二枭—>.EF没有最大值,・•.△BEF

的面积没有最大值，故B错误.故选D.

4普案2左

解析易知。后，3。,。后，4。,因为4。口3。=。所以平面43D

因为4408=6014。二8。二2,所以43=2.

易知BC〃DE,所以BC1平面A山。，

所以5C,45从而AiC=j22+22=2/2.

5.解析⑴证明:由题意得AC二8G=1,且乙4Gs二90：

二,。是的中点,「.C\DA.A\B\,

又A4i±平面45iG,CQu平面431G,・・.M_LC\D,

又AiBiGA4I=AI,AI8I,AAIU平面AA\B\B,

・・.G£>J_平面A4山山.

⑵选①③能证明A3」平面GDF.

连接。£43,如图所示：

贝IJDF//AiB,^^ABC中,AC=BC二1,4ACB=90：贝IJ48=虎，又441=&,.,•四边形

AA^B^B为正方形，

A\BA.AB\,DFA.AB\,

*/G。_L平面A4i3iB,ABiU平面AA\B\B,

C\DA-AB\,

又。产AGO=QGDO/u平面CiDF,

平面"CiDF.

选①②不能证明ABil平面CM

连接如图，

2

贝IJ。尸〃AiB,在△ABC中,AC二5c二1,44。5二90：贝11AB=>/2fAAl=\AB\-AB^\.

・•・四边形AAyBxB是长方形,/.AiB与ABi不垂直，即DF与ABi不垂直，

「.ABi不垂直于平面C\DF.

选②③不能证明A3」平面CyDF.

在IXABC中,AC二3c二1,4ACB=90;贝ljAB二氏,

又ABi=jAB2+AAl=2。月,矛盾，

・二不能证明A8U平面CiDF.

综上,选①③能证明ABil平面CiDF.

6.B连接易知乙40P是PD与平面ABC所成的角，设弘二「•以，平面

ABC「PB,PC与平面ABC所成的角分别是30牙口60。,/.LABP=30°,乙AC尸二60。,

；.PB=2ABM,ACT，

「・CD-\BC=|XJ3T=当,

/.AD=JAC2+CD2=

」.tan乙AOP二弟二1,•••AADP=45。,

・•・PD与平面ABC所成角的大小为45。故选B.

7.ABC对于A,由题意可得A4U平面ABC。,

・•.乙A山A是BAx与平面ABCD所成的角，

四边形ABB\A\是正方形,AZAiBA=45:故A正确；

对于B,连接BG,由题意可得AB1平面BCCiBi,

•「BCu平面BCC\B\,^ABLB\C,

又3|C_LBC\tABC\BC\—BiB|C-LABC\t

而AGu平面A3G,3—],同理可证BiDilACi,

••,8Cn8O]二场,8C8O]U平面BiCDi,・・.AGJ"平面B\CD\,

又8bu平面BiCDi,.-.ACil8尸，故B正确；

对于C,VB^EF=联一叫尸,•.・E为BC的中点,△B4F在平面BA1D.C内，

•••点石到平面R4QC的距离为定值，而S"力口服。•・三棱锥氏4石厂的体

积是定值，故C正确；

对于D,丁点4到平面BCDi的距离d为定值，设直线4F与平面B1CD1所成的角

为⑨

则sin户卷,而线段4F的长不为定值，

・・.直线A.F与平面B.CDi所成的角不是定值，故D错误.

故选ABC.

8.答案f;[2,2/2]

解析如图，分别取棱8即的中点M,N,连接AiMAN,MN,BCi,NE.

D

c

AB

•・•M,N,E,F分别是其所在棱的中点，

・•.MN//BC\,EF//BC\,MN//EF.

•••MN。平面1尸u平面AEF,

二•MM〃平面AEF.

易知A4/N&44=NE,•,.四边形AENAi为平行四边形,.,.4N〃AE

•・•AiNC平面AEQAEu平面AEF,

「.AN〃平面AEF.

,:AiNCMN=N,・•・平面4MN〃平面AEF,

./P是侧面3CGS内一点，且AP〃平面AEF,

・•・点P必在线段MN上,・・・点P的轨迹长度为MN*C1=冬

・「A归1_L平面BCC\B\,

・•.44尸5即为直线4P与平面8CGB所成的角，则tan乙4lPB=鬻.

・・・点P的轨迹为MN,.•・当PBJMN时,囱的长最小，为辛，当P与M或N重合时

,PB1的长最大，为方

•••直线4P与平面BCCB所成角的正切值的最小值为4=2,最大值为*=2区

2T

・•・直线4P与平面BCCiBi所成角的正切值的取值范围是［2,2口］.

9.解析⑴证明:取AC的中点。，连接。P,。。

•・•。为48的中点1.OO〃BC,

\'AClBCf^ACLOD.

•・.AB4C是正三角形,POLAC.

又ponoo=O,「.AC_L平面POD,

•・,PDu平面POD,/MCIPD.

⑵解法一:取PA的中点N,连接ON,作OMLAB于点M连接PM,

作OHLPM于点”，连接NH,

・・・/\PAC为等边三角形，。刀分别为AC,AB的中点,AC=3C=2,

.••尸0二万,0。二1,又。。二2,

。。2+0£>2=小・po±OD,

又POLAC,ACQ0D=0,・・・P01平面ABC,

・..PO.LAB.

又AB_LOM,POnOM=0,二.A八平面POM,

.・.A8_LOH,又OHIPM,ABCPM二M,

・••0"J,平面PAB.

.-0,N分别为AC,%的中点,「.ON〃尸C

・•・PC与平面PAB所成的角即为ON与平面PAB所成的角,

•••4。_15。,4。二3。二2,。为4。的中点,。加143,

2x2_42

OM今吟"南一7

又PO_LOM,PM=JPO2+OM2=〔3+2=孚

在Rt/\OHN中，。心1,0"=惴=驾=孥，

~2~

」.sin乙OAW=器=聿=亨，

即直线PC与平面PAB所成角的正弦值为早.

解法二:由解法一知P01平面ABC,P0=B,PM=零,48=242,

易知Vp-A配=设点C到平面PAB的距离为d,

51ljixix2x2x/3=|xix2/2x半xd,解得d=

设直线尸。与平面巩B所成的角为8则si